2018年高考数学二轮复习教案第一部分专题一第三讲基本初等函数函数与方程及函数的应用

第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用[考情分析]基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查．常以选择、填空形式出现．有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断、零点所在区间等方面．近几年全国卷考查较少，但也要引起重视.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅲ卷已知零点求参数值·T122016Ⅰ卷幂、指数、对数函数大小比较·T8Ⅲ卷利用幂函数的性质比较大小·T72015Ⅱ卷对数函数的性质应用·T12[真题自检]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若a>b>0,0<c<1，则()A．logac<logbc B．logca<logcbC．ac<bc D．ca>cb解析：法一：因为0<c<1，所以y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又0<b<a，所以logca<logcb，故选B.法二：取a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,2)，则log4eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)>log2eq\f(1,2)，排除A；4eq\f(1,2)＝2>2eq\f(1,2)，排除C；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，排除D；故选B.答案：B2．(2016·高考全国卷Ⅲ改编)已知a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)，试比较a，b，c的大小关系．解析：a＝2eq\f(4,3)＝4eq\f(2,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)＝5eq\f(2,3).∵y＝xeq\f(2,3)在第一象限内为增函数，又5>4>3，∴c>a>b.基本初等函数[方法结论]1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．[题组突破]1．(2017·河南八市联考)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos2017，则()A．b>c>a B．b>a>cC．a>b>c D．c>a>b解析：因为20.3>20＝1,0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，log4cos2017<log41＝0，所以a>b>c，故选C.答案：C2．函数f(x)＝lneq\f(xex－e－x,2)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增C．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增解析：要使函数f(x)＝lneq\f(xex－e－x,2)有意义，只需eq\f(xex－e－x,2)>0，所以eq\f(xe2x－1,2ex)>0，解得x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(－x)＝lneq\f(－xe－x－ex,2)＝lneq\f(xex－e－x,2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，排除A、B.因为f(1)＝lneq\f(e－e－1,2)，f(2)＝ln(e2－e－2)，所以f(1)<f(2)，排除C，故选D.答案：D3．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]4．(2016·高考浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＝________，b＝________.解析：先求出对数值，再利用指数相等列方程求解．∵logab＋logba＝logab＋eq\f(1,logab)＝eq\f(5,2)，∴logab＝2或eq\f(1,2).∵a>b>1，∴logab<logaa＝1，∴logab＝eq\f(1,2)，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.答案：42[误区警示]1．求解与对数函数有关的性质问题时易忽视对数有意义的条件．函数零点实际应用[方法结论]解答函数实际应用问题实质上是利用等价转化思想与构造法，构造函数模型，然后解答．[典例]为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：年固定成本每件产品的成本每件产品的销售价每年可最多生产的件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大．解析：(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)．(2)∵10－a>0，故y1为增函数，∴当x＝200时，y1取得最大值1980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1980－200a)万美元．y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)，∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1980－200a)－460＝1520－200a，且6≤当1520－200a>0，即6≤a<7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1520－200a<0，即7.6<a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．[类题通法]1．解答实际应用题思维流程为：2．将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数型函数模型等．[演练冲关]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1000元，则调运方案的种数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6－x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)．则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960(x∈N,0≤x≤6)．若y≤1000，则20x＋960≤1000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N，∴x＝0,1,2，即有3种调运方案．答案：C2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，求该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值．解析：∵每件产品的售价为0.05万元，∴x千件产品的销售额为0.05×1000x＝50x万元．①当0<x<80时，年利润L(x)＝50x－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)＝950万元；②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，当且仅当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．由于950<1000，函数的零点及应用问题函数的零点常考查函数零点的个数判断，零点所在区间及已知零点求参数范围等问题，常与方程不等式等有关知识交汇命题．[典例](1)(2017·贵阳监测)函数y＝lgx－sinx在(0，＋∞)上的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：画出函数y＝lgx与y＝sinx的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y＝lgx－sinx在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.答案：C(2)(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.答案：A(3)(2017·济南诊断)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e|x－1|，x>0,－x2－2x＋1，x≤0))，若关于x的方程f2(x)－3f(x)＋a＝0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是()A．(0，eq\f(1,4)) B．(eq\f(1,3)，3)C．(1,2) D．(2，eq\f(9,4))解析：令f(x)＝t，作出函数f(x)的图象(图略)，由图象可知关于x的方程f2(x)－3f(x)＋a＝0有8个不等的实数根，则关于t的方程t2－3t＋a＝0在(1,2)上有2个不等的实数根，令g(t)＝t2－3t＋a，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δ＝9－4a>0,g1＝a－2>0,g2＝a－2>0))，解得2<a<eq\f(9,4)，故选D.答案：D[类题通法]1．在判断函数零点个数及零点所在区间时常用到等价转化思想与数形结合思想求解时要学会构造两个函数，转化为两函数图象交点，同时在作出函数图象时要力求准确，不可潦草作图．2．涉及二次方程的根的分布问题常转化为二次函数零点与二次不等式的解集问题．其方法是：(1)分析二次函数的开口方向；(2)当二次方程实根分布在同一区间时，其充要条件是根据区间端点处的函数值的正负建立不等式组求解；(3)当二次方程实根分布在两个不同区间时，其充要条件是根据判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点处的函数值的正负建立不等式组求解．[演练冲关]1．(2017·西安模拟)设x0为函数f(x)＝sinπx的零点，且满足|x0|＋f(x0＋eq\f(1,2))<33，则这样的零点有()A．61个 B．63个C．65个 D．67个解析：依题意得sinπx0＝0，所以πx0＝kπ(k∈Z)，即x0＝k，f(x0＋eq\f(1,2))＝sin[(x0＋eq\f(1,2))π]＝sin(x0π＋eq\f(π,2))＝cosx0π＝coskπ，所以|x0|＋f(x0＋eq\f(1,2))<33，即为|k|＜33－coskπ，当k为偶数时，|k|<32，则零点有31个；当k为奇数时，|k|<34，则零点有34个．所以共有31＋34＝65个零点，选C.答案：C2．(2017·福州质检)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2,x－13，x<2))，若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则两零点所在的区间为()A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(1，＋∞)解析：在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示，由图易