21.2.4一元二次方程根与系数的关系【七大考点+七大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版） 原卷版

.2.4一元二次方程根与系数的关系【考点归纳】【知识梳理】知识点一：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：∆=b2①当∆=b2②当∆=b2③当∆=b2知识点二：一元二次方程根与系数的关系如果方程有两个实数根，那么知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论（1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是（2）如果方程的两个实数根是，那么【题型探究】题型一：一元二次方程根与系数的关系【例1】．（24-25九年级上·贵州遵义）若是一元二次方程的两个根，则（

）A．4 B． C．7 D．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则．题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值【例2】．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）一元二次方程的两根为，，则．题型三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值【例3】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，满足，那么的值为．【跟踪训练1】．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）设实数m，n分别满足，，=．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国）若是方程的两个实数根，则代数式的值为．题型四：由方程两根满足关系求字母的值【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（

）．A．-2 B．-1 C．0 D．1【跟踪训练1】．（2025·河北沧州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（

）A． B． C．1 D．7【跟踪训练2】．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026题型五：不解方程由根与系数的关系判断根的问题【例5】．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．两根互为相反数C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北武汉·开学考试）已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（2025·河北邯郸·三模）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（）A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为C．两根之积为 D．两根之和为题型六：根与系数的关系和根的判别式的综合应用【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实数根满足，求k的值【跟踪训练1】．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程：．(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)设，是方程的两个根，且，求m的值．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若，求的值；(3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围．题型七：根与系数关系中的新定义问题【例7】．（2023·湖北黄石·一模）阅读理解材料：已知实数满足，且．根据材料．求的值．解：由题知是方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系得，．解决以下问题：(1)方程的两个实数根为，则___________，___________．(2)已知实数满足，且，求的值．(3)已知实数满足，且，求的值．【跟踪训练1】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．①；②；③；④．(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：①请求出k的值；②求方程的两个根．【跟踪训练2】．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如果方程的两个根是、，那么，请根据以上结论解决下列问题．(1)已知关于的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．(2)已知满足，，求的值．【高分演练】一、单选题1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）若是方程的两个根，则（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个实数根、，已知，则m的值为（

）A． B． C．1 D．23．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（

）A．0 B．2025 C．2024 D．20234．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（

）．A．且 B．C． D．5．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（

）A． B． C． D．6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（）A． B． C． D．7．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论：甲：这个方程有两个不相等的实数根；乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，，丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为；丁：这个方程的解为，老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（

）A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁8．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（

）A． B． C． D．9．（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（）A． B． C． D．二、填空题10．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是．11．（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为．12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则．13．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若，则．14．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知是方程的两个根，那么=，，，三、解答题15．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程(1)若该方程有一个根是，求k的值．(2)若该方程的两个实数根满足，求k的值．16．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）已知关于的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．17．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程．(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．18．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则．【数学理解】（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．【拓展探索】（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．（3）已知实数，满足，，且，求的值．19．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．材料2：已知一元二次方程的两