2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：函数的概念及其表示章节综合1

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函数的概念及其表示章节综合1一、单选题2．（2021·北京市十一学校高一期中）下列函数中与表示的是同一函数的是（）A． B．C． D．3．（2021·北京·人大附中高一期中）在下列各组函数中，与表示同一函数的是（）A．， B．，C．， D．，4．（2021·北京四中高一期中）函数若，则x的值是（）A． B．1或 C．1或 D．5．（2021·北京四中高一期中）设函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．6．（2021·北京八十中高一期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．7．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知关于的函数的定义域是（，为整数），值域是，则满足条件的整数数对的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（2021·北京八中高一期中）已知，则等于（）A．1 B． C．2 D．9．（2021·北京师大附中高一期中）下图是函数的图像，的值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．［-4，0） B．［-4，-2） C．［-4，+∞） D．（-∞，-2）11．（2021·北京·清华附中高一期中）已知函数，那么（）A． B． C． D．12．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数，则（）A． B． C． D．13．（2021·北京四中高一期中）若，则（）A．0 B． C．1 D．二、多选题14．（2021·北京·人大附中高一期中）设函数，则下列结论正确的是（）A．的值域为 B．C．是偶函数 D．是单调函数三、填空题15．（2021·北京市十一学校高一期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的有_____________.①②③④⑤16．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数，下面有四个结论：①当时，在上单调递减；②若函数恰有2个零点，则的取值范围是；③若函数无最小值，则的取值范围是；④若方程有三个实数根，其中，则不存在实数，使得．其中所有正确结论的序号是___________．17．（2021·北京市十一学校高一期中）函数的定义域是___________.18．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在非零实数上的奇函数，满足，则等于______.19．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数，则______.20．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是_________.21．（2021·北京师大附中高一期中）函数的定义域为______．四、双空题22．（2021·北京市十一学校高一期中）已知两个函数和都是定义在上的函数，对应关系如下表：x0123x012332101302（1）若，则__________；（2）方程的解集是____________.23．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知函数，且，，，，则__________；的一个解析式可以是__________．24．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数的图象是如图所示的两条线段（不含端点），则：（1）_________；（2）若，则实数a的取值范围是_____________.25．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数则____；若，则_____．五、解答题26．（2021·北京·清华附中高一期中）已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的，都有．（1）求和的值；（2）证明：为奇函数，并且；（3）若在区间上单调递减，直接写出关于的不等式的解集27．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数（其中）.（1）当时，画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间；（2）若在区间上的最大值为，求的表达式.28．（2021·北京·北师大二附中高一期中）己知函数(b，c为常数)，f(1)=4，f(2)=5.（1）求函数f(x)的解析式；.（2）用定义证明∶函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.29．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数的定义域为集合，集合.（1）求集合；（2）若全集，，求；（3）若，求的取值范围.30．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知函数的定义域为R，且满足对于任意，都有，且当时，，且．（1）求与的值；（2）判断的奇偶性；（3）判断的单调性，并证明；（4）解不等式．

参考答案1．A【分析】对于A：，与中的x取值范围相同；对于B：，与中的x可取任意值的取值范围不同；对于C：，与中的x可取任意值的取值范围不同；对于D：，与不是同一函数.【详解】对于A：，并且其定义域为R，x取任意值时，与中的x取值范围相同，所以两个函数是同一函数，故A正确；对于B：，定义域为，与中的x可取任意值的取值范围不同，所以两个函数不是同一函数，故B不正确；对于C：，定义域为，与中的x可取任意值的取值范围不同，所以两个函数不是同一函数，故C不正确；对于D：，所以与不是同一函数，故D不正确，故选：A.2．B【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.【详解】若与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；D：与的解析式不相同，故排除D.故选：B3．D【分析】考虑，，三种情况，代入函数分别计算得到答案.【详解】当时，，解得，不满足；当时，，或（舍去），故；当时，，解得，不满足.综上所述：.故选：D.4．B【分析】考虑，两种情况，代入函数解不等式得到答案.【详解】当时，，即，解得，故；当时，，即，解得，故.综上所述：.故选：B.5．B【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B6．A【分析】根据函数的值域先求出满足条件的，结合函数的定义域进行求解，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，解得，可得或；令，可得，解得，又由当时，，可得函数为单调递减函数，又由，可得，函数为为偶函数，所以函数为偶函数，图象如图所示，所以函数的定义域可能为，则满足他条件的整数数对为，共有5个.故选：A.7．B【分析】根据分段函数解析式求解即可.【详解】解：由题知，所以故选：B8．A【分析】由图象可知时，为一次函数，进而待定系数法求出解析式，即可求出结果.【详解】由图象可知时，为一次函数，且过点，，设时，，则，解得，则，因此，故选：A.9．B【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】因为且在上单调递增，则，所以，解得，即，故选：B10．D【分析】把看作一个整体代入【详解】因为，把看作一个整体代入，得：故选：D11．D【分析】根据分段函数解析式求得的值.【详解】依题意.故选：D12．A【分析】取，代入计算得到答案.【详解】取，则.故选：A.13．BC【分析】由的值域为判断A，由判断B，根据奇偶性的定义判断C；由判断D.【详解】的值域为，故A错误；，故B正确；定义域关于原点对称，当时，，则；当时，，则，即是偶函数，故C正确；因为，所以不是单调函数，故D错误；故选：BC14．②③⑤【分析】根据奇偶函数的定义及常见函数的性质即得.【详解】对于①，为偶函数，故①错误；对于②，为奇函数且值域为R，故②正确；对于③，为奇函数且值域为R，故③正确；对于④，为非奇非偶函数，故④错误；对于⑤，为奇函数且值域为R，故⑤正确.故答案为：②③⑤.15．①②④【分析】①结合二次函数的单调性判断即可；②将函数恰有2个零点，转化为在上有两个零点，进而根据二次函数的零点问题即可判断；③求出分段函数在各段的值域，分析即可求出结果；④结合二次函数的对称性以及不等式的性质即可判断．【详解】①当时，，因为函数的对称为，且开口向上，所以在上单调递减，故①正确；②因为时，，故在无零点，因此若函数恰有2个零点，即在上有两个零点，因此，即，则的取值范围是，故②正确；③因为时，，故在上的值域为，若函数无最小值，则需满足在上的最小值大于0，若，即，此时在上单调递减，所以，符合题意；若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，即，因此，综上所述的取值范围是，故③错误；④假设存在方程有三个实数根，其中，则有，则，当且仅当时，等号成立，而，即，则不存在实数，使得，故④正确．故答案为：①②④.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【分析】由被开方数非负，可求出函数的定义域【详解】解：由，得，，解得或所以函数的定义域为，故答案为：.17．【分析】由可得，再根据奇函数的定义，即可求解.【详解】∵，∴，∵为定义在非零实数上的奇函数，∴，即，∴.故答案为：.18．【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：19．【分析】根据题意可知，由此即可求出结果.【详解】因为函数在R上单调递减，所以，解得.故答案为：.20．【分析】根据函数解析式，可知，即可求出函数的定义域.【详解】解：由题可知，则，解得：且，所以函数的定义域为.故答案为：.21．【分析】（1）利用函数的对应关系即求；（2）把x的取值代入验证即求.【详解】（1）∵，∴，∴；（2）当时，，当时，，当时，，当时，，∴方程的解集是.故答案为：（1）；（2）22．（答案不唯一）【分析】依次求得的值，结合累乘法求得的一个解析式.【详解】依题意，所以.由，令得，则，，即.故答案为：；（答案不唯一）23．1【分析】（1）先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值；（2）根据函数图象，建立不等式求解.【详解】（1）由图象知，，．（2）由图象可知，函数在和上单调递增，又，所以，解得故答案为：1；24．4-2【分析】空1：根据分段函数的定义域，先求，再求；空2：根据分段函数的定义域，分，两种情况讨论求解.【详解】答题空1：，.答题空2：，时，，（舍）或；时，，（舍）.综上，.故答案为：4；-2.25．（1），.（2）证明见解析（3）【分析】（1）令，可得求得，再令，可得求得.（2）分别令和，求得，进而得到，得出函数为定义域上的奇函数，再令，结合，即可得到.（3）根据函数为奇函数，得到，转化为，由函数在区间上单调递减，且，证得函数在区间上单调递增，结合，列出不等式组，即可求解.（1）解：因为函数满足，且当时，恒成立，令，可得，因为，所以，令，可得，即，因为，且当时，恒成立，所以.（2）解：由题意，函数的定义域关于原点对称，令，可得，令，可得，用代换，可得，所以，因为，，所以，所以函数为定义域上的奇函数.令，可得，因为，可得，即.（3）解：因为函数为奇函数，可得，则不等式，即为，因为，所以，由函数在区间上单调递减，且，设且，可得，则所以，即，所以函数在区间上单调递增，所以不等式转化为，解得，解不等式的解集为.26．（1）图象见解析，单调递减区间为（2）【分析】（1）当时，可得，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意，分别求得，且，结合图象分类讨论，即可求解.（1）解：当时，可得，结合二次函数的图象与性质，可得函数的图象，如图所示：可得函数的单调递减区间为.（2）由题意，函数（其中），若时，，且，若时，令，即，解得，（1）当时，即时，可得，（2）当时，即，此时，由，若时，即时，可得，所以；若时，即时，可得，所以，综上可得在区间上的最大值为.27．（1）（2）证明见解析【分析】(1)结合已知条件利用待定系数法求解即可；(2)首先设任意的，，且，然后利用作差法比较和大小，再结合函数单调性的定义即可证明.（1）由题意可知，，解得，，故函数f(x)的解析式为：.（2）设任意的，，且，则，因为，，且，所以，，即，从而，即，故函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.28．（1）（2）或（3）【分析】（1）由求解；（2）