14.3 角的平分线 解析版

.3角的平分线【考点归纳】【知识梳理】知识点一：角平分线AD是角平分线∠BAD＝∠CAD＝12∠(1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心；(2)内心到三角形三边距离相等知识点二：角平分线的辅助线类型类型1过角平分线上的点作一边的垂线原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等；2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B.结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP类型二过角平分线上的点作角平分线的垂线原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点B.结论：△OAB是等腰三角形类型三1.过角平分线上的点作边的平行线；2.过边上的点作角平分线的平行线原理：(1)两直线平行，内错角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)等角对等边.作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q.结论：△OPQ为等腰三角形类型四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；2.延长被平分的角的短边至与长边相等原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.作法一：截长法在AC上截取AE＝AB，连接DE，结论：△ABD≌△AED；作法二：补短法延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，结论：△AFD≌△ACD【题型探究】题型一：角平分线的性质定理【例1】．（25-26八年级上·全国）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作于，∵是中的角平分线，，，∴，∵的面积是10，若，∴，∴，∴，即点到的距离是4，故选：C．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯）如图，在中，，平分，交于点D，若，则点D到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角的平分线性质定理解答即可．本题考查了角的平分线性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】解：，平分，交于点D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，为点D到的距离，故点D到的距离也为．故选：B．【跟踪训练2】．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质，可知，再根据垂线段最短，可知，从而得出答案．【详解】解：过点作于点，如图所示：为的角平分线，于点，，，，，的长度不可能为1，故选：D．题型二：角平分线的判定定理【例2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，垂足分别为，．求证：平分．【答案】见解析【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定，先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案.【详解】证明：，．在和中，，．，∴平分．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点，平分．(1)求证：平分；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）作，垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．（2）证明得，同理可证，则题目可证．【详解】（1）证明：作，垂足为，平分，，，，，，，，平分；（2）证明：由（1）可知：，在和中，，，，同理可证：，即．【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、两点分别在射线、上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明过程见解析；(2)的长为．【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定．（1）证明，可得，结合已知即可证得结论；（2）由，可得，从而可得，证明，可得，从而可得的长．【详解】（1）证明：∵，，∴，，在和中，，∴，∴，又∵，，∴平分．（2）解：由（1）得，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴的长为．题型三：作角平分线（尺规作图）【例3】．（25-26八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线．已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】本题考查了作一个角的平分线，先以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点，即射线，使．【详解】解：如图，射线即为所求．【跟踪训练1】．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，根据角平分线的作法作出的角平分线，交于，由角平分线的性质可知点到田埂和田埂的距离相等，故点即为所求，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键．【详解】解：如图所示，点即为所求．【跟踪训练2】．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是边上的高．(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的基础上，若，求的度数．【答案】(1)图见解析(2)【分析】本题考查作图-基本作图、直角三角形的性质．（1）根据角平分线的作图方法作图即可；（2）由题意得，，由角平分线的定义得，则．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：在中，，，，是的角平分线，，是边上的高，，．题型四：角平分线的实际应用【例4】．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（

）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．故选：B．【跟踪训练1】．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键．【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等，∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，∴加油站可供选址的地方有个，故选：．【跟踪训练2】．（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（

）A．4处 B．3处 C．2处 D．1处【答案】C【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个．【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等，∴这两个角的平分线的交点满足条件；∵和的平分线的交点到、、距离相等，∴这两个角的平分线的交点满足条件；∴满足这条件的点有2个；故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心漏解．题型五：角平分线的综合性问题【例5】．（25-26八年级上·江苏无锡）如图，四边形中，，，于D．(1)求证：平分；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．（1）如图：作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的性质即可证明结论；（2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答．【详解】（1）证明：如图：作于E，∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，A，B两点分别在射线上，点C在的内部且，，，垂足分别为D，E，且．(1)求证：平分；(2)如果，求的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．（1）根据题意，得到，所以，再根据已知条件，得到平分，由此得到证明；（2）设，根据题意，得到，所以，再根据已知条件，得到，求出，由此得到答案．【详解】（1）证明：∵，,∴，在和中，∴,∴，∴点C在的平分线上，∴平分；（2）设，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．【跟踪训练2】．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，交于点H，连接(1)求证：；(2)求；用含的式子表示(3)求证：平分【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．（1）由，利用，即可证明；（2）由，可得，继而求得；（3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分【详解】（1）证明：，，即，在和中，，；（2）解：，，又，；（3）证明：过点C作于M，于N，，，，平分【高分演练】一、单选题1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）用尺规作图作角平分线，下列作法错误的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查用尺规作图作角平分线．根据作图痕迹，对各选项进行分析判断即可．【详解】解：A．如图，由作图可知，，，在和中，，∴，∴，∴是的角平分线，∴选项A作法正确，不符合题意；B．如图，由作图可知，，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴是的角平分线，∴选项B作法正确，不符合题意；C．如图，由作图可知，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的角平分线，∴选项C作法正确，不符合题意；D．如图，由作图可知，，，不能得出是的角平分线，∴选项D作法错误，符合题意．故选：D．2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．【详解】解：如图，过点P作于E，∵平分，，，∴，∴，故选：B．3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查了三角形的面积公式，角平分线的性质定理，作交于，由角平分线的性质定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．【详解】解：如图，作交于，，∵平分交于点，于点，∴，∵，∴，∴，故选：D．4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质，利用已知线段长度求出相关线段的长度．根据角平分线的性质，可知角平分线上的点到角两边的距离相等，即由和的长度求出的长度，进而得到的长度．【详解】解：∵是的平分线，，∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．∵∴∴．故选：A．5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．过P作于点H，根据角平分线性质，得，根据垂线段最短即可得最小值．【详解】解：过P作于点H，∵平分，，∴，∵，∴，∵，∴的最小值为，故选：B．6．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的判定定理，过点D作于H，则，由角平分线的判定定理可得平分，则．【详解】解：如图所示，过点D作于H，∵中边上的高为3，∴，∵，∴，又∵，，∴平分，∵，∴，故选：D．7．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，和的角平分线交于点P，若，则、、的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键．过点作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案．【详解】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图，∵和的角平分线交于点P，∴，，∴，设，∵，，，∵，∴，故选：B．8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出．【详解】解：如图，过作于，∵是的平分线，，∴，∵是中线，，的面积是，∴，的面积的面积，∵的面积的面积的面积，∴，∵，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等判断①；证明，根据全等三角形的性质得到，判断②；根据等腰三角形的性质、平行线的性质得到，判断③；根据角平分线的性质判断④．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故①结论正确；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故②结论正确；∵，∴，∵，∴，，，即平分，故③结论正确；如图，过点作于，∵平分，，，∴点不是的中点，故④结论错误；则正确结论的序号是①②③，故选：C．二、填空题10．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是．【答案】42【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解．【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接，∵分别平分和，，∴，即，∵的周长是21，∴，∴的面积是．故答案为：4211．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，为的角平分线，于点E，于点F．若的面积是，，，则．

【答案】2【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：在中，为的角平分线，于点E，于点F．∴，∴，∵面积是，，，∴，解得．故答案为：2．12．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为．【答案】/25度【分析】本题考查了角平分线的判定定理，把实际问题转化为数学问题求解是解题的关键；根据两把长方形直尺相同，表明点P到射线的距离相等，由角平分线的判定定理知，射线是角平分线，即可求解．【详解】解：∵两把长方形直尺相同，∴点P到射线的距离相等，∴射线是的平分线，∴，故答案为：．13．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定；根据角平分线的性质可得，再根据证明，根据其性质进而即可求解．【详解】解：延长交于点F，∵是的平分线，，垂足为点E，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的度数是．故答案为：．14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为．【答案】【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出．【详解】解：∵，平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：6．三、解答题15．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．(1)延长至点，求证：平分；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键．（1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分；（2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示：又∵平分，平分，∴，，∴，又∵，，∴平分．（2）解：设，由（1）知，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．16．（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，求的长．【答案】6【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出．【详解】解：∵，平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．17．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证：(1)平分；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，掌握知识点的应用是解题的关键．（）根据“”定理证出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的判定即可求证；（）证明，根据全等得出，即可求证．【详解】（1）证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴点在角平分线上，∴平分；（2）证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵