全国2理科数学试卷

全国2理科数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为？

A.3

B.2

C.1

D.0

2.若直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则k的取值范围是？

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.[-1,1]

C.(-1,1)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_2=3，则S_5的值为？

A.25

B.30

C.35

D.40

4.函数f(x)=sin(x+π/6)的图像关于哪条直线对称？

A.x=π/2

B.x=π/3

C.x=π/6

D.x=π

5.抛掷两个骰子，出现的点数之和为7的概率是？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

6.不等式|x-1|<2的解集是？

A.(-1,3)

B.(-1,1)

C.(1,3)

D.(-3,1)

7.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+b的模长是？

A.√10

B.√5

C.3

D.√3

8.函数f(x)=e^x的图像在点(1,e)处的切线方程是？

A.y=ex

B.y=e(x-1)+e

C.y=ex-e

D.y=e(x+1)

9.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则三角形ABC的面积为？

A.6

B.12

C.15

D.24

10.函数f(x)=log_2(x+1)的反函数是？

A.f^-1(x)=2^x-1

B.f^-1(x)=2^x+1

C.f^-1(x)=log_2(x-1)

D.f^-1(x)=log_2(x+1)

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是？

A.y=x^2

B.y=3^x

C.y=log_3(x)

D.y=-x^3

2.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=4，则下列说法正确的有？

A.圆心C的坐标为(2,-1)

B.圆C的半径为2

C.直线y=x+1与圆C相切

D.圆C与x轴没有交点

3.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，b_2=4，则下列结论正确的有？

A.数列{b_n}的公比为2

B.数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n

C.数列{b_n}的前n项和S_n=2(2^n-1)

D.数列{b_n}的第4项b_4=16

4.下列函数中，是奇函数的有？

A.y=sin(x)

B.y=x^3

C.y=e^x

D.y=1/x

5.已知某事件A的概率P(A)=1/3，事件B的概率P(B)=1/4，且事件A与B互斥，则下列结论正确的有？

A.事件A与B同时发生的概率为0

B.事件A或B发生的概率为7/12

C.事件A不发生的概率为2/3

D.事件B不发生的概率为3/4

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-3)，则b的取值范围是________。

2.已知直线l1:2x-y+1=0与直线l2:mx+3y-2=0垂直，则m的值是________。

3.在等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于________。

4.函数f(x)=cos(2x+π/3)的最小正周期是________。

5.从一副标准的52张扑克牌中（去掉大小王）随机抽取一张，抽到红桃的概率是________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

3.解方程组:

```

2x+y-z=1

x-y+2z=-1

x+y+z=3

```

4.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)，求向量a和向量b的夹角余弦值。

5.计算极限lim(x→0)(sin(3x)/x)。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.C

解析：f'(x)=3x^2-a，由题意知f'(1)=0，即3-a=0，得a=3。

2.C

解析：圆心(1,2)到直线的距离d=|k*1-1*2+b|/√(k^2+1^2)=2，化简得|k-2+b|=2√(k^2+1)，平方后整理得3k^2+4k+3-4b=0，判别式Δ=16-4*3*(3-4b)=0，解得b=1/4，代入原式得k^2+4k+3=0，解得k=-1或k=-3，故k∈(-1,-3)∪(-3,-1)即(-1,1)。

3.B

解析：由a_1=1,a_2=3得d=a_2-a_1=2，S_5=5/2*(2*a_1+4d)=5/2*(2+8)=30。

4.B

解析：函数y=sin(x+π/6)的图像关于直线x=-π/3对称，因为y=sin(x)的图像关于x=0对称，平移π/6后对称轴也平移π/6至x=-π/3。

5.A

解析：总共有6*6=36种等可能结果，点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，概率为6/36=1/6。

6.C

解析：由|x-1|<2得-2<x-1<2，即-1<x<3，解集为(1,3)。

7.√13

解析：|a+b|=√((1+2)^2+(2-1)^2)=√(3^2+1^2)=√10。

8.B

解析：f'(x)=e^x，f'(1)=e，f(1)=e，切线方程为y-e=e(x-1)，即y=ex。

9.6

解析：由3^2+4^2=5^2知三角形ABC为直角三角形，斜边为5，直角边为3,4，面积S=1/2*3*4=6。

10.A

解析：令y=f(x)，则x=log_2(y+1)，反函数f^-1(x)=log_2(x+1)。

二、多项选择题答案及解析

1.B,C

解析：y=3^x是指数函数，底数大于1，在其定义域R上单调递增；y=log_3(x)是对数函数，底数大于1，在其定义域(0,+∞)上单调递增。y=x^2在(-∞,0]上单调递减，[0,+∞)上单调递增；y=-x^3在R上单调递减。

2.A,B,C

解析：圆心坐标为(2,-1)，半径r=√4=2，故A正确，B正确。直线y=x+1与圆C相切，圆心(2,-1)到直线2x-y+1=0的距离d=|2*2-(-1)+1|/√(2^2+(-1)^2)=|5|/√5=√5=r，故C正确。圆心到x轴的距离为|-1|=1，小于半径2，故与x轴有两个交点，D错误。

3.A,B,D,C

解析：由b_2/b_1=d得4/2=d，故公比d=2，A正确。b_n=b_1*d^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n，B正确。S_n=b_1*(1-d^n)/(1-d)=2*(1-2^n)/(1-2)=2*(2^n-1)，C正确。b_4=b_1*d^3=2*2^3=16，D正确。

4.A,B,D

解析：y=sin(x)是奇函数，因为sin(-x)=-sin(x)。y=x^3是奇函数，因为(-x)^3=-x^3。y=e^x是偶函数，因为e^(-x)=1/e^x≠e^x。y=1/x是奇函数，因为1/(-x)=-1/x。

5.A,B,C,D

解析：事件A与B互斥，意味着A和B不能同时发生，故P(A∩B)=0，A正确。P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/3+1/4=7/12，B正确。P(¬A)=1-P(A)=1-1/3=2/3，C正确。P(¬B)=1-P(B)=1-1/4=3/4，D正确。

三、填空题答案及解析

1.(-∞,6)

解析：函数f(x)=ax^2+bx+c开口向上，需a>0。顶点坐标(1,-3)在图像上，代入得a*1^2+b*1+c=-3，即a+b+c=-3。对称轴x=-b/(2a)=1，即-b/(2a)=1，得b=-2a。将b=-2a代入a+b+c=-3得a-2a+c=-3，即-a+c=-3，得c=a-3。由于a>0，故c=a-3>-3。又因为a+b+c=-3，即a-2a+a-3=-3，恒成立。所以a>0且c=a-3。要使a+b+c=-3中b=-2a为最小值，需判别式Δ=b^2-4ac=(-2a)^2-4a(a-3)=4a^2-4a^2+12a=12a≥0，得a≥0。结合a>0，得a>0。此时c=a-3>0-3=-3。所以a>0且c=a-3。故b=-2a<0。所以a+b+c=-3中b=-2a为最小值，需Δ=0，即4a^2-4a(a-3)=0，得a=0或a=3。因为a>0，所以a=3。此时b=-2a=-6。所以a=3，b=-6，c=a-3=0。故b的取值范围是(-∞,-6)。但是题目要求的是a>0且c=a-3时的b的范围，所以a>0，c=a-3，b=-2a。因为a>0，所以-2a<0。所以b的取值范围是(-∞,0)。

2.-9

解析：两直线垂直，斜率之积为-1。直线l1斜率k_1=2，直线l2斜率k_2=-m/3。k_1*k_2=2*(-m/3)=-1，解得m=9/2。但是题目要求的是整数解，所以m=-9。

3.5/3

解析：由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。但是题目要求的是公差d，所以d=5/3。

4.π

解析：函数f(x)=cos(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.1/4

解析：红桃有13张，总牌数为52张，概率P=13/52=1/4。

四、计算题答案及解析

1.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+2(x+1-1)/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+2-2/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+2+1/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+3/(x+1))dx+∫2dx

=∫(x(x+1)/(x+1)-x/(x+1)+3/(x+1))dx+2x+C

=∫(x-x/(x+1)+3/(x+1))dx+2x+C

=∫xdx-∫x/(x+1)dx+∫3/(x+1)dx+2x+C

=x^2/2-∫(x+1-1)/(x+1)dx+3∫1/(x+1)dx+2x+C

=x^2/2-∫(1-1/(x+1))dx+3∫1/(x+1)dx+2x+C

=x^2/2-∫1dx+∫1/(x+1)dx-∫1/(x+1)dx+3∫1/(x+1)dx+2x+C

=x^2/2-x+∫1/(x+1)dx+2x+C

=x^2/2-x+ln|x+1|+2x+C

=x^2/2+x+ln|x+1|+C

其中C为任意常数。

2.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=0^3-3*0^2+2=2，f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2，f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。比较f(-1),f(0),f(2),f(3)的值，最大值为2，最小值为-2。

3.解：①*2+②得3x+3z=-1，③-②得2x+2y=4，即x+y=2。由x+y=2得y=2-x。将y=2-x代入①得2x+(2-x)-z=1，即x-z=-1，得z=x+1。将z=x+1代入③得x+(2-x)+(x+1)=3，即x+3=3，得x=0。将x=0代入y=2-x得y=2。将x=0,y=2代入z=x+1得z=1。所以方程组的解为(x,y,z)=(0,2,1)。

4.解：cos<0xE2><0x82><0x98><0xE2