安徽省芜湖市第二十九中学2023-2024学年九年级 上学期期中数学试卷（含答案）

第第页安徽省芜湖市第二十九中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．若关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2，则m为（）A．﹣2 B．1 C．4 D．﹣33．关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3 B．﹣3 C．−72 4．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（）A．5 B．4 C．3 D．25．若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+2）2上，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y26．某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．1999x2＝1360 B．1999（1﹣x2）＝1360C．1999（1﹣x）2＝1360 D．1999（1﹣2x）＝13607．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°．将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．55° B．50° C．65° D．60°8．如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣11﹣5﹣111…A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜19．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3，则方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．2，﹣5 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．﹣2，510．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D.下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=12；⑤A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分）11．将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为．12．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，则k的取值范围是．13．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是14．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．（1）当抛物线y＝ax2+1是“美丽抛物线”时，则a＝；（2）若抛物线y＝ax2+k是“美丽抛物线”，则a，k之间的数量关系为．三、解答题（本大题共1小题，8分）15．二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点是A四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）16．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．⑴将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；⑵△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；⑶如果△A2B2O，通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）18．如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．（1）求证：△ABE≌△FEH；（2）连接BH，若∠EBC＝30°，求∠ABH的度数．19．掷实心球是中学生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．六、（本题满分12分）20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？七、（本题满分12分）21．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．八、（本题满分14分）22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；

B不是中心对称图形，不符合题意；C是中心对称图形，符合题意；

D不是中心对称图形，不符合题意；

故答案为：C【分析】将图形沿某一个点旋转180°后能够原图形重合的图形为中心对称图形.2．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：

将x=2代入方程可得：

4+2m-6=0

解得：m=1故答案为：B【分析】将方程的根代入方程即可求出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：

x故答案为：B【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

B'C=BC=5

∴AB'=B'C-AC=2故答案为：D【分析】根据旋转的性质即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：

y∵-1>-16

∴y1>【分析】将点坐标代入抛物线解析式可得y16．【答案】C【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意可得：

1999故答案为：C【分析】根据降价后的售价=降价前售价×(1-x)，即可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】∵∠ACB=90°，∠ABC=25°，∴∠A=90°﹣∠B=65°，由旋转的性质得：CA=CA′，∴∠A=∠CA′A=65°，∴α=∠ACA′=180°﹣2×65°=50°，故答案为：B．

【分析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，得出∠A的度数，又由将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，易得△ACA′是等边三角形，继而求得答案。8．【答案】C【解析】【解答】解：当x=﹣1时，y=﹣1，x=1时，y=1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选C【分析】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．9．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：

a（x+m﹣1）2+n＝0，整理可得：a[(x-1)+m)]2+n＝0

∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3

∴x-1=-4或x-1=3

解得：x=-3或x=4故答案为：B【分析】根据已知方程的根可得x-1=-4或x-1=3，即可求出答案.10．【答案】C【解析】【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）.∴二次函数的对称轴为x=(−1)+3∴2a+b=0.故①正确；②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）.∴a-b+c=0，9a+3b+c=0.又∵b=-2a.∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0.∴3b=-6a，2c=-6a.∴2c=3b.故②错误；③∵抛物线开口向上，对称轴是x=1.∴x=1时，二次函数有最小值.∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c.即a+b＜am2+bm.故③正确；④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形.∴AD2+BD2=42.解得，AD2=8.设点D坐标为（1，y）.则[1-（-1）]2+y2=AD2.解得y=±2.∵点D在x轴下方.∴点D为（1，-2）.∵二次函数的顶点D为（1，-2），过点A（-1，0）.设二次函数解析式为y=a（x-1）2-2.∴0=a（-1-1）2-2.解得a=12故④正确；⑤由图象可得，AC≠BC.故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个.故⑤错误.故①③④正确，②⑤错误.故答案为：C.【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为x=(−1)+32=1，即-b2a=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，则m≠1，可判断③11．【答案】y＝﹣2（x﹣1）2﹣4【解析】【解答】解：由题意可得：

平移后的抛物线的解析式为：y=-2(x+2-3)2-4

整理可得：y=-2(x-1)2-4故答案为：y=-2(x-1)2-4【分析】根据平移的性质：上加下减（对x），左加右减（对y），即可求出答案.12．【答案】k≤14【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，∴k≠0Δ=解得：k≤14故答案为：k≤14【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．13．【答案】（−3【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，

∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=3，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，∴B'C=BD=3，OC=AD=3，∴B'坐标为（-3，3）

【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，314．【答案】（1）-2（2）ak＝﹣2【解析】【解答】解：在抛物线y＝ax2+1

当x=0时，y=1

∴对称轴为x=0，顶点A（0，1）

∴对称轴与x轴交于点C的坐标为（0，0）

∴AC=1

∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线

∴BD=AC=1

由题意可得：

点B，D关于对称轴对称

∴B（-12，12），D(12，12)或D（-12，故答案为：-2（2）在抛物线y＝ax2+k

当x=0时，y=k

∴对称轴为x=0，顶点A（0，k）

对称轴与x轴交于点C的坐标为（0，0）

∴AC=k

正方形ABCD中，AC，BD是对角线

∴BD=AC=k

由题意可得：

点B，D关于对称轴对称

∴B（-k2，k2），D(k2，k2)或D（-k2，k2），B(k2，k2)

15．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a(将B(1，0)∴a=−1，∴函数解析式为y=−(所以该抛物线的函数解析式为y=−x【解析】【分析】知道函数图象顶点坐标，直接设顶点式y=ax-216．【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x(整理，得：x2+2x−80=0，解得：x1答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）解：81+81×8=729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．【解析】【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据“经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程1+x+x(x+1)17．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求．点A1的坐标为（4，4）．⑵如图，△A2B2O即为所求．⑶如图，连接A1A2，B1B2，作A1A2与B1B2的垂直平分线，相交于点P，则点P即为△A2B2O与△A1B1C1的旋转中心，∴旋转中心P的坐标为（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）根据平移的性质，先将各点向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到A1，B1，C1，再依次连接各点即可求出答案.

（2）根据旋转性质即可将各点绕原点O旋转90°，再依次连接各点即可求出答案.

（3）连接A1A2，B1B2，利用网格分别作A1A2与B1B2的垂直平分线，相交于点P，则点P即为△A2B2O与△A1B1C1的旋转中心，即可求出答案.18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，由旋转性质，得：FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，∴AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，在矩形BEFG中，GF∥BE，∴∠AEB＝∠FHE，在△ABE和△FEH中，∠AEB=∠FHE∠BAE=∠EFH∴△ABE≌△FEH（AAS），（2）解：∵四边形是矩形，∴AD∥BC，∴∠HEB＝∠EBC＝30°，∵△ABE≅△FEH，∴BE＝EH，∴∠EHB＝∠EBH＝12∵∠BAH＝90°，∴∠ABH＝90°﹣∠EHB＝15°，即∠ABH的度数为15°．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，再根据旋转的性质可得FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，则AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，根据直线平行性质可得∠AEB＝∠FHE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据直线平行性质可得∠HEB＝∠EBC＝30°，再根据全等三角形性质可得BE＝EH，则∠EHB＝∠EBH＝1219．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3．把（0，53）代入解析式，得53解得a＝﹣427∴y关于x的函数表达式为y＝﹣427（x﹣3）2（2）解：该女生在此项考试中是得满分．理由：令y＝0，即﹣427（x﹣3）2解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.70m．∴该女生在此项考试中是得满分．【解析】【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，根据待定系数法将（0，53）代入解析式，即可求出答案；

（2）令y＝0，代入解析式可得解得x1＝7.5，x220．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150(解得x1=0.答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：(y−3整理得y2解得y1=80（不合题意，舍去），答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题，根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验即可得出答案；

（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，则每个头盔的利润为（y-30）元每个，每月的销售数量为[600-10(y-40)]个，根据单个头盔的利润×每月的销售数量=当月的总利润建立方程，求解并检验即可.21．【答案】（1）150°（2）证明：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，AE=A∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝AB∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝BC∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝7．【解析】【解答】（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PAP′＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，∵P′C=PB=4，PC=5，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.故答案为150°【分析】（1）根据旋转变化前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答即可；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质得出AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，从而得出∠EAF＝∠E′AF，利用边角边证明△EAF≌△E′AF，根据全等三角形对应边相等得出E′F＝EF，在利用勾股定理列式即可得出结论；

（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的