2025-2026学年江苏省南通市如皋市实验初中九年级（上）数学期中试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025--2026学年江苏省南通市如皋市实验初中九年级（上）数学期中试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线的顶点坐标为（

）A. B. C. D.2.如图，A，B，P是⊙O上三点，若∠P＝110°，则∠AOB的度数为（）

A.70° B.110° C.125° D.140°3.若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（

）A. B. C. D.4.将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（）A. B. C. D.5.如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（

）

A. B. C. D.6.如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（

）

A.3 B. C.12 D.7.如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（）

A. B. C.2 D.38.如图，直线m是正五边形的对称轴，点P是直线m上的动点，当的值最小时，的度数是（）

A. B. C. D.9.已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为(

)A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.910.如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（

）

A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是

．12.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接）

．13.如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了____

____cm．（结果保留）

14.如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是

．（填“”，“”或“”）15.如图，点都是上的点，，，则的度数为

．

16.如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为

，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为

．

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)已知二次函数．

(1)将二次函数化成的形式；(2)在平面直角坐标系中画出的图象；(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．18.(本小题8分)《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题：已知，如图所示，及外一点P．

(1)按要求完成作图步骤并准确标注字母，尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接．(2)请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由(3)设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长．19.(本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C．

(1)求一次函数的解析式；(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；(3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．20.(本小题8分)如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．

(1)求证：；(2)若，求的直径．21.(本小题8分)如图，已知二次函数的图象经过点.

(1)求的值和图象的顶点坐标．(2)点在该二次函数图象上.

①当时，求的值；②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.22.(本小题8分)如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．23.(本小题8分)

已知抛物线为常数．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若，两点在此抛物线上，比较与的大小；(3)已知点，都在该抛物线上，求证：．24.(本小题8分)综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？(1)【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和

，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或__

____m，_

_____m．根据小颖的分析思路，完成上面的填空；(2)【类比探究】若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．(3)【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．(4)【拓展应用】外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围

．25.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．(1)求此抛物线对应的函数表达式．(2)当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长．(3)将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围；设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】​​​​​​​

17.【答案】【小题1】；【小题2】由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：，开口向下，当x=0时，y=3，∴交y轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x轴有两个交点，综上所述，图像如图所示：

【小题3】根据（2）所画图像可得，，－3＜x＜1.

18.【答案】【小题1】解：如图，即为所求，【小题2】是的切线．理由如下：连接，∵是的直径，∴，即于点B，∴是的切线．【小题3】连接，∵为的垂直平分线∴在中，∴，在中．

19.【答案】【小题1】解：反比例函数的图象经过点，，解得：，，把的坐标代入得，解得：，∴一次函数的解析式为；【小题2】解：观察图象可得，不等式的解集为：或；【小题3】解：连接，由一次函数的解析式为可得，∴，设，由题意可得，解得：，或．

20.【答案】【小题1】证明：连接，如图，

∵为的直径，∴，即，∵点C为的中点，∴，∴，∴；【小题2】解：设交于点T，如图，

∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，设，则，∴，∴，即的直径为5；

21.【答案】【小题1】解：把代入，得，解得.∵，∴顶点坐标为.【小题2】①当m=2时，n=11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.

22.【答案】【小题1】证明：如图连接，则，，平分，，，，交的延长线于点，，，是的半径，且，是的切线．【小题2】是的直径，，，，，，，，，，，，．

23.【答案】【小题1】解：∵，∴抛物线顶点坐标为．【小题2】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵，，又∵，∴．【小题3】解：∵抛物线经过，，∴抛物线对称轴为直线，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，∴将代入得，∵，∴．

24.【答案】【小题1】​​​​​​​42【小题2】不能围出面积为的矩形；理由如下：的图象，如图中所示：∵与函数图象没有交点，∴不能围出面积为的矩形．故答案为：与函数图象没有交点；【小题3】如图中直线：所示，∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，∴由唯一解，即：方程只有一个解，∴，解得：（负值舍去），此时：，解得：，当时，，∴此时交点坐标为；【小题4】​​​​​​​

25.【答案】【小题1】解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，∴，，∴，∴此抛物线对应的函数表达式为；【小题2】解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称，∴，解得：，∴点的横坐标为，点的横坐标为，∴，∴线段的长为；【小题3】解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知：点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，点A在左侧，点B在右侧；可得：解得：；图象G在