咸阳市初一数学下册相期末压轴题易错题模拟试题

一、解答题1．如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式．（1）求，，的值；（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．解析：（1）a=2，b=3，c=4；（2）S四边形ABOP=3-m；（3）存在，P（-3，）．【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）四边形ABOP的面积=△APO的面积+△AOB的面积，即可解答；（3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答．【详解】解：（1）由已知可得：a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得：a=2，b=3，c=4；（2）∵a=2，b=3，c=4，∴A（0，2），B（3，0），C（3，4），∴OA=2，OB=3，∵S△ABO=×2×3=3，S△APO=×2×（-m）=-m，∴S四边形ABOP=S△ABO+S△APO=3+（-m）=3-m（3）存在，∵S△ABC=×4×3=6，若S四边形ABOP=S△ABC=3-m=6，则m=-3，∴存在点P（-3，）使S四边形ABOP=S△ABC．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是根据非负数的性质求出a，b，c．2．如图：在四边形ABCD中，A、B、C、D四个点的坐标分别是：（-2，0）、（0，6）、（4，4）、（2，0）现将四边形ABCD先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，平移后的四边形是A'B'C′D'（1）请画出平移后的四边形A'B'C′D'（不写画法），并写出A'、B'、C′、D'四点的坐标．（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标．（3）求四边形ABCD的面积．解析：（1）图见解析，A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）P′的坐标为：（a-2，b+1）；（3）四边形ABCD的面积为22．【分析】（1）直接利用平移画出图形，再根据图形写出对应点的坐标进而得出答案；（2）利用平移规律进而得出对应点坐标的变化规律：向上平移1个单位，纵坐标加1；向左平移2个单位，横坐标减2；（3）利用四边形ABCD所在的最小矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标为：（a-2，b+1）；（3）四边形ABCD的面积为：6×6-×2×6-×2×4-×2×4=22．【点睛】此题主要考查了平移变换以及坐标系内四边形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，现将四边形经过平移后得到四边形，点的对应点的坐标为．（1）请直接写点、、的坐标；（2）求四边形与四边形重叠部分的面积；（3）在轴上是否存在一点，连接、，使，若存在这样一点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）；（2）；（3）存在，或【分析】（1）先确定平移的规则，然后根据平移的规则，求出点的坐标即可；（2）由平移的性质可知，重叠部分为平行四边形，且底边长为3，高为2，即可求出面积；（3）设点的坐标为，先求出平行四边形ABCD的面积，然后利用三角形的面积公式，即可求出b的值．【详解】解：（1）∵，，∴平移的规则为：向右平移2个单位，向上平移一个单位；∵，，，∴；（2）如图，延长交x轴于点E，过点做由平移可知，重叠部分为平行四边形，高为2，∴重叠部分的面积为（3）存在；设点的坐标为，∵，，∴，∴点的坐标为或．【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的性质，坐标与图形，以及求阴影部分的面积，解题的关键是熟练掌握平移的性质进行解题．4．在平面直角坐标系中，已知长方形，点，.（1）如图，有一动点在第二象限的角平分线上，若，求的度数；（2）若把长方形向上平移，得到长方形.①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系；②若，求的面积与的面积之比.解析：（1）55°或35°；（2）①；②.【解析】【分析】（1）分两种情况：①在Rt△FEC中，求出∠FEC=90°-10°=80°，然后根据点在第二象限的角平分线上，得出∠POE=45°，对顶角相等，即可得出∠CPO=180°-80°-45°=55°；②由已知条件，得出∠CEO=45°，又根据∠CEO=∠CPE+∠PCB，得出∠CPO；（2）①首先设长方形向上平移个单位长，得到长方形，然后列出和的面积，即可得出两者的数量关系；②首先根据已知条件判定四边形是平行四边形，经过等量转化，即可得出和的面积，进而得出其面积之比.【详解】（1）分两种情况:①令PC交x轴于点E，延长CB至x轴，交于点F，如图所示：由已知得，，∠CFE=90°∴∠FEC=90°-10°=80°，又∵点在第二象限的角平分线上，∴∠POE=45°又∵∠FEC=∠PEO=80°∴∠CPO=180°-80°-45°=55°②延长CB,交直线l于点E，由已知得，，∵点在第二象限的角平分线上，∴∠CEO=45°∴∠CEO=∠CPE+∠PCB∴∠CPO=45°-10°=35°.故答案为55°或35°.（2）如图，①设长方形向上平移个单位长，得到长方形∴②∵长方形，∴∵，令交于E，则四边形是平行四边形，∴∴又∵由①得知，∴∴.【点睛】此题主要考查等量转换和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握，即可解题.5．在平面直角坐标系中，如图正方形的顶点，坐标分别为，，点，坐标分别为，，且，以为边作正方形.设正方形与正方形重叠部分面积为.（1）①当点与点重合时，的值为______；②当点与点重合时，的值为______.（2）请用含的式子表示，并直接写出的取值范围.解析：（1）①1；②；（2）.【分析】（1）①②根据点F的坐标构建方程即可解决问题．（2）分四种情形：①如图1中，当1≤m≤2时，重叠部分是四边形BEGN．②如图2中，当0＜m＜1时，重叠部分是正方形EFGH．③如图3中，-1＜m＜时，重叠部分是矩形AEHN．④如图4中，当-≤m＜0时，重叠部分是正方形EFGH．分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①当点F与点B重合时，由题意3m=3，∴m=1．②当点F与点A重合时，由题意3m=-1，∴m=，故答案为1，．（2）①当时，如图1.，..②当时，如图2...③当时，如图3.，.④当时，如图4...综上，.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图，已知，，且满足.（1）求、两点的坐标；（2）点在线段上，、满足，点在轴负半轴上，连交轴的负半轴于点，且，求点的坐标；（3）平移直线，交轴正半轴于，交轴于，为直线上第三象限内的点，过作轴于，若，且，求点的坐标.解析：（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；（2）利用三角形面积求法，由列方程组，求出点C坐标，进而由△ACD面积求出D点坐标.（3）由平行线间距离相等得到，继而求出E点坐标，同理求出F点坐标，再由GE=12求出G点坐标，根据求出PG的长即可求P点坐标.【详解】解：（1），∴，，，，，，，（2）由∴，，，如图1，连，作轴，轴，，即，，，而，，，，（3）如图2：∵EF∥AB，∴，∴，即，，，，，，，，，，，，，，【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握平移规律是解题的关键．7．如图，已知点，点，且，满足关系式．（1）求点、的坐标；（2）如图1，点是线段上的动点，轴于点，轴于点，轴于点，连接、．试探究，之间的数量关系；（3）如图2，线段以每秒2个单位长度的速度向左水平移动到线段．若线段交轴于点，当三角形和三角形的面积相等时，求移动时间和点的坐标．解析：（1）；（2）；（3），点C的坐标为【分析】（1）由题意易得，然后可求a、b的值，进而问题可求解；（2）由（1）及题意易得，然后根据建立方程求解即可；（3）分别过点作轴于点P，轴于点Q，由题意易得，然后可得，进而可求t的值，最后根据（2）可得三角形的面积为3，则问题可求解．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴点，点；（2）由（1）可得点，点，∵轴于点，轴于点，轴于点，∴，，∵，∴，∵，且，∴，化简得；（3）分别过点作轴于点P，轴于点Q，如图所示：∵线段以每秒2个单位长度的速度向左水平移动到线段，时间为，∴，∵三角形和三角形的面积相等，∴，∴，∴，解得：，∴，由（2）可得三角形的面积为，∴三角形的面积为3，即，∴，∴．【点睛】本题主要考查图形与坐标、算术平方根与偶次幂的非负性及等积法，熟练掌握图形与坐标、算术平方根与偶次幂的非负性及等积法是解题的关键．8．已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）解析：（1）见解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．【详解】解：（1）如图1，过点作，则有，，，，；（2）①如图2，过点作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为；②如图3，过点作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．9．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：B+D=BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．解析：（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．【详解】解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=m，∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD===．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．10．已知：如图，直线AB//CD，直线EF交AB，CD于P，Q两点，点M，点N分别是直线CD，EF上一点（不与P，Q重合），连接PM，MN．（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）解析：（1）①PM⊥MN，理由见解析；②∠EPB的度数为125°；（2）∠APM+∠QMN=90°或∠APM-∠QMN=90°．【分析】（1）①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ，再根据已知条件可得到PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，利用角平分线的定义以及平行线的性质求得∠MNH=35°，即可求解；（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决．【详解】解：（1）①PM⊥MN，理由见解析：∵AB//CD，∴∠APM=∠PMQ，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠PMQ+∠QMN=90°，∴PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，∵AB//CD，∴AB//NH∥CD，∴∠QMN=∠MNH，∠EPA=∠ENH，∵PA平分∠EPM，∴∠EPA=∠MPA，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠EPA+∠MNH=90°，即∠ENH+∠MNH=90°，∴∠MNQ+∠MNH+∠MNH=90°，∵∠MNQ=20°，∴∠MNH=35°，∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ+∠MNH=55°，∴∠EPB=180°-55°=125°，∴∠EPB的度数为125°；（2）当点M，N分别在射线QC，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ+∠QMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠APM+∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QC，线段PQ上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠PMQ-∠QMN=90°，∴∠APM-∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QD，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ+∠QMN=90°，∠APM+∠PMQ=180°，∴∠APM+90°-∠QMN=180°，∴∠APM-∠QMN=90°；综上，∠APM+∠QMN=90°或∠APM-∠QMN=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键．11．已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作的延长线于点，求证：；（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，且平分，平分，若，，求的度数．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠C=2a，∠FBC=∠DBC=a+45°，根据三角形内角和可得∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，可得∠AFC=∠BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC+∠NCF=180°，代入即可算出a的度数，进而完成解答．【详解】（1）证明：∵，∴，∵于，∴，∴，∴；（2）证明：过作，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=∠C=2a，又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=∠DBC=a+45°又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a，∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，又∵AM//CN，∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．12．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．（1）若点，，都在点的右侧．①求的度数；②若，求的度数．（不能使用“三角形的内角和是”直接解题）（2）在点的运动过程中，是否存在这样的偕形，使？若存在，直接写出的度数；若不存在．请说明理由．解析：（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）设∠EGC=3x，∠EFC=2x，则∠GCF=3x-2x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【详解】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠CEB+∠ECQ=180°，∵∠CEB=110°，∴∠ECQ=70°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE＝∠ECQ＝35°；②∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC，∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，∴∠EGC+∠ECG=70°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝(70°−40°)＝15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．（2）52.5°或7.5°，设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，①当点G、F在点E的右侧时，∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，∴∠PCF＝∠PCQ＝∠FCQ＝∠EFC＝x°，则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，∵∠ECD=70°，∴4x=70°，解得x=17.5°，∴∠CPQ=3x=52.5°；②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，∴180-3x=70+x，解得x=27.5，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，∴∠PCQ＝∠FCQ＝62.5°，∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．13．已知，．点在上，点在上．（1）如图1中，、、的数量关系为：；（不需要证明）；如图2中，、、的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，平分，平分，且，求的度数；（3）如图4中，，平分，平分，且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么的度数．解析：（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质可求解；过F作FHAB，易得FHABCD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．【详解】解：（1）过E作EHAB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵ABCD，∴HECD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN−∠END．如图2，过F作FHAB，∴∠BMF＝∠MFK，∵ABCD，∴FHCD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQNP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN−∠NEQ＝（∠BME＋∠END）−∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．14．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．（1）证明：；（2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若（为大于等于的整数），点在线段上，连接，若，则______．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）