安徽省名校2025年数学高二第一学期期末质量检测试题含解析

安徽省名校2025年数学高二第一学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从集合中任取两个不同元素，则这两个元素相差的概率为（）A. B.C. D.2．命题“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，3．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（）A.6千台 B.7千台C.8千台 D.9千台4．已知不等式只有一个整数解，则m的取值范围是（）A. B.C. D.5．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B.C. D.6．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)7．双曲线的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.8．函数在区间（0，e）上的极小值为（）A.－e B.1－eC.－1 D.19．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A. B.C. D.10．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次从高变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，问这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.20C.18 D.1611．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线12．如图，P是椭圆第一象限上一点，A，B，C是椭圆与坐标轴的交点，O为坐标原点，过A作AN平行于直线BP交y轴于N，直线CP交x轴于M，直线BP交x轴于E.现有下列三个式子：①；②；③.其中为定值的所有编号是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若和或都是假命题，则的范围是__________14．已知函数有零点，则的取值范围是___________.15．已知数列满足，则＝________.16．若向量，且夹角的余弦值为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四边形是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽略不计），某公司准备投资一个大型矩形游乐场.（1）设，矩形游乐园的面积为，求与之间的函数关系；（2）试求游乐园面积的最大值.18．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点.（1）若为线段的中点，证明：平面；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.19．（12分）已知椭圆与直线相切，点G为椭圆上任意一点，，，且的最大值为3（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于不同两点E，F，点O为坐标原点，且，当的面积取最大值时，求的取值范围20．（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上有唯一的零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.21．（12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积22．（10分）△ABC的三个顶点分别为（1）求△ABC的外接圆M的方程；（2）设直线与圆M交于两点，求|PQ|的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数和有利事件数，代入古典概型的概率计算公式，即可得解.【详解】解：从集合中任取两个不同元素的取法有、、、、、共6种，其中满足两个元素相差的取法有、、共3种.故这两个元素相差的概率为.故选：B.2、C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，是特称命题，所以其否定是全称命题，即为，故选：C3、A【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.【详解】设利润为y万元，则，∴.令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.故选：A【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到4、B【解析】依据导函数得到函数的单调性，数形结合去求解即可解决.【详解】不等式只有一个整数解，可化为只有一个整数解令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取最大值，当时，恒成立，的草图如下：，，则若只有一个整数解，则，即故不等式只有一个整数解，则m的取值范围是故选：B5、A【解析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.【详解】解：因为在三棱锥中，，所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为，外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故选：.6、C【解析】求导得，再解不等式即得解.【详解】由得，根据题意得，解得故选：C7、B【解析】利用双曲线的离心率，以及渐近线中，关系，结合找关系即可【详解】解：，又因为在双曲线中，，所以，故，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B8、D【解析】求导判断函数的单调性即可求解【详解】的定义域为(0，＋∞)，，令，得x＝1，当x∈(0，1)时，，单调递减，当x∈(1，e)时，，单调递增，故在x＝1处取得极小值.故选：D.9、B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.10、D【解析】根据题意，建立等差数列模型，结合等差数列公式求解即可.【详解】解：根据题意，设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：D.11、C【解析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：设是界限上的一点，则，所以，即，在中，，所以点的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线.故选：C.12、D【解析】根据斜率的公式，可以得到的值是定值，然后结合已知逐一判断即可.【详解】设，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故选：D【点睛】关键点睛：利用斜率公式得到之间的关系是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案：14、【解析】利用导数可求得函数的最小值，要使函数有零点，只要，求得函数的最小值，即可得解.【详解】解：，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，因为函数有零点，所以，解得.故答案为：.15、4【解析】根据对数的运算性质得，可得，即数列是以2为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式化简可得值.【详解】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以.故答案为：4.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式以及对数的运算性质，熟练运用相应的公式即可，属于基础题.16、【解析】根据求解即可.【详解】，故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间中两个向量的夹角，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐标系，求出抛物线的方程，利用，求出点的坐标，表示出的面积为即可；（2）利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则，设抛物线的方程为，将点代入方程可得，解得，则抛物线方程为，由已知得，则点的纵坐标为，点的横坐标为，则，【小问2详解】，令，解得，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，因此函数时，有最大值，18、（1）证明见解析；（2）存在点，且的长为，理由见解析.【解析】（1）取的中点为，连接，得到，结合面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面；（2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得的法向量为和向量，结合向量的夹角公式列出方程，求得的值，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点为，连接，因为分别为的中点，所以，又因为平面，且，所以平面平面，又由平面，所以平面.【小问2详解】解：以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面是边长为2的菱形，设，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，因为，所以，即，解得，设，可得，则，设平面的法向量为，则，令，可得，设直线与平面所成角为，所以，解得，即，所以存在点，且的长为.19、（1）（2）【解析】（1）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；（2）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，记，则，得到，根据对勾函数求出最值.【小问1详解】设点，由题意知，所以：，则，当时，取得最大值，即，故椭圆C的标准方程是【小问2详解】设，，，则由得，，点O到直线l的距离，对用均值不等式，则：当且仅当即，①，S取得最大值．此时，，，即，代入①式整理得，即点M的轨迹为椭圆且点，为椭圆的左、右焦点，即记，则于是：，由对勾函数的性质：当时，，且，故的取值范围为20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，当时，等价转化，且构造函数，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；（ⅱ）根据（ⅰ）中所求得到与的等量关系，求得并构造函数，利用导数研究其单调性和最值，则问题得证.【小问1详解】当时，，则，故，，则曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】（ⅰ）因为，故可得，因为，则当时，，则，无零点，不满足题意；当时，若在有一个零点，即在有一个零点，也即在有一个零点，又，则单调递增，则只需，解得.综上所述，若在区间上有唯一的零点，则；（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在区间上有唯一的零点，则，也即，则，令，则，又在都是单调增函数，故是单调增函数，又，故，则在单调递增，则，故，即证.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点以及最值；处理问题的关键是合理转化函数零点问题，以及充分利用零点存在定理，熟练掌握构造函数法，属综合困难题.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.【小问1详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若是的中点，则，，，于是，∴，即【小问2详解】由题设知，，，是平面内的两个不共线向量设是平面的一个法向量，则，取，得又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时设，而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直