变量与函数教学设计

14.1.1《变量与函数》

--内容和内容解析

【教学内容】

《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元,

教参建议本单元内容5个课时完毕.我们把第1.2.3小节整合为两个课时，第1课时介绍

变量与函数的概念，第2课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表达方法进行

描述，第3课时结识函数座象（“看图说话”），第4.5课时画函数图象.本设计是第1课

时，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数

的概念是本节核心内容.

【教材分析】

函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊相

应关系”.方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量

关系.本节课是函数入门误，一方面必须准确结识变量与常量的特性，初步感受到现实

世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段重

要研究两个变量之间的特殊相应关系.课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，

本设计只选取了其中较为简朴的例子.考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质

是用含x的式子表达y,本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待

定系数法才是新的教学内容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在结识

“两个变量间的特殊相应关系：由哪一个变量拟定另一变量；唯一拟定的含义.”考虑

到学生在平常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数

的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到第1课时.

【学情分析】

变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽

象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一拟定”的准确含义.另一方面，学

生在平常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例.在本节教学中，试图从

学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生结识变量和函数的存在和意义，体会变量之间

的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，结识"曰哪一个变量拟定另一个变量？唯

一拟定的含义是什么？"，初步理解函数的概念.

二.目的和目的解析

【知识目的】

(1)基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简朴的数学问题.能指

出具体问题中的常量、变量.

(2)借助简朴实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来

刻画.能举出涉及两个变量的实例，井指出由哪一个变量拟定另一个变量，这两个变量

是否具有函数关系.

(3)借助简朴实例，初步理解相应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊

相应关系.能判断两个变量间是否具有函数关系.

【过程与方法目的】

借助简朴实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出

数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简朴的情形入

手，化繁为简.

【情感与态度目的】

(1)从学生熟悉、感爱好的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学

知识，感知数学是有用、有趣的学科.

（2）借助简朴实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验”发现、发明”

数学知识的乐趣.

【目的解析】

函数的概念具有高度的抽象性.学生知道代数式中的字母可以表达数，方程中的未知数

求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表达的数.学生的生活经验

中已具有一些朴素的函数美系的实例.学生初次接触两个变量之间的特殊相应关系，教

师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量

和函数的存在和意义，结识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊相应关系，初

步理解函数的概念.

【变量与函数概念的核心】

两个变量间的特殊相应关系：（1）由哪一个变量拟定另一个变量；（2）唯一相应关系.

【教学重点】借助简朴实例，从两个变量间的特殊相应关系抽象出函数的概念.

【教学难点】如何理解“唯一相应”.

【教学关键】

借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量拟定另

一个变量；“唯一相应”是一种特殊的相应关系，涉及“一对一”、“多对一”.“一对多”

不是函数关系.

三、教学问题诊断分析

【学生已有的知识结构】

学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，

会列一次方程（组）及解方程组，知道字母可以表达数，方程中的未知数求出来后也是一

个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表达的数.学生的生活经验中具有一些朴素

的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生结识抽象的函数的概念符合学生的认

知规律.

【学生学习的困难】

学生对“唯一相应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的相应关

系.

应借助学生熟悉的简朴实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊相应关系，初步理

解函数的概念.函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊相应关系（单值相应）.假如

直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x,而x相对于y来

说，比较容易研究，从而达成研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想.

四、教学方法与教学手段

学生的学法应以自主探究与合作交流为主.通过小组合作，结识“唯一拟定”的准确

含义.

教法采用师生互动探究式教学.函数概念具有高度的抽象性，借助几何画板形象演示几何

图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中

抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念.

五、教学过程

导言：

1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高.你知

道其中的道理吗？

理由：

2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？

理由：

上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究如何

由一个量来拟定另一个量.

板书课题：两个—量的关系：

1一个->-------------►兄一个>

说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内

容.空格中将来填上变量的“变”字.现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生

说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简朴的问题.

(一)概念的引入

1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.

(1)若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是元；

(2)若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是元；

(3)若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是元；

(4)若一场售出张电影票，则该场的票房收入元，则

思考：

(1)票房收入随售出的电影票变化而变化，即随的变化而变化；

(2)当售出票数取定一个拟定的值时，相应的票房收入的取值是否唯一拟

定？

(例如，当二150时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：

2.如图，是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一数学测试中,

学号成绩

(1)13号的成绩为・・・・・・

1377

1482

(2)17号的成绩为______1590

1688

1768

1877

(3)18号的成绩为1996

2082

2169

2252

2393

・・・・.・

（4）23号的成绩为.

思考：

（1）测试成绩随_______的变化而变化；

（2）任意拟定一个学号x,相应的成绩f的取值是否唯一拟定？

（例如，当学号二13时，所得成绩f的取值是唯一、还是有多个值？）答:

3.温度变化问题：如图一，是抚顺春季某一天的气温T随时间t变化的图象，看图回答:

cT（*c）

图一

（1）这天的8时的气温是°C,14时的气温是°C,22时的气温是°C；

（2）这一天中，最高气温是°C,最低气温是℃；

（3）这一天中，在4时12时，气温（），在12时~14时气温（），在16时

“24时，气温（）・

A.连续升高B.连续减少C.连续不变

思考：

（1）天气温度随的变化而变化，即随的变化而变化；

（2）当时间取定一个拟定的值时，相应的温度的取值是否唯一拟定？

（例如，当=12时，所得温度的取值是唯一、还是有多个值？）答：.

设计意图：这三个问题中都具有变量之间的单值相应关系，通过研究这些问题引出常量、

变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象

地结识过程.问题的形式力填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中

表达两个变量的相应关系有解析法、列表法、图象法.

（二）概念的定义

1.上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以拟定另一个量？

答：票房收入问题中，涉及票价（10元）、售出票数、票房收入，票数的变化会

引起票房收入的变化，如图所示：

售出票数-------------►票房收入

类似的，有：

学号X-------------►成绩f

时间-------------►气温

在上面的四个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），

变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）.并且当其中

一个变量取定一个值时，另一个变量就随之拟定一个值.

以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，

（1）当t=0点时,T=2;

当t=2点时，『0;

（2）当t=12点时，T=8;

当t=12点1分时，T=8;

当t=12点2分时，T=8;

•••

当t=14点时，T=8;

情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T的相应值只有一个（也许是“一对一”，

也也许是“多对一”），即通过时间t,能把温度T“唯一拟定”.

反之，当T=8时，所得t的值为12~14点之间的任一时刻（“多对一”），通过温度T,

不能把时间t“唯一拟定”.

在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数.（但时间t不是温度T的函数，由

于通过温度T,不能把时间t“唯一拟定”.）

一般地，

在一个变化过程中：

（1）发生变化的量叫做；

（2）不变的量叫做；

（3）假如有两个变量和，对于的每一个值，都有的值与之相应，称

是，是的；

（4）假如当时，，叫做当时的函数值.

说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键.这里提出的问

题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以拟定另一个量？”是一

个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生结识

为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义.

问题回顾

指出前面三个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.

1.“票房收入问题”中，

（1）涉及到的量有,其中的变量是,常量是—;

（2）是自变量，是的函数.

2.“成绩问题”中，

（1）涉及到的量有,其中的变量是________,常量是—;

（2）是自变量，是的函数.

3.“气温变化问题”，

（1）涉及到的量有,其中的变量是,常量是—;

（2）是自变量，是的函数.

注意：常量与变量必须依存十一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它

在这个变化过程中是否发生变化.

设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，

例1一个三角形的底边为5,这一边上的高可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生

了变化.

解：（1）面积随变化的关系式—，其中常量是，变量

是，

是自变量，是的函数；

（2）当3时，面积；

（3）当10时，面积；

（4）当高由1变化到5时，面积从变化到.

例2假如用表达圆的半径，半径r的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些

变量是半径r的函数吗？

分析：

并有，5是「的函数；

并有，（2是「的函数；

并有4是「的函数.

说明：此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系，顺便说

明字母“冗”是常量，但这并不是本节课的核心念.

（三）概念巩固

购买一些签123♦・•

字笔，单价

3元，总价

为元，签

字笔为支，

根据题意填

表：

X（支）

y（元）

（1）随变化的关系式，是自变量，足的函数；

（2）当购买8支签字笔时，总价为元.

2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离

（千米）与时间（时）的关系如图所示.

（1）当时，；当时，；

（2）小李从时开始第一次休息，休息时间为一小时，此时离家千米.

（3）距离是时间t的函数吗？

（4）***时间是距离的函数吗？

设计意图：1.例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充足体会到许多问题

中的变量美系都存在着函数关系，隐含着在函数美系中表达两个变量的相应美系有解析

法、列表法、图象法.2.练习二2（4）涉及反函数的知识，不少教师认为超纲不应涉及，本

人的实践证明，提出这样的问题更有助于学生理解函数的“单值相应关系”，有助于学生

明确“由哪一个量能唯一拟定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要

的是让学生养成逆向思维的习惯.当然，不宜在反函数的概念上作过多的拓展.

（四）概念辨析

1.两个变14916

量X、y满

足关系式

,填表

并回答问

题：

X

y

是的函数吗？为什么？

2.下列各图中，表达是的函数的有（可以多选）.

理解函数概念把握两点：①由哪一个变量拟定另一个变量；②唯一相应关系.

设计意图：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量拟定另一个变量；②唯一相应关系”，

给定自变量的任意一个值就有唯一拟定的的值和它相应，这样的相应可以是“一个自

变量相应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“儿个自变量相应一个因变量”（简

称“多对一”），但不可以是“一个自变量相应多个因变量”（简称“一对多”）.

3.你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？

（五）小结

函数的概念:

自变量（拟定）＞函数（值拟定）

设计意图：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质.

（六）作业

1.行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为千米，行驶时间为小

时.

请根据12345♦・♦10

题意填

表：

t（时）

$（千米）

从表中可以发现：

（1）行驶路程随的变化而变化，即随的变化而变化；

（2）当行驶时间取定一个拟定的值时，行驶路程的取值是否唯一拟定？

（例如，当=3时，的取值是唯一、还是有多个值？）答：.

2.写出下列问题中的函数解析式，并指出其中的自变量、函数：

（1）正方形的面积s与边长工关系式；

（2）秀水村的耕地面积是m2,这个村人均占有耕地面积随这个村人数的变化而变

化.

解：（1）函数解析式：，是自变量，是的函数；

（2）函数解析式：，是自变量，是的函数.

3.一年期的存款利率是4%,

（1）填表：1002005001000

本金X（元）

一年到期后所得的

利息y（元）

（2）本金R元与一年到期后所得的利息y元之间的关系式