成比例线段（第1课时）（导学案）数学北师大版九年级上册

4.1成比例线段导学案理解线段的比和成比例线段的定义，能准确判断四条线段是否成比例；掌握比例的基本性质，并能运用性质解决简单的几何问题.2.经历测量、计算、对比等活动，从具体实例中抽象出成比例线段的概念，培养数学抽象能力.3.感受成比例线段在生活中的广泛应用，体会“数学源于生活、用于生活”，激发学习兴趣.成比例线段的定义，掌握比例基本性质并会简单应用.理解并会推导比例基本性质，能够识别实际问题中“成比例线段”模型.第一环节自主学习温故知新：1.测量以上两个形状相同图形对应边的长度，发现两个图形中的两条对应边比值都为2：1．2.由此可以发现：形状相同的图形，多组对应边的比值是相等的.3.回顾：两个数的比，本质是表示两个数相除的关系.新知自研：自研课本第7578页的内容．【学法指导】情景引入在ppt上展示一些生活图片，并将这些图片的缩放图放在一起，引导学生观察这些图片的大小与形状关系.自研课本P7578页的内容，思考：●探究一：形状相同图形与线段的比◆1.图中形状相同的图形有：大小不同的星形、轮廓相似但大小有别的多边形、五边形◆2.由于对应线段的长度不同，导致它们最终大小不一样；由此可以猜想，这些形状相同的图形可能存在固定的比例关系.◆3.定义：如果用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比是AB:CD=m:n（或ABCD◆4.（1）线段的比的实质是什么两个数的比. （2）注意：计算时必须统一长度单位◆5.（1）已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB=5cm，A'B'=3cm，那么线段AB与A'B'的比是53（2）这个比值刻画了形状相同图形的大小关系，也就是说，大五边形可看作小五边形“放大53倍”得到◆6.知识归纳①形状相同的图形，对应线段的比相等；②线段的比：线段的比是两条线段长度的比值（需统一单位），它能刻画形状相同图形的大小关系，若两线段AB、CD的长分别为m、n，则两条线段长度的比记作ABCD=练一练1.（1）用同一单位测量得线段

MN=4 cm，PQ=12 mm，则

MN:PQ（2）若线段

a=2 m，b=100 cm，则

ab=2002.已知线段

AB=3 cm，CD=6 cm，下列说法正确的是（

A.

AB:CD=2:1

C.

AB

是比的前项，CD

是比的后项时，比值为

12

D.

CD

与

AB

的比为

3:6●探究二 成比例线段的概念探究◆1.观察图形观察上图，可以发现这两个四边形形状形状相似、大小不同◆2.设小方格边长为1，计算线段AB、AD、EF、EH的长度AB=8；由勾股定理,AD=10EF=4;由勾股定理,EH=◆3.计算线段比值，探究其中规律2◆4.知识归纳“成比例线段”的定义.四条线段a,，b,，c,，d中，若a与b的比等于c与d的比（即ab=cd），则这四条线段叫做成比例线段（简称（1）四条线段成比例的核心条件是两组线段的比相等；线段顺序会（会/不会）影响比例关系.练一练下列每组四条线段中，哪些是成比例线段？若成比例，写出一个比例式；若不成比例，说明理由（单位：cm）.（1）a=2，b=4，c=3，（2）a=1，b=2，c=3，（3）a=5，b=10，c=15解：（1）ab=24=12比例式为a（2）尝试所有可能的“两两比”组合：ab=12，ac=13，ad=14，所有组合中，均无“两个比相等”的情况，故四条线段不成比例（3）计算线段的比，寻找“两个比相等”：ab=5因为

ab比例式：a●探究三 比例的基本性质探究猜想：（1）如果a，b，c，d四个数成比例，即ab=cd，那么（2）反过来，如果ad＝bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？小组讨论：验证以上两个猜想.◆1.结合等式性质，验证若ab=c由于ab=cd，且b,得ab⋅bd◆2.猜想二的验证（1）已知

2×6=4×3（即

ad=bc），利用等式的性质，在2×6=4×3的等号两边同时除以24，能得到

24=36；同样的，3×4=2×6（即

bc=ad），利用等式的性质，在2×6=4（2）若

ad=bc，且

b,c≠0，利用等式的性质，等式两边同时除以

◆3.知识归纳比例的基本性质：正向：若

ab=cd（b,d反向：若

ad=bc（a,b,c,练一练1.（1）若x3=y5（x,y（2）若2a=3b（a解：ab=32.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）若mn=pq，则mq=np；（2）若ab=cd，则ac=db（a,b,c,d均为实数）.解：（1）正确。理由：根据比例的基本性质，若mn=pq（n,q≠0，比例式分母不为0），则两外项m与q（2）不正确。理由：若ab=cd，转化为比例式ac=db需要满足分母c≠0且b≠0。题目中仅说明a,b,c,d均为实数，未限制典例分析例1：如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AEAD=ADAB，那么a【分析】本题是比例性质应用问题，结合矩形裁剪情境，核心是利用比例的基本性质（交叉相乘）建立方程求解未知量.【解答】根据题意可知，AB＝am，AE＝13am，AD＝由AEAD=AD即1∴a开平方，得a＝3（a＝－3舍去，长度为正数）.第二环节合作探究小组群学在小组长的带领下：A.共同探讨如何得出比例的基本性质；B.合作探究比例的基本性质的双向推导.C.交流例题的解决方法.1.已知线段a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=6cm，下列比例式成立的是（A.ba=dc C.da=cb 2.若四条线段m、n、p、q成比例，且m=3，n=4，p=6，则q的值为（AA.8 B.4.5C.2 D.123.下列说法正确的是（C）A.若ba=dc，则a=cB.线段的比与所采用的长度单位有关C.若ad=bc（a,b,c,D.成比例线段的四条线段必须按顺序排列4.已知yx=43（y≠0），则下列等式成立的是（A.3x=4y C.3x=4y 5.形状相同的两个矩形，其中一个矩形的长和宽分别为5cm和4cm，另一个矩形的宽为6cm，则其长为（B）A.7cm B.7.5cmC.8cm D.8.5cm6.若ba=32，且a+7.已知线段AB=6cm，CD=2dm（1dm=10cm），则AB:8.若3m=5n（m,9.某工厂要生产一种零件，设计图纸上零件的长为10cm，实际生产的零件长为50mm（1cm=10mm），图纸上零件的宽为6cm。（1）求图纸上零件与实际零件的长度比；（2）根据比例的基本性质，求实际生产零件的宽。解：（1）长度比计算图纸上零件长10

cm，实际长50

mm=5（2）实际宽计算设实际生产零件的宽为x

cm，根据比例关系图纸长实际长=图纸宽实际宽故实际生产零件的宽为3cm.题型一：线段的比与单位统一1.（2024・山东青岛模拟）已知线段a=3cm，b=50mm，则aA.35 B.350 C.3500 【分析】此题的单位不统一，需将bb的单位换算为"cm"（1cm=10mm）.【解答】统一单位：b计算比值：a:b【点评】本题关键在单位统一，避免直接用“3cm:50mm”计算导致错误.2.（2.（2023・江苏苏州中考改编）线段m=2dm，n=0.4m（1m=10dm），则A.1:2 B.2:4 C.5:1 D.1:5【分析】单位不统一：m的单位是"dm"，n的单位是"m"，需统一单位（1m=10dm）.【解答】统一单位：n=0.4 "m"=0.4×10=4 "dm"计算比值：m:n=2 "dm":4 "dm"=2:4=1:2【点评】易错点：未化简“2:4”，错选B；或单位换算错误（如将0.4 "m"换算为0.4dm），错选C.3.（2025・湖北武汉模拟）若线段AB=4cm，线段CD的长度是AB的2倍，则AB:CD=【分析】先求出CD的长度，再计算AB与CD的比.【解答求CD的长度：CD=2×AB=2×4 "cm"=8 "cm"计算比值：AB:CD=4 "cm":8 "cm"=4:8=1:2.【点评】关键步骤：明确“CD是AB的2倍”即CD=2AB，避免将比写成2:1.4.（2024・浙江杭州模拟）已知线段x=1.5cm，y=3mm【分析】单位不统一：x的单位是"cm"，y的单位是"mm"，需统一单位（1cm=10mm）.【解答】统一单位：y计算比值：x【点评】技巧：小数比可通过“分子分母同乘10的倍数”化为整数比，再计算．题型二：成比例线段的判断5.（2023・四川成都中考）已知四条线段a=2，b=3，c=4，d=6，下列说法错误的是（A.a,b,c,d成比例（ab=cC.a,d,b,c成比例（【分析】分别验证各选项的比例式是否成立，即计算“前项比后项”是否相等．【解答】选项A：ab=23，cd=46=2选项B：ac=24=12，bd=36选项C：ad=26=13​，b【点评】关键：成比例线段的顺序可调整，只要存在两组线段比相等即可.6.（2024・广东深圳模拟）四条线段的长度分别为3，5，6，10，则这四条线段（A）A.成比例 B.不成比例C.只有两组成比例 D.无法判断【分析】尝试不同顺序组合，判断是否存在ab=【解答】组合1：35=0.6，610=0.6，则【点评】技巧：先将四条线段按从小到大排序（3，5，6，10），再验证“最小:较小=较大:最大”是否成立（35=7.（2025・河南郑州模拟）若四条线段m=1，n=2，p=2，q【分析】验证是否存在mn=【解答】mn=12=22【点评】理数比：含根号的线段比可通过分母有理化后比较8.（2023・湖南长沙模拟）已知线段a=4，b=6，c=9，d=6，判断a【分析】分别计算ab和d【解答】计算比值：ab=46=23​判断成比例：由ab=dc​，可知四条线段a,【点评】顺序调整：成比例线段的顺序不唯一，只要满足“两组比相等”即可.题型三比例基本性质9.（2024・陕西西安中考改编）若x2=y3（x,A.3x=2y C.xy=32 【分析】利用比例基本性质“交叉相乘”转化为等积式.【解答】由x2=y3，交叉相乘得3x选项B：应为3x=2y选项C：xy=23选项D：需用合比性质验证，但题目未要求，D不成立.【点评】核心技巧：比例式ab=cd​与等积式ad=10.（2023・重庆中考）已知ab=cd（a,A.ac=db C.bc=da 【分析】验证各选项是否满足“外项积=内项积”（即ab=cd）【解答】选项A：ac=db→外项积ab，内项积选项B：ad=cb​→外项积ab，内项积选项C：bc=da→外项积ab，内项积选项D：bd=ac→外项积bc，内项积ad，即bc=【点评】验证方法：比例式正误判断的本质是“外项积是否等于内项积”，与已知等积式对比即可.11.（2025・江苏南京模拟）若2m=3n（【分析】将等积式2m=3n转化为比例式【解答】等式2m=3n两边同时除以2n（n【点评】等积式化比例式时，“m的系数”作为后项，“n的系数”作为前项.12.（2024・山东济南模拟）已知ab=35，且【分析】设a=3k，b=5k（k≠0），代入【解答】设参数：设a=3k代入方程：3k+5k=16求a,b：a【点评】比例问题中，设“比例系数k”可将两个变量转化为一个变量，简化计算.题型四比例性质的计算应用13.（2023・浙江宁波中考改编）已知ab=23，b=12，则A.6 B.8C.10 D.14【分析】利用比例基本性质“交叉相乘”求a.【解答】由ab=23代入b=12：3a【点评】比例式中已知三个量，可通过“外项积=内项积”求第四个量14（2024・河北石家庄模拟）若xy=45，则x+A.45 B.C.95 D.【分析】利用合比性质：x【解答】.x【点评】合比性质：避免繁琐的参数法，直接将分式拆分为“xy+1”15.（2025・辽宁沈阳模拟）已知a-bb【分析】将a-bb拆分为ab【解答】a-bb【点评】拆分法：将分子为多项式的分式拆分为两个分式的差或和，简化计算16.（2023・安徽合肥模拟）若x3=y4=z5（【分析】设比例系数k，表示x=3k，y=4k【解答】设参数：设x3=y4=z5=代入方程：23k+4k-5kxyz【点评】连比设k：遇到多个相等的比（连比），设比例系数k是通用方法，可将多个变量统一为单变量题型五比例性质的计算应用17.（2024・福建福州中考）某地图的比例尺为1:50000，若图上距离为2cm，则实际距离为（AA.1000m B.C.100m D.【分析】比例尺=图上距离:实际距离，设实际距离为x cm，列比例式求解，注意单位换算（1m=100cm【解答】列比例式：150000=单位换算：100000