2022-2023学年中山南区高三数学期中考试要点解读

2022-2023学年中山南区高三数学期中考试要点解读考试时间：______分钟总分：______分姓名：______1.选择题（1）若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，则a，b，c的关系为（）A.a>0，b=0，c<0B.a<0，b=0，c>0C.a>0，b≠0，c≠0D.a<0，b≠0，c≠0（2）在直角坐标系中，点A（1，2）关于直线y=x的对称点为（）A.（2，1）B.（-2，1）C.（1，-2）D.（-1，-2）（3）已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，则数列的前10项之和为（）A.90B.100C.110D.120（4）若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an与首项a1的关系为（）A.an=a1+(n-1)dB.an=a1-(n-1)dC.an=a1+ndD.an=a1-nd（5）若函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则该极值为（）A.1B.-1C.0D.32.填空题（1）已知函数f(x)=(x-1)^2+2，则函数的对称轴为__________。（2）在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为__________。（3）已知数列{an}的通项公式为an=n^2+1，则数列的第5项为__________。（4）若等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第10项an的值为__________。（5）若函数h(x)=x^2-4x+3，则函数的图像与x轴的交点坐标为__________。3.解答题（1）已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），求函数的解析式。（2）在直角坐标系中，点P（2，3）到直线y=-2x+5的距离为多少？（3）已知数列{an}的通项公式为an=n^3-n，求证数列{an}是递增数列。（4）已知等差数列{an}的首项为5，公差为3，求第n项an的表达式。（5）已知函数g(x)=x^3-6x^2+9x，求函数的极值。试卷答案1.选择题（1）B.a<0，b=0，c>0解析：函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，说明抛物线开口向下，即a<0。顶点坐标为（1，-2），故b=-2a，c=a。（2）A.（2，1）解析：点A（1，2）关于直线y=x的对称点，交换x，y坐标，得到（2，1）。（3）A.90解析：数列{an}的通项公式为an=2n-1，前10项之和为（1+3+5+...+19）=5*10=50。（4）A.an=a1+(n-1)d解析：等差数列{an}的第n项an与首项a1的关系为an=a1+(n-1)d。（5）A.1解析：函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，因为g'(1)=0，且g''(1)≠0，故极值为g(1)=1。2.填空题（1）对称轴为x=1解析：函数f(x)=(x-1)^2+2的顶点坐标为（1，2），故对称轴为x=1。（2）sinC的值为√3/2解析：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°-60°-45°=75°，sinC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√3/2。（3）数列的第5项为23解析：数列{an}的通项公式为an=n^2+1，第5项为a5=5^2+1=25+1=23。（4）第10项an的值为38解析：等差数列{an}的首项为5，公差为3，第10项an=a1+(n-1)d=5+(10-1)*3=5+27=32。（5）函数的图像与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）解析：函数h(x)=x^2-4x+3，因式分解得h(x)=(x-1)(x-3)，故图像与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）。3.解答题（1）函数的解析式为f(x)=x^2-2x+1解析：抛物线开口向上，顶点坐标为（1，-2），故a=1，b=-2a=-2，c=a=1，所以f(x)=x^2-2x+1。（2）点P（2，3）到直线y=-2x+5的距离为√5解析：点P到直线y=-2x+5的距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，代入得d=|2*(-2)+3*1+5|/√((-2)^2+1^2)=|4+3+5|/√(4+1)=√5。（3）数列{an}是递增数列解析：数列{an}的通项公式为an=n^3-n，计算an+1-an得a(n+1)-an=[(n+1)^3-(n+1)]-(n^3-n)=3n^2+3n+1-n-1=3n^2+2n，因为n^2和n都是非负的，所以an+1-an>0，故数列{an}是递增数列。（4）第n项an的表达式为an=5+(n-1)*3解析：等差数列{an}的首项为5，公差为3，第n项an=a1+(n-1)d=5+(n-1)*3。（5）函数的极值为极大值g(2)=1，极小值g(3)=0解析：函数g(x)=x^3-6x^2+9x，求导得g'(x)=3x^2