21.1 一元二次方程【六大考点+六大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版） 解析版

.1一元二次方程【考点归纳】【知识归纳】知识点一一元二次方程的定义（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．（2）注意以下3点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式．知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．知识点三一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．【题型探究】题型一：一元二次方程的判断【例1】．（24-25九年级上·广东潮州）下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的判断，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．据此进行分析即可．【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；B．该方程不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C．若，则是一元二次方程；若，则不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D．该方程未知数最高次数是，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：A．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列方程中，关于的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义．【详解】解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程；B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程；D、方程，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程．故选：A．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元二次方程的有（

）A．1个 B．2个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的概念,理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键.根据一元二次方程的定义解答,一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对六个方程进行验证.【详解】解：①满足条件：仅含未知数，最高次数为2,且为整式方程,是一元二次方程.②未明确,若则最高次数变为一次,不符合条件.③若（即），则二次项系数为0，未知数最高次变为一次,无法确定.④展开化简得：.方程整理后,未知数的最高次数是1,不符合一元二次方程的定义,不是一元二次方程.⑤展开化简得:.方程整理后符合一元二次方程的定义,是一元二次方程.⑥含分式,不是整式方程.综上，仅①⑤符合条件,故选：B.题型二：一元二次方程的定义求参数问题【例2】．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键．根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴且，．故答案为：B．【跟踪训练1】．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴，∴，故选：．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则（

）A．2或 B．2 C． D．0【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可．【详解】解：由题意可知：，且，所以且．所以．故选：B．题型三：一元二次方程一般形式【例3】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)．(2)．(3)．【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1(2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6(3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案：（1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；（2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；（3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；【详解】（1）解：整理，得，故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1．（2）整理，得，故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6．（3）整理，得，故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）将下列方程化为二次项系数是“1”的一般形式后，一次项系数和常数项都是正整数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】方程可化为，故A选项不符合题意；方程可化为，故B选项不符合题意；方程可化为，故C选项符合题意；方程可化为，故D选项不符合题意．故答案选C【跟踪训练2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程．(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数．(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为(2)2【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义．（1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题；（2）根据一元一次方程的定义求解即可．【详解】（1）解：移项、合并同类项，得，∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为；（2）解：若方程是一元一次方程，则，，解得．题型四：一元二次方程的解【例4】．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理方程的解的概念及应用．【详解】解：把代入方程得，，解得：，故选：．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可．【详解】解：把代入方程得，解得：．故选：C．【跟踪训练2】．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2027【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，∴关于的一元二次方程即有一个根为，即，解得：，故选：A．题型五：由一元二次方程的解求代数值【例5】．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若m是方程的一个根，则的值为（

）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，即．∴故选：C．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，∴，即，∴，故选：．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（

）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：把代入方程得，所以，所以．故选：B．题型六：一元二次方程的综合问题【例6】．（25-26九年级上·全国）已知关于的方程．(1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________．(2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】(1)，(2)当时，此方程为一元二次方程；二次项系数是，一次项系数是，常数项是．【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键．（1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根；（2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【详解】（1）解：是一元一次方程，解得，，解得，故答案为：，．（2）解：是一元二次方程，，解得，故答案为：当时，此方程是一元二次方程；它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题：(1)一元二次方程的倒方程是______；(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；(3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______．【答案】(1)(2)(3)2025【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键．（1）根据新定义的含义可得答案；（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值；（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可．【详解】（1）解：方程的倒方程是；；故答案为：；（2）解：由题意得：方程的倒方程为，把代入方程，得，∴（3）解：由题意得：方程的倒方程为，∵m是方程的一个实数根，∴，∴．故答案为：2025．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考阅读下列材料，然后完成相应任务．方程两边同时除以，得，即．因为，所以．任务：(1)已知方程，则____________．(2)若是方程的根，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值：（1）仿照题意求解即可；（2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可．【详解】（1）解：，两边同时除以x（），得，∴，故答案为：3；（2）解：∵m是方程的根，∴，两边同时除以（），得，∴，∴，∴∴．【高分演练】一、单选题1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的一次项系数是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解．【详解】解：一元二次方程的一次项系数是．故选：B2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）将方程化为二次项系数为的一般形式后，方程中的一次项的系数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把方程化成一般形式是，然后根据相关定义即可求解．本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：∵方程化成一般形式是，∴一次项系数为，故选：A．3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）已知3是方程的一个根，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把代入方程计算即可．【详解】解：∵3是方程的一个根，∴，∴．故选：B．4．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知是方程的根，则代数式的值为（

）．A．6 B．9 C．14 D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值．【详解】解：因为是方程的根，所以，即，所以．故选：B．5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（

）A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可．【详解】解：∵把代入得：，∴方程的一个解是，∵把代入得：，∴方程的一个解是．故选：C．6．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列方程中，是一元二次方程的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条件即可．【详解】①方程中，未明确说明，因此不一定是二次方程，排除．②方程含有分式，不是整式方程，排除．③方程含有两个未知数和，是二元二次方程，排除．④方程展开后化简为，是一元一次方程，排除．⑤方程符合一元二次方程的定义，正确．⑥方程展开后为，是一元二次方程，正确．综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个．故选C．7．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解．【详解】解：原方程有一解，代入得．将第二个方程整理为：，，令，则方程变为，与原方程形式相同，则解相同．则，即，解得．因此，第二个方程必有一解为，故选：A．8．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据题目条件，将和代入方程验证，并结合方程根的定义求解．【详解】已知方程满足和．当时，代入方程得，说明是方程的根．当时，代入方程得，说明是方程的根．因此，方程的两个根为和．故选：B．二、填空题9．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为．【答案】【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的意义．将方程的根代入方程求参数，然后进行验证即可．【详解】解：将代入得，，解得或，当时，，不符合题意，舍去，∴，故答案为：．10．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）已知是关于的一元二次方程，则实数的值为．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，∴，∴，故答案为：．11．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解，把代入可得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：把代入得，则，所以．故答案为：．12．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为．【答案】20【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，然后代入并进行计算，即可解答．【详解】解：是一元二次方程的一个根，，，，故答案为：．13．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为．【答案】4【分析】本题考查一元二次方程的根的应用以及代数式的化简求值，求解出的值是解决本题的关键．将代入方程可整理得到的值，再整理代数式，为，由此可求．【详解】解：已知是方程的根，将代入方程可得：，即，整理可得，∴，∴代数式的值为4．故答案为：4．三、解答题14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入，得，再把代入，进行计算，即可作答．【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根，∴把代入，得，∴，∵．15