自动系统计算 4

第2章控制系统计算机数字仿真基础2.1连续系统数值积分方法

连续系统数字仿真要从时间、数值两方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算。数值积分法就是利用数值积分的方法对常微分方程(组)建立离散化形式的数学模型—差分方程，并求其数值解，也称为数值解法。设一阶常微分方程它的解y(t)在区间[a,b]上是连续变化的。将区间[a,b]分成若干个小区间，时间间隔为h，在区间积分，得2.1.1.欧拉(Euler)法一阶微分方程重写为在[tk,tk+!]区间上积分由导数定义知取设h足够小，得于是可以得到微分方程的数值解为取k=0,1,2,…N,从t0开始，逐点递推求解t1时的y1，t2时的y2…,直至tn时的yn，称之为欧拉递推公式。这种方法的几何意义就是把f(t,y)在区间[tk,tk+1]内的曲边面积用矩形面积近似代替。计算简单，计算量小，而且可以自启动。当h很小时，造成的误差是允许的。该算法具有一阶精度。欧拉法迭代公式欧拉法图解如何提高精度？预估-校正法先用欧拉法预估：再用梯形公式校正：将简写:平均斜率从yk点开始，既不按该点斜率k1变化，也不按预估点斜率k2变化，而是去两者平均值。求得校正点yk+!,即则[tk,tk+1]上的数值积分为2.1.2龙格－库塔(Runge-Kutta)法首先用欧拉法预估的值，然后再进行校正。这就是预估－校正算法，其几何意义是把在区间内的曲边面积用梯形面积近似代替，即显然，上式具有二阶精度。要想得到较高的计算精度，必须取泰勒展开式的前若干项，但公式中直接利用高阶导数，计算不方便。数学家C.Runge和W.Kutta提出，用计算区间内几个点斜率值加权线性组合的数值积分计算方法，称为龙格一库塔法。龙格-库塔法基本思想：用函数值f(t,y)的线性组合来代替f(t,y)的高阶导数项设y(t)为微分方程的解，将其在tk附近以h为变量展开由于等各阶导数不易计算，用下式中ki的线性组合

r为精度阶次，bi为待定系数，由精度确定。因为其中又记上式中ki用下式表示当r=1时，该方法与欧拉递推公式一致。与台劳公式的二阶展开近似公式相比，可得以下关系由于待定系数个数超过方程个数，所以一般有以下几种取法：当r=2时1.2.以上几种递推公式均称为二阶龙格库塔公式，是比较典型的几个常用算法。上述3）法就是预估-校正法。3.龙格库塔法的共同规律是先求取斜率k1，在以此斜率求取另一斜率k2，以此类推，最后以满足精度要求为目的，适当选取加权系数，求取调整斜率。r=3时，三阶龙格库塔公式仿真中遇到的大多数工程实际问题，四阶龙格库塔法以能满足精度要求，其截断误差o(h5)与h5同数量级。该法可以自启动。r=4时，四阶龙格库塔公式四阶龙格-库塔法迭代公式：2.1.3数值积分法的稳定性利用数值积分法进行仿真时常常会出现这样的情况，一个系统本来是稳定的，可是仿真结果却是发散的。这种情况通常是由积分步长选得不合适造成的。看一个例子：用Euler法求一阶系统的数值解设计算步长为h，则Euler递推公式为：当时，，数值解是发散的；当时，，数值解等幅振荡；当时，，数值解是收敛的；微分方程(组)的数值解法，实质上就是将微分方程差分化，然后从初值开始进行迭代运算。显然，要使迭代运算正常进行，首先必须保证这一数值解法的稳定性。所谓数值解法的稳定性，是指在扰动(初始误差、舍入误差、截断误差等)影响下，其计算过程中的累积误差不会随计算步数的增加而无限增长。不同的数值解法对应着不同的差分递推公式。一个数值法是否稳定取决于该差分方程的特征根是否满足稳定性要求。2.1.4数值积分法的选择为了有效的对连续系统进行数字仿真，必须针对具体问题，合理地选择算法和计算步长。一般来说，选用数值方法从以下原则考虑。(1)精度:要求合理地选择数值算法和阶次，当算法和阶次确定后，选择恰当的计算步长。(2)计算速度:计算速度取决于所用的数值算法和步长大小。在满足精度要求的前提下，选择多步法、显式计算法可以提高速度。当算法取定时，在保证精度的前提下，选择较大步距可以减少仿真计算次数，提高速度。(3)稳定性：数值算法的稳定性主要与计算步长有关，不同的数值方法对步长有不同的限制范围，且与仿真对象的时间常数τ也有关。一般来说步长h与系统最小时间常数τ有以下关系：总之，仿真算法的选择要兼顾以上3个方面，综合考虑。2.2控制系统的结构及其描述2.2.1控制系统中的典型结构1.串联连接G1G22.并联连接G1G2+3.反馈连接G1G2+2.2.2控制系统的典型环节1.比例环节2.积分环节3.积分比例环节4.惯性环节5.二阶振荡环节式中其中2.2.3控制系统的连接矩阵以连接矩阵表示复杂系统各环节之间的连接关系，结合各环节的数学描述，可以构造复杂系统的仿真模型，使得对复杂结构控制系统的仿真变得简单方便。控制系统的连接矩阵=+111111连接矩阵说明wij

=0,环节j不与环节i相连；wij≠0,环节j与环节i有连接关系；wij>0,环节j与环节i直接相连(wij

=1)

或通过比例系数相连(wij为任意正实数）wij<0,环节j与环节i直接负反馈相连(wij

=－1或通过比例系数负反馈相连(wij

为任意负实数)；特殊地：wii

≠0,环节i单位自反馈(wii=1或wii

=–1)或通过比例系数自反馈(wii

为任意实数)；2.3控制系统的建模自动控制系统的建模方法很多，归纳起来有三类：机理建模法、实验建模法、综合建模法。1.机理建模法机理建模法主要是通过理论分析推导方法建立系统模型【例2-1】建立电磁悬浮系统数学模型。电磁悬浮控制系统如图所示。整个磁路的磁阻近似为：气隙中的磁感应强度为：电磁线圈产生的对质量为M的电磁铁产生的电磁吸力为：由磁路理论知：经过数学处理，得对上式线性化式中由牛顿第二定律，得到电磁铁的运动方程：对上式进行拉普拉斯变换，并整理后：电路的电压平衡方程式：式中则经过复杂的数学推导，得到系统的微分方程：2.实验建模法所谓实验建模法，就是采用由特殊到一般的逻辑归纳方法，根据一定数量的在系统运行过程中实测、观察的物理量数据，运用统计规律、系统辨识等理论估计出反映系统各物理量相互制约关系的数学模型。其主要依据是来自系统的大