浙江省杭州市2025学年第一学期高三年级上学期教学质量检测(杭州一模)【数学试卷+答案】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BBABDABD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．11．对选项A：6的正因数为1，2，3，6共4个，所以f(6)＝4．所以不同的因数有5×3=15个，即f(2025)＝15，不正确．对选项C：S正确．对选项D：f2＝2，f3＝2，f4＝3，f5＝2，则正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上．14．解：由于曲线y是等轴双曲线，故点R到焦点F距离之差为常数．即IFRI-IRKI如图所示．因为点O，N分别是FK和FR的中点，故IFNI-IONI而FN＝FM+MN，所以IONI-IMNI＝IFMI-2＝3-2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．151）设等差数列{an}的公差为d，则解得所以{an}的通项公式an＝2n－1．……5分（2）设等比数列{bn}的公比是q，所以{bn}的通项公式为bn＝2n．……10分结合（1）知cn＝an＋bn＝2n＋2n－1．所以数列{cn}的前n项和Tnn2＝2n＋1＋n2—2．……13分161）(ⅰ)2sin(A－C)＝sin(A＋C)，展开化简得：sinAcosC＝3cosAsinC所以tanA＝3tanC＝3；当且仅当tanC时，tanA—C取到最大值……15分f'（2）设g－xx，所以g(x)在(0，+∞)单调递增，当x>0时，gx>g0＝0，所以，当x∈(0，+∞)时，f'x>x成立．……10分（3）因为xi＞1，则lnxi>0，由（2）知所以xii＝elnxilnxi．原式lnxi＝2lnx1x2…xn＝2lne2＝4．……15分181）由题知，AB3，又a2＝b2＋1，解得a＝2．故椭圆C的方程为1．……5分（2）记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1>0，y2<0．设直线AB的方程为l：x＝my＋1，代入椭圆得：(3m2＋4)y2＋6my—9＝0．则有y1＋yy1y①设AP与BP的斜率分别为k1，k2，则（3）设T(x0，y0)满足则(x0—x12＋将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入②,并化简得y1＋y2y1＋y2y1＋y2x＋y2x01＋my1y22y0y1y2＋2myy1＋y2y1＋y2y1＋y2将（2）中①代入③得：x＋y—5x0—y0＋4＝0，m又因为直线AB和直线x＝4的交点为R4，3．m故满足的T点都在以FR为直径的圆上．因为R，P，F，M，N都在以FR为直径的圆上，当k＝3m时，uk＝a；当k＝3m＋1时，uk＝b；当k＝3m＋2时uk＝c，其中m∈N，且a＋b＋c＝0．要保证x8为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数r应为0，3，6．①若r＝0，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶；②若r＝3，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况:奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；③若r＝6，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇．故X8为坐标原点的概率p……12分（3）当r不是3的倍数时，显然有p(r)＝0．以下讨论当r是3的倍数的情况．不妨设r＝3m，则掷得偶数的次数为80－3m次．记进行加向量a为操作A，加向量b为操作B，加向量c为操作C，不做任何操作记为x次y次z次在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结．注意到1个操作小节中有2次操作T，每两个操作小节也由操作T连接，所以共有27－m个操作