2025年甘肃省泾川县第三中学数学高二上期末考试模拟试题含解析

2025年甘肃省泾川县第三中学数学高二上期末考试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题若，且，则，命题在中，若，则.下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.2．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（）A. B.C. D.3．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）A. B.C. D.与2的大小关系不确定4．已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.5．已知为等差数列，为其前n项和，，则下列和与公差无关的是（）A. B.C. D.6．已知双曲线：的右焦点为，过的直线（为常数）与双曲线在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率为（）A. B.C. D.57．下列四个命题中，为真命题的是（）A.若a＞b，则ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，则a2＞b2D.若a＞b，则8．已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为A.1 B.C.2 D.9．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.210．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.11．已知，则下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.12．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()A.960 B.720C.640 D.320二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则数列的前21项和___________.14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.15．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________16．直线被圆截得的弦长为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）年世界人工智能大会已于年月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠距离点为米.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.19．（12分）在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点20．（12分）已知等比数列的前n项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，求数列的前n项和21．（12分）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等（1）求n的值；（2）求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）22．（10分）已知函数（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）求出方程的解的个数

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.【详解】解：若，且，则，当时，，所以，当时，，所以，综上命题为假命题，则为真命题，在中，若，则，由正弦定理得，所以命题为真命题，为假命题，所以为真命题，，，为假命题.故选：A.2、D【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.【详解】.故选：D3、A【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，，，所以，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.4、B【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.5、C【解析】依题意根据等差数列的通项公式可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，，，，故选：C6、D【解析】取双曲线的左焦点，连接,计算可得，即.设，则，，解得：，利用勾股定理计算可得，即可得出结果.【详解】取双曲线的左焦点，连接,,则因为，所以，即.,.设，则，，解得：.,,..故选：D7、C【解析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可【详解】当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1时，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确故选：C8、A【解析】∵圆的方程为，即，∴圆的圆心为，半径为2.∵直线过点且与直线垂直∴直线.∴圆心到直线的距离.∴直线被圆截得的弦长，又∵坐标原点到的距离为，∴的面积为.考点：1、直线与圆的位置关系；2、三角形的面积公式.9、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.10、D【解析】原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.【详解】由函数的图象可知：在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，；当时，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集为：，故选：D.11、B【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B12、D【解析】由分层抽样各层成比例计算即可【详解】设高二年级学生人数为,则,解得故选:D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用分组求和法求出答案即可.【详解】故答案为：14、∪【解析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，即，且，解得，且，∴x的取值范围是∪.故答案为：∪.15、m≥6【解析】分别求出p，q成立的等价条件，利用p是q的充分条件，转为当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，求出最值即可确定m的取值范围【详解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因为，要使p是q的充分条件，则当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，令，则在上单调递增，故当时取到最大值6，所以m≥6故答案为：m≥6【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,考查函数的最值，考查转化的思想，属于基础题16、【解析】求出圆心到直线的距离，结合半径，利用勾股定理可得答案.【详解】的圆心坐标为，，圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长为：故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）没有.【解析】（1）设机器鼠位置为点，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，分析取值，即得解双曲线的方程，由可得P点坐标.（2）转化机器鼠与直线最近的距离为与直线平行的直线与双曲线相切时，平行线间的距离，设的方程为，与双曲线联立，求出的值，再利用平行线间的距离公式，即得解【详解】（1）设机器鼠位置为点，、，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，设其方程为：（，），则、、，则的轨迹方程为：（），时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；（2）由题意，直线，设直线的平行线的方程为，联立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.18、（1）（2）是，证明见解析【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.【小问1详解】由，得，所以a2=9b2①，又椭圆过点，则②，由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】设直线MA的斜率为k，点，因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.联立直线MA与椭圆方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以为定值.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设点，求得到圆上的最小距离为，根据题意得到，整理即可求得曲线的方程；（2）当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程组求得和，得到，结合抛物线的定义和方程求得，，结合，即可求解.【小问1详解】解：设点，（其中），由圆，可得圆心坐标为，因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为，又由到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，可得，即，整理得，即曲线的方程为【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，可得点为抛物线的交点，点为坐标原点，点为抛物线的准线与轴的交点，显然满足是的中点；当直线的斜率存在时，设直线的方程，设，，，则，联立方程组，整理得，因为，且，则，故，由抛物线的定义知，设，可得，所以，又因为，所以，解得，所以，因为在地物线上，所以，即，所以，即是的中点20、（1）；（2）【解析】(1)设等比数列公比为q，利用与关系可求q，在中令n＝1可求；(2)根据等差数列前n项和公式可求，分析{}的通项公式，利用错位相减法求其前n项和.【小问1详解】设等比数列的公比为q，由己知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；【小问2详解】由题意知在与之间插入n个数，这个数组成以为首项的等差数列，∴，设{}前n项和为，①①×3：②①－②：21、（1）8；（2）.【解析】（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.小问1详解】由题意，二项式展开式的通项公式所以第三项系数为，第四项系数为，由，解得，即n的值为8【小问2详解】由（1）知：当，3，6时，对应的是有理项当时，展开式中对应的有理