22.1 二次函数的图像和性质 原卷版

.1二次函数的图像和性质【知识梳理】知识点一二次函数的定义（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．（2）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．（3）二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．知识点二二次函数y=ax2的图象和性质函数y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）图象开口方向向上向下顶点坐标（0，0）（0，0）对称轴y轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．知识点三二次函数y=ax2+k的图象和性质函数y=ax2+k（a>0）y=ax2+k（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（0，k）（0，k）对称轴y轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小.x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大.最大（小）值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k知识点四二次函数y=a（x-h）2的图象和性质函数y=a（x-h）2（a>0）y=a（x-h）2（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（h，0）（h，0）对称轴x=hx=h增减性x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=h时，y最小值=0当x=h时，y最大值=0知识点五二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质函数y=a（x-h）2+k（a>0）y=a（x-h）2+k（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（h，k）（h，k）对称轴x=hx=h增减性x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k【题型探究】题型一、二次函数的定义【例1】．（25-26九年级上·上海）下列函数中，不是二次函数的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数是二次函数的是（

）A． B．C． D．题型二、根据二次函数的定义求参数【例2】．（25-26九年级上·云南昆明）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（

）A．1 B． C．2 D．2或【跟踪训练1】．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（

）A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对【跟踪训练2】．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（）A． B．1 C．1或 D．2题型三、二次函数y=ax2的图象和性质【例3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）下表是二次函数中，x，y的部分对应值：x…012…y…41014…则下列说法不正确的是（

）A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴C．图象顶点是原点 D．图象经过点【跟踪训练1】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知点均在抛物线上，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】（24-25九年级上·宁夏固原）已知抛物线经过点，．(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：(2)求m的值；题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质【例4】．（25-26九年级上·安徽合肥）对于函数，下列结论正确的是（

）A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国）对于二次函数，下列说法不正确的是（

）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值【跟踪训练2】．（2025·河南驻马店·二模）点是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定题型五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质【例5】．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．顶点是 D．函数有最小值0【跟踪训练1】．（2014·上海浦东新·二模）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．题型六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质【例6】．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知函数(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______；(2)当x______时，y随x的增大而增大；(3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)当取何值时，随的增大而增大？(3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线．(1)若此抛物线的顶点在直线上，求的值；(2)若点与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围.题型七：二次函数的图像平移问题【例7．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）若将二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得这个函数解析式为（

）A． B．C． D．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若平面直角坐标系中二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则的值可能分别为（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（

）A． B．C． D．题型八：二次函数图像和性质综合问题【例8】．（24-25九年级上·广东潮州）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象(1)则______，______，______；(2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)当时，求二次函数的取值范围．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接．(1)求抛物线对应的函数解析式．(2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．(3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山东滨州）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．(1)求m的值及点C坐标；(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【高分演练】一、单选题1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（

）A． B．C． D．2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数是二次函数，则m的值为（

）A．1或 B．1 C．或3 D．33．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线经过三点，则的大小关系是（）A． B． C． D．4．（18-19九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（

）A．B．C． D．5（25-26九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（

）．A．5 B．4 C．3 D．26．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）要将抛物线平移得到抛物线，可以（

）A．向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度7．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（）A．对称轴是直线 B．顶点坐标是C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为18．（24-25九年级下·山东青岛·期末）已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（

）A． B． C． D．9．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（

）A．， B．，C．， D．，10．（24-25九年级上·重庆永川）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．411．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（）A． B． C． D．1二、填空题12．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）若抛物线（为常数）的开口向下，则的取值范围是．13．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数表达式为．14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的值为．15．（25-26九年级上·全国·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是．三、解答题16．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，不画图像，回答下列问题．(1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？(4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？17．（25-26九年级上·贵州遵义）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象．(1)___________，___________，___________；(2)写出二次函数图象的