14.3 角的平分线 原卷版

.3角的平分线【考点归纳】【知识梳理】知识点一：角平分线AD是角平分线∠BAD＝∠CAD＝12∠(1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心；(2)内心到三角形三边距离相等知识点二：角平分线的辅助线类型类型1过角平分线上的点作一边的垂线原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等；2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B.结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP类型二过角平分线上的点作角平分线的垂线原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点B.结论：△OAB是等腰三角形类型三1.过角平分线上的点作边的平行线；2.过边上的点作角平分线的平行线原理：(1)两直线平行，内错角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)等角对等边.作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q.结论：△OPQ为等腰三角形类型四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；2.延长被平分的角的短边至与长边相等原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.作法一：截长法在AC上截取AE＝AB，连接DE，结论：△ABD≌△AED；作法二：补短法延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，结论：△AFD≌△ACD【题型探究】题型一：角平分线的性质定理【例1】．（25-26八年级上·全国）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．5【跟踪训练1】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯）如图，在中，，平分，交于点D，若，则点D到的距离为（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（

）A． B． C． D．题型二：角平分线的判定定理【例2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，垂足分别为，．求证：平分．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点，平分．(1)求证：平分；(2)求证：．【跟踪训练2】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、两点分别在射线、上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．题型三：作角平分线（尺规作图）【例3】．（25-26八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线．已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）【跟踪训练1】．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）【跟踪训练2】．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是边上的高．(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的基础上，若，求的度数．题型四：角平分线的实际应用【例4】．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（

）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【跟踪训练1】．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【跟踪训练2】．（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（

）A．4处 B．3处 C．2处 D．1处题型五：角平分线的综合性问题【例5】．（25-26八年级上·江苏无锡）如图，四边形中，，，于D．(1)求证：平分；(2)若，求的长．【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，A，B两点分别在射线上，点C在的内部且，，，垂足分别为D，E，且．(1)求证：平分；(2)如果，求的长．【跟踪训练2】．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，交于点H，连接(1)求证：；(2)求；用含的式子表示(3)求证：平分【高分演练】一、单选题1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）用尺规作图作角平分线，下列作法错误的是（

）．A． B．C． D．2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（

）A．6 B．9 C．12 D．183．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（

）A．1 B．3 C．5 D．64．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（24-25八年级下·陕西西安）如图，中，和的角平分线交于点P，若，则、、的面积之比为（

）A． B． C． D．8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（）A． B． C． D．9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④二、填空题10．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是．11．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，为的角平分线，于点E，于点F．若的面积是，，，则．

12．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为．13．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为．14．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为．三、解答题15．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．(1)延长至点，求证：平分；(2)若，求的度数．16．（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，求的长．17．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证：(1)平分；(2)．18．（22-23八年级上·全国·期中）已知，平分．(1)如图①，若，，求