MATLAB与数学实验 第3版 课件 11 层次分析法

数学建模实例1层次分析方法引例21、大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生,在面临就业的“双向选择”时,用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求就毕业生来说:选择单位的标准和要求是多方面的,例如:能发挥自己的才干为国家做出较好贡献(即工作岗位适合发挥专长);工作收入较好(待遇好）生活环境好(大城市、气候、等工作作条件)单位名声好(声誉)工作环境好(人际关系和谐等)发展晋升机会多(如新单位或单位发展有前途)等生活环境工作选择贡献收入发展声誉工作环境可供选择的单位p1,p2,...,pn3引例2、在基础研究应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题，要考虑成果的贡献(实用价值、

科学意义),可行性(难度周期和经费)和人才培养，相应的层次结构图如下所示经费科研课题实用价值学术意义人才培养周期基础难度可行性贡献应用教育43、“五一”假期快到了，张同学决定假期去踏青。他想去桂林、黄山和北戴河三个踏青地点,但由于时

间的原因，他只能在这三个地点中选一个来作为踏青的目的地。相应的层次结构图如下所示选择旅游地景色收费居住饮食旅途可供选择的旅游目的地（桂林、黄山、北戴河）引例5这些问题属于决策问题,即做一件事情有多个选择,怎样才能选择最好的一个。要在多个选择对象中选择其中一个，人们往往要根据自己的目标和有利于目标实现的多种因素的考量来做出最后的选择要达到使决策问题化为具有条理化和层次化的结构模型,需要我们先把复杂问题分解为一些因素,然后把这些因素按其属性及关系形成若干层次，上一层次的因素作为准则对下一层次的有关因素起支配作用，把这些层次可以分为三类：目标层：这一层次中只有一个因素，一般它是决策问题的预定目标或理想结果，处于层次结构的第一层准则层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，处于层次结构的中间层方案层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层，处于层次结构的最底层引例总结6以踏青问题为例建立层次分析方法模型踏青问题可以表示为三层的递阶层次结构。第一层(选择最佳旅游地)是目标层，第二层(判断旅游地的倾向)是准则层，第三层(旅游地点)是方案层，它们之间用线段连接表示它们之间的联系要依据喜好对三个层次相互比较进行综合判断，在三个旅游地中确定哪一个为最佳地点。如下图所示选择旅游地景色收费居住饮食旅途桂林黄山北戴河目标层准则层方案层7决策过程中遇到的困难：在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不一致的数据，甚至有可能会提出一组隐含矛盾的数据以踏青问题为例建立层次分析方法模型解决方案：建立成对比较矩阵成对比较矩阵8成对比较矩阵定义:假设要比较

个因子对某因素的影响大小，每次取其中的两个因子和以

表示

和

对的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示,为成对比较判断矩阵(简称判断矩阵)态度、喜好等主观因素量化的形式。层次分析法中较多使用1-9标度，通过对两两因素进行比较获得相对重要程度的关系(重要程度也可解释为偏好、可能性等)，这种重要程度用数字1-9及其倒数表示为相互间的倍数。标度概念:

数字1-9标度9心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层不要超过9个因素标度含义1与的影响相同3比影响稍强5比影响强7比

影响明显的强9比

影响绝对的强2,4,6,8

比

影响之比在上述相邻等级之间1,1/2,…,1/9与

影响之比的倒数

踏青问题的成对比较矩阵10项目景色费用饮食居住旅途景色11/2553费用21775饮食1/51/711/21/3居住1/51/7211/2旅途1/31/5321容易看出，若与

对的影响之比为，则与

对

的影响之比为：

如果成对比较矩阵构造准确，则应满足一致性条件

一致性检验11

随机一致性指标一致性指标注意到上述一致性指标

是一个绝对量，不易说明取值多小才算是很小。为确定

的不一致程度的容许范围，还要找出衡量-致性指标的标准，要引人一个相对的量来描述“很小”的取值。为此Saaty借助随机试验的方式引人了随机一致性指标

它描述了一致性指标

的平均值

12345678910000.580.901.121.241.321.411.451.49随机一致性指标

的得出为对每个固定的

，随机的构造100至500个正互反矩阵

，

然后计算每一个矩阵的一致性指标，再取平均值，由此得到随机一致性指标的值如上表所示

12一致性比例

通常0.1被用作临界值若规定

的临界值是0.1，即作为比较矩阵的一致性是可以接受的标准，它暗示了该比较矩阵的一致性指标

比其平均值的10%还小可以认为是一个很小的数了。如果没有通过一致性检验，应该对比较矩阵作适当修正以使其通过一致性检验

一致性检验13求各因素的权重项目景色费用饮食居住旅途景色11/2553费用21775饮食1/51/711/21/3居住1/51/7211/2旅途1/31/5321按列归一化3.73331.98571815.59.8333项目景色费用饮食居住旅途景色0.25840.25180.27780.32260.3051费用0.51680.50360.38890.45160.5085饮食0.05170.07190.05560.03230.0339居住0.05170.07190.11110.06450.0508旅途0.08610.10070.16670.12900.10170.28320.47400.05600.07000.11691.47552.47400.24900.35330.5971

5.0988

0.0247

1.120.0221

踏青问题第2层对第1层一致性检验及权重14项目景色费用饮食居住旅途景色11/2553费用21775饮食1/51/711/21/3居住1/51/7211/2旅途1/31/5321最大特征值：5.0976[V,D]=eigs(A)0.49560.83260.08400.11870.20040.02440.0218

通过一致性检验权重clearclcclfA=[1,1/2,5,5,3;2,1,7,7,5;1/5,1/7,1,1/2,1/3;1/5,1/7,2,1,1/2;1/3,1/5,3,2,1];[V,D]=eigs(A);Eigen_value=real(D)Eigen_value_max=Eigen_value(1)Characteristic_vector=real(V)Characteristic_vector_max=Characteristic_vector(:,1)Normalization_vector_max=Characteristic_vector_max(:,1)./sum(Characteristic_vector_max(:,1))CI=(Eigen_value_max-length(A(:,1)))/(length(A(:,1))-1)CR=CI/1.12踏青问题第2层对第1层一致性检验及权重

标准化后的权重15把如上关系表示为数学形式，有：

类似的，有：

设目标层只有一个因素，第二层包含

个因素,他们关于

的权重分别为；第三层包含

个因素，

；

第三层对第二层的每个因素的权重为

组合权重

组合一致性检验及权重

16组合一致性检验方法：先逐层进行组合一致性检验，然后考虑整个层次逐层进行组合一致性检验

设第

层有

个成对比较矩阵,其对应的

个一致性指标，随机一致性指标为，定义第层的一致性指标

和随机一致性指:

其中,是第层对第

层的组合权向量。用

除以

就得到第层的一致性比率。

组合一致性比率

若整个层的比较判断通过一致性检验

组合一致性检验及权重17景色桂林黄山北戴河桂林125黄山1/212北戴河1/51/21费用桂林黄山北戴河桂林11/31/8黄山311/3北戴河831饮食桂林黄山北戴河桂林113黄山113北戴河1/31/31

踏青问题组合一致性检验及权重

标准权重18居住桂林黄山北戴河桂林134黄山1/311北戴河1/411

旅途桂林黄山北戴河桂林111/4黄山111/4北戴河441

第3层的权重矩阵为：

第3层对第1层组合权向量为：

踏青问题组合一致性检验及权重

标准化后的权重19第3层的一致性指标和随机一致性指标：

第3层对第1层的组合一致性比率：

通过一致性检验结论：通过组合权向量可知方案3(北戴河)在踏青旅游选择占权重为0.458，明显大于方案1(桂林权重为0.294)方案2(黄山权重为0.247)。故在所设定标准的前提下,他们应该去北戴河踏青问题组合一致性检验及权重标准化后的权重标准化后的权重20层次分析方法步骤（1）建立层次结构模型，其中最高层为单个目标层，最底层是要决策的方案；（2）从第2层开始由上到下的顺序对每一层构造出各层次中的所有成对比较矩阵；并计算每一个成对比较矩阵

的最大特征值和特征向量，计算

判别是否成立，若成立，一致性检验通过，将特征向量归一化得到权重，否则，重新构造该成对较矩阵（3）按公式计算组合权重

（4）按公式