第十一章实数和二次根式（知识清单）（答案版）数学北京版2024八年级上册

第十一章实数和二次根式知识点一、平方根（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数.4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根.平方根的性质1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；3.负数没有平方根；开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方.1.开平方时，被开方数a必须是非负数；2.开平方是求一个非负数的平方根.3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确.知识点二、算术平方根1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”；3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根.5.平方根与算术平方根的区别与联系平方根算术平方根区别个数一个正数的平方根有两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个表示方法非负数a的算术平方根表示为取值范围正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数联系包含条件平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.存在条件平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.知识点三、立方根2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略.立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.1.平方根与立方根的区别与联系关系 名称平方根立方根区别个数不同正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数表示方法数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写被开方数的取值范围在中，a是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.2.立方根等于本身的有0和.3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方.求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.知识点四、无理数1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.2.常见的无理数三种形式3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.知识点五、实数及分类1.有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类（1）按定义分类：（2）按性质分类：PS：0既不是正实数，也不是负实数.实数与数轴上点的关系…有理数集合…有理数集合…无理数集合2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.实数的有关概念在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.比较实数的大小有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.3.比较两个实数大小的常用方法：（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；知识点六、近似数1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值.2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数.3.常见的近似数（1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等；（2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果；（3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等；（4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁.近似数的精确度一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度；2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.3.其他近似数的取法知识点七、二次根式二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.二次根式有无意义的条件：（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．二次根式的性质：（5）=（a≥0，b>0）二次根式的运算：1.二次根式的乘法2.二次根式的除法3.最简二次根式最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.4.二次根式的加减同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.5.二次根式的混合运算内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.易错易混1）结果要化为最简二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.6.分母有理化分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a一、平方根与算术平方根1.一个正数的平方根有两个，互为相反数错误：忘记负根注意：一个正数的平方根有两个，千万不能忘记负数根(1)求a和b的值．(2)【分析】本题主要考查平方根：（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值；∵9的个平方根是，2.算术平方根的双重非负性错误：在算术平方根中，底数要大于等于0，结果也要大于等于0注意：要注意算术平方根的双重非负性【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式的非负性，算术平方根，解题的关键是掌握二次根式的非负性．3.算术平方根的规律性问题错误：底数和结果之间的倍数关系搞混注意：一般底数是100倍，结果就是10倍（2425八年级上·北京门头沟·阶段练习）通过观察后再回答问题．200(1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题：【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键．【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，二、立方根1.无论正数、负数，还是0，均有立方根错误：与平方根搞混，忽略负数也有立方根注意：牢记负数也要立方根，切与原数符号保持一致，0也有立方根（2425八年级上·北京朝阳·阶段练习）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④【答案】B【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义．利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可．【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意；②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意；③该选项正确，不符合题意；④的立方根是，该选项错误，符合题意；故错误的选项为①②④，故选：B．2.立方根的规律性问题错误：底数和结果之间的倍数关系搞混注意：一般底数是1000倍，结果就是10倍【答案】B【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算故选B三、实数1.实数的概念与分类错误：实数的分类界限不清晰，导致分类错误注意：掌握实数的概念，注意分类A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定．故选：C．2.无理数的整数部分与小数部分的计算问题错误：不会表示无理数的小数部分注意：用原数减去整数部分即可得到小数部分A．3 B．4 C． D．【答案】B【分析】本题考查了估算无理数的大小，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．的被开方数是13，可以找到最接近13的两个完全平方数，来确定的整数部分，再用减去整数部分就得到小数部分，然后根据题意计算代数式的值即可．故选B．四、二次根式1.二次根式的化简问题错误：二次根式的化简，要注意范围，尤其是带字母的式子注意：要考虑字母的取值范围，如果是正数，直接化简即可，如果是负数，要记得留下负号【答案】C故选：C.2.复合二次根式的化简错误：要会对二次根式里边的式子进行完全平方变形注意：要会对其一一对应，知道平方数的和与2ab的对应数【答案】C故选：C3.二次根式的混合运算错误：混合运算时顺序错误，容易漏项注意：计算时要统一标准，可以先化简成最简二次根式，再进行计算（2425八年级上·北京东城·阶段练习）计算：【答案】(1)(3)(4)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂．（1）先化简二次根式，再计算除法，最后计算加减即可；（2）先根据乘法公式计算，再计算加减即可；（3）先化简二次根式，再计算加法，最后计算除法即可；（4）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，再计算加减即可．1．（2526九年级上·北京·开学考试）下列二次根式中，最简二次根式是（

）．【答案】A【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式的定义，对各选项进行分析判断即可．【详解】解：A．是最简二次根式，选项A符合题意，C．被开方数含分母，不是最简二次根式，选项C不符合题意，故选：A．2．（2526九年级上·北京·开学考试）下列计算正确的是（

）【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别对每个选项进行二次根式的运算，判断其正确性．故选：B．A．6 B． C．3 D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键．故选：B．A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对【答案】A【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．故选：A【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．故选：B．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查二次根式的性质和二次根式的计算，根据相关知识点一一判断即可；所以共有2个正确；故选：B．【答案】A故选：A．本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键．【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．【答案】故答案为：．【答案】【分析】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌