2021北京高一数学上学期期末汇编：集合与常用逻辑语（解答题3）

1/12021北京高一数学上学期期末汇编：集合与常用逻辑语（解答题3）一、解答题1．（2021·北京·高一期末）已知数集具有性质对任意的，使得成立.（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）求证：；（2）若，求的最小值.2．（2021·北京市八一中学高一期末）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合已知4，6，8，，2，4，8，．Ⅰ写出和的值，并用列举法写出集合；Ⅱ用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；Ⅲ有多少个集合对，满足P，，且？3．（2021·北京·高一期末）设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记M（）=．（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

4．（2021·北京铁路二中高一期末）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（）设函数，求集合和．（）求证：．（）设函数，且，求证：．5．（2021·北京·高一期末）已知集合，.（1）若，求集合，集合；（2）若，求实数的取值范围.

2021北京高一数学上学期期末汇编：集合与常用逻辑语（解答题3）参考答案1．（1）不具有（2）见解析（3）.【详解】【试题分析】（1）直接运用题设提供的条件进行验证即可；（2）运用题设条件中定义的信息可得，同理可得，将上述不等式相加得：，可获证；（3）借助（2）的结论可知，又，所以可得，因此构成数集，经检验具有性质，故的最小值为.解：（1）因为，所以具有性质；因为不存在，使得，所以不具有性质.（2）因为集合具有性质，所以对而言，存在，使得，又因为，所以，所以，同理可得，将上述不等式相加得：，所以.（3）由（2）可知，又，所以，所以，构成数集，经检验具有性质，故的最小值为.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题．求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得，同理可得，再将上述不等式相加得：即可获证；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知，又，所以可得，因此构成数集，经检验具有性质，进而求出的最小值为.2．(1),,，(2)4，（3）128【详解】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,①且,则;②若且,则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值．（Ⅲ）由P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．试题解析：(Ⅰ),,.(Ⅱ)根据题意可知：对于集合,①且,则;②若且,则.所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4.(Ⅲ)因为,所以.由定义可知：.所以对任意元素,,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因为,所以满足题意的集合对的个数为.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,若且,则;若且,则，由此可得结论；(3)由题意易得，由定义可知：，易知，由可得，则结论易得.3．(1)2,1;(2)最大值为4;(3)【详解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.4．（），；（）证明见解析；（证明见解析．【分析】（）由，解得，；由，解得，，；（）若，则成立；若，设为中任意一个元素，则有，可得，故，从而可得结果；（）①当时，的图象在轴的上方，可得对于，恒成立，则．②当时，的图象在轴的下方，可得对于任意，恒成立，则．【详解】（）由，得，解得，由，得，解得，∴，．（）若，则成立，若，设为中任意一个元素，则有，∴，故，∴．（）由，得方程无实数解，∴．①当时，的图象在轴的上方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于，则有成立，∴对于，恒成立，则．②当时，的图象在轴的下方，所以任意，恒成立，即对于，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则，综上知，对于，当时，．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.5．（1），；（2）.【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出、，最后根据并集的定义计算可得；（2）由，可得，即可得到不等式组，解得即