专题34双曲线及其标准方程（举一反三讲义）数学人教A版选择性（原卷版）

专题3.4双曲线及其标准方程（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【题型1双曲线的定义及辨析】 1【题型2曲线方程与双曲线】 2【题型3双曲线的标准方程的求解】 3【题型4根据双曲线方程求a、b、c】 4【题型5求双曲线的轨迹方程】 4【题型6双曲线中焦点三角形问题】 5【题型7利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 6【题型8双曲线中线段和、差的最值问题】 7知识点1双曲线的定义1．双曲线的定义【题型1双曲线的定义及辨析】【例1】（2425高二上·云南曲靖·期末）双曲线x2−y216=1上一点P到它的一个焦点的距离为4，那么点A．2 B．6 C．2或6 D．4【变式11】（2425高二上·广东·期中）已知双曲线C:x24−y212=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线A．9 B．1 C．1或9 D．11或9【变式12】（2425高二上·北京延庆·期末）已知P是双曲线C:x24−y2A．±4 B．4 C．8 D．4【变式13】（2425高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点M为双曲线C:x29−y216=1左支上的一点，F1,F2A．2 B．4 C．6 D．8知识点2双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的关系2．双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程(2)用待定系数法求双曲线的标准方程【题型2曲线方程与双曲线】【例2】（2526高二上·全国·单元测试）已知方程x23+m−y2m+5=1表示双曲线，则A．(−5,−3) B．(−C．(3,5) D．(−【变式21】（2425高二上·北京延庆·期末）“m>3”是“方程x23−m−y2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式22】（2425高二上·山东青岛·阶段练习）关于x，y的方程x2A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时，焦距为定值【变式23】（2425高二上·全国·课后作业）对于方程x2+y2sinα=1A．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若α为负角，则曲线C为双曲线C．若α为正角，则曲线C为椭圆 D．若C为椭圆，则其焦点在x轴上【题型3双曲线的标准方程的求解】【例3】（2425高三上·河北·期中）已知双曲线经过点A22,3A．x24−C．y23−x2【变式31】（2425高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1,F2分别为−5,0和5,0，点PA．x22−C．x2−y【变式32】（2425高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=25，经过点A2,−5，焦点在(2)过点A3,2和B【变式33】（2425高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)半焦距为6，经过点−5,2，且焦点在x轴上；(2)两个焦点的坐标分别为F10,−5，F20,5，双曲线上一点P到(3)与双曲线x216−【题型4根据双曲线方程求a、b、c】【例4】（2425高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线x2m−1−y29=1的一个焦点坐标为A．24 B．25 C．7 D．8【变式41】（2425高二上·河南驻马店·期中）若椭圆x23+y27=1A．4 B．−4 C．−2 D．2【变式42】（2425高三上·广东肇庆·阶段练习）已知双曲线x2m+y2A．m+n=1 B．m−n=1 C．m+n=−1 D．n−m=1【变式43】（2425高三上·上海虹口·期中）若椭圆x24+y2a2=1与双曲线A．1 B．3 C．±1 D．±【题型5求双曲线的轨迹方程】【例5】（2425高二上·山东·阶段练习）动点Mx,y与定点F3,0的距离和它到定直线l:x=43的距离的比是32A．x25−y24=1 B．【变式51】（2425高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点A2,0，且和定圆C:x+22+yA．x2−yC．4x2−【变式52】（2425高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（

）的方程上.A．x2260100−y2229900=1C．y=0(x≤−700或x≥700) D．x【变式53】（2425高二上·四川绵阳·期中）已知A(−1,0)，B(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM与直线BM的斜率之积为1，则点M的轨迹方程为（

）A．x2+yC．x2−y知识点3双曲线的焦点三角形1．双曲线的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1||PF2||=2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；(3)焦点三角形的常用结论【题型6双曲线中焦点三角形问题】【例6】（2526高二上·全国·单元测试）已知双曲线C:y24−x2=1的上、下焦点分别为F1,F2，过F1的直线l与双曲线CA．14 B．12 C．10 D．8【变式61】（2425高二上·吉林·期末）已知F1，F2分别是双曲线C：x24−y23=1的左、右两个焦点，点PA．1 B．3 C．3 D．3【变式62】（2425高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线C:x22(1)设点A的坐标为4,0，求PA的最小值；(2)若F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，【变式63】（2526高二上·全国·单元测试）已知双曲线C:x2a(1)若双曲线C与椭圆x24+y2(2)若b=1，点P在双曲线右支上，且∠F1P【题型7利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】【例7】（2425高二上·河南南阳·期中）已知P为曲线C:x=1+y22上任意一点，A(−3,0)，B(0,A．2+15 B．C．43 D．【变式71】（2025·青海玉树·模拟预测）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22A．16 B．18 C．8+42 D．【变式72】（2425高二上·河南驻马店·阶段练习）已知定点A,B，且AB=8，动点P满足PA−PB=4，则【变式73】（2425高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线C：x29−y216=1的左焦点为F，且【题型8双曲线中线段和、差的最值问题】【例8】（2425高二上·江西·阶段练习）已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F2，点P在C的右支上，且A．4−23 B．C．15−23 【变式81】（2425高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线C:y24−x25=1的下焦点为F，A3,7A．