2024版人教版初中数学同步讲义练习8年级上册 专题131 轴对称+专题132 画轴对称图形

2024版

人教版初中数学

同步讲义练习

八年级上册

专题13.1轴对称+专题13.2画轴对称图形

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1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，弄清他们之间的区别与联系；

2.掌握轴对称的性质，能根据性质解决简单的数学问题或实际问题；

3.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质与判定；

4.会用尺规作出线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线解决实际问题。

鳖知产精＞

知识点01轴对称及其性质

【知识点】

轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,这个图形就叫做轴对称图形，

该直线就是它的对称轴.

注意：轴对称图形是指±图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不

一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于

这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称地.折叠后重合的点是对应点，也叫对称点

注意：轴对称指的是两仝图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个

图形一定全等.

轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形,而轴对称图形是一个图形:

轴对称图形和轴对称的关系非常密切,若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；

反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴〉对

称.

轴对称、轴对称图形的性质

轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

【知识拓展1】辨别轴对称图形

例1.（2022•江苏盐城•中考真题）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（）

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、主体建筑的构图对称，故本选项不符合题意；

B、主体建筑的构图不对称，故本选项符合题意；

C、主体建筑的构图对称，故本选项不符合题意；

D、主体建筑的构图对称，故本选项不符合题意；故选B.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合,

这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键.

【即学即练】

1.（2022♦海南•八年级期末）2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（）

【答案】B

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这

条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，所以不是轴对称图形，

选项B能找到这样的一条直线，便图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形，故选：B.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置.

【知识拓展2】生活中的轴对称（镜面、剪纸等）

例2.（2022•河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球

可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

【答案】B

【分析】利用轴对称画图可得答案.

【详解】解：如图所示，

球最后落入的球袋是2号袋，故选：B.

【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.

【即学即练】

1.（2022•江西上饶•八年级期末）剪纸是我国传统的民间艺术.将一张正方形纸片按图1,图2中的方式沿

虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）

【答案】A

【分析】依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案.

【详解】解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是：◊故选：A.

【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴.

般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案.

2.（2022•浙江温州•一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运

行方向.当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为.

己IA

■a&a

【答案】15

【分析】根据镜面成像的原理：左右相反，即可得到答案.

【详解】解：由镜面成像的原理可知电梯所在的楼层为15,故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了镜面成像，熟知镜面成像的原理是解题的关键.

【知识拓展3】利用轴对称的性质求角度（长度）

例3.（1）（2022•河南•八年级阶段练习）如图，"8。和△48E关于直线八8对称，和.AOC关于直

线47对称，CD与AE交于点F,若/4次？=30°,NACB=15。，则NCFE的度数为.

【答案】105°

【分析】根据三角形内角和定理求得/BAC,再根据轴对称的性质求得/DAE和/EAC,再根据三角形外角

的性质可求得NCFE.

【详解】解：/NA4C=30°,ZACB=15°,/.ZBAC=1800-ZABC-ZACB=135°,

根据轴对称的性质可知/BAE=ZDAC=ZBAC=135°,ZDCA=ZACB=15°,

/.ZDAE=ZBAE+ZDAC+ZBAC-360=45°,/.ZEAC=ZDAC-ZDAE=90%

/CFE=NE4C+Z£)C4=105。.故答案为：105。.

【点睛】本题考查三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理.掌握轴对称图形对应角相等是

解题关键.

（2）（2022;绵阳市八年级期末）如图所示，点夕关于直线04、的对称点分别为C、D,连接CO,交

OA于M,交于N,若△PMN的周长为8cm，则CD为cm.

【分析】由轴对称的性质可知PM=CM,PN=OM再由△PMN的周长为8c〃?，即可求得CO的长度.

【解答】解：•・•点P关于直线OB的对称点分别为C、。，

：,PM=CM,PN=DN,，PN+PN+MN=CM+DN+MN,，△0MN的周长=CQ,

的周长为8c〃?，・・.。。=85?,故答案为：8.

【即学即练】

1.（2022•沙坪坝区校级期中）如图，与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交8C

于点D若N"O£>=46。，ZC=20°,则/人QC=。.

【分析】根据N/WC=N4+NA8。，求出NA,N/WD即可.

【解答】解：•「△AOB与△COB关于边所在的直线成轴对称，

•••△AO8g/\COB,/.ZA=ZC=20°,NABO=/CBO,

ZBOD=ZA+ZABO,：.ZABO=ZBOD-ZABO=46°-20°=26°,

/.ZABD=2ZABO=52°,AZADC=ZA+ZABD=200+52°=72°,故答案为：72.

2.（2022•深圳模拟）如图，在△ABC中，点。，石分别在边A3,6c上,点A与点上关于直线8对称.若

AB=34c=9,8c=12,则△QBE的周长为（）

A.9B.10C.IID.12

【分析】根据轴对称的性质得到：/">=OE，/1C=CE，结合己知条件和三角形周K公式解答.

【解答】解：•・•点4与点E关于直线C。对称，，4/）=。石，AC=CE=9,

•：AB=7,AC=9,8c=12,

•••△QBE的周长=8O+QE+8E=8£>+AQ+8C-AC=A8+8C-4C=7+12-9=10.故选：B.

篝‘知识点02垂直平分线的性质与判定

【知识点】

定义：经过线段空点并且垂直王这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.

性质I：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等:

性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

注意：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是

遇见线段的垂直平分线，画山到线段两个端点的距禽，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三

角形创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——夕卜心

【知识拓展1】利用垂直平分线求角度（长度）

例L（1）（2022•成都市高新区八年级期末）如图，在△人BC中，ZBA0900,人B的垂直平分线交BC于

点E,AC的垂直平分线交于点F,连接AE、AF,若△AE77的周长为2,则BC的长是（）

A,

BEC

A.2B.3C.4D.无法确定

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到E4=E8,FA=FC,根据三角形的周长公式即可求出8c.

【解答】解：・・・A5的垂直平分线交4C于点£・・・£4=七4,

•・YC的垂直平分线交于点F..•・胡=FC,

?.RC=BE+EF+FC=AE+EF+FC=/^AEF^^=2.故选：A.

（2）（2022•绵阳市八年级期中）如图，在△ABC中，点。是边48和AC的垂直平分线O。、OE的交点,

若N80C=100°,则这两条垂直平分线相交所成锐角a的度数为（）

【分析】连接OA,根据线段垂直平分线的性质得出OA=OB=OC,根据等腰三角形的性质得出N8AO=N

ABO,NOBC=/OCB,ZCAO=ZACO,求出N84C,再根据四边形的内角和等于360°求出答案即可.

【解答】解：连接OA,

•・•点O是边AB和AC的垂直平分线O。、OE的交点，

：,OA=OB,OB=OC,：,OA=OB=OC,

：.ZBAO=ZABO,ZOBC=ZOCB,ZCAO=ZACO,

VZBOC=100°,：.ZOBC+ZOCB=\SOa-100°=80°,

Z.ZABO+ZBAO+ZOCA+ZOAC=\^-(ZOBC+ZOCB)=100°,

A2CZBAO+^CAO)=100°,即N8AC=50°,

•・•点。是边和4C的垂直平分线O。、OE的交点，・・・NO/)A=NOE4=90°,

・・・/OOE=360°-90°-90°-50°=130°,.\Za=180°-130°=50°,故选：C.

【即学即练1】

1.（2022•江苏淮安•八年级期中）如图，在已知的△A6C中，按以下步骤作图:

①分别以B,C为圆心，以大于:8c的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N：

乙

②作直线MN交A8于点。，连接8.若AC=4,AB=10,则△ACO的周长为（）

A.8B.9C.10D.14

【答案】D

【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CZ）=。&然后可得

AO+CD=10,进而可■得△ACD的周长.

【详解】解：根据作图可得MN是8c的垂直平分线，

MN是8c的垂直平分线，CD=DB,

/AB=10tJ.CD+AD=10,..△ACO的周长=C0+AD+AC=4+10=14,故选:D.

【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两

端点的距离相等.

2.（2022•天津八年级期末）如图，NAO8=25。，点M,N分别是边。4,08上的定点，点尸，。分别是边

0B,上的动点，记NMPQ=a,NPQN=。，当MP+PQ+QN的值最小时，/一。的大小=—（度）.

【答案】50

【分析】作M关于0B的对称点M',N关于0A的对称点N',连接交0B于点P,交0A于点Q,

连接MP,QN,可知此时MP+B2+QN最小，此时NOPM=NO0AT=NNPQ,NOQP=/AQN=ZAQN'

再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论.

【详解】作M关于OB的对称点M',N关于0A的对称点N',连接MN',交0B于点P,交0A于点Q,

连接MP,QN,如图所示.根据两点之间，线段最短，可知此时"P+PQ+QN最小，即+=,

NOPM=NOPM，=/NPQ,Z.OQP=ZAQN=ZAQN',

■「NMPQ=a,ZPQN=。，；.NQPN='(180。一二),/0。尸='(180。一万)，

22

INQPN=ZAOB+NOQP,ZAOB=25°9

/.-(180°-a)=25°+-(180°-/7),〃-a=5。。.故答案为：50.

42

【点睛】本题考查轴对称•最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问

题是解题的关键，综合性较强.

【知识拓展2】线段的垂直平分线的实际应用

例2.（2022.山西晋中•八年级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地〃，实现“山水-

写生-消费-产业”的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资

助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄人、8、C之间的空地上新建一座仓库P.已知

A、B、。恰好在三条公路的交点处，要求仓库户到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（）

A.三条角平分线的交点B.三边的垂直平分线的交点

C.△A8C三条中线的交点D.△A8C三条高所在直线的交点

【答案】B

【分析】根据垂直平分线的性质进行解答即可.

【详解】解：.•,仓库?到村庄A、B、C的距离相等，

仓库尸应选在AA8c三边的垂直平分线的交点.故选：B.

【点睛】本题考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，是解题的关键.

【即学即练2】

2.（2022•山东济南市•八年级期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为5地，雅典为C地.若想建立一个货

物中转仓，使其到A、8、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）

B莫斯科

C.三条角平分线的交点D.三边上高的交点

【答案】A

【分析1依题意，对实际问题进行数学模型化处理，需要寻找一个点，到三点的距离相等：结合三角形垂直

平分线的性质，即可求解.

【详解】由题，对建立货物中转仓到A、B、C三地距离相等；

进行数学模型转换为：在AABC中找一点到三点距离相等：

依据三角形垂直平分线的性质，可知，三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个点的距离相等；

・•・中转仓位于三边垂直平分线的交点；故选A.

【点睛】本题考查三角形垂宜.平分线、角平分线、高线、中线的性质，重点在掌握实际问题的数学模型化.

【知识拓展3】线段的垂直平分线的判定

例3.（2022.江苏八年级期中）如图，中，边AB,8C的垂直平分线交于点P.

A

（1）求证：E4=PB=PC.（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由.

【答案】（I）见解析；（2）在，理由见解析

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得,PA=PB,PB=PC,则以=PB=PC.

（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上.

【详解】解：（1）证明：•・•边48、8c的垂直平分线交于点P,

:・PA=PB,PB=PC.：.PA=PB=PC.

（2）・・・%=PC,・••点P在边AC的垂直平分线上.

【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个

端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

【即学即练3】

1.（2022・河南开封•一模）如图，平面内不共线三点A,B,C,操作如下：

步骤1：连接BC,以点3为圆心，以C8的长为半径画弧；

步骤2：连接AC,以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点Q；

步骤3：连接CQ,且过A,4作直线

则&B一定在线段C。的垂直平分线上，依据是.

【答案】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

【分析】连接B。，AD,根据垂直平分线的判定即可解答；

【详解】解：如图，连接8。4。，

/AC=ADtBC=BD,

根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可得：A,8一定在线段CO的垂直平分线上;

故答案为：线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到i条线段两个端点距离相等的点在这条线段

的垂直平分线上.

2.（2022•雁塔区校级期末）如图，在△48C中，NB4C=90°,8E平分NA8C,AM_LBC于点M交8E于

点G,4。平分NMAC,交BC于点。，交BE于点F.求证：线段垂直平分线段AQ.

【分析】根据三角形内角和定理求出NC=/B4M,根据角平分线的定义求出ND4M=NC4D,求出NBA。

=/4。&得出△AB。是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出即可.

【解答】证明：VZBAC=90°,/.ZABC+ZC=90°,

*：AMIBC,/.ZAMB=90a,JNA8C+NBAM=90°,：,ZC=ZBAM,

•・FO平分/MAC,：,ZMAD=ZCAD,：,ZBAM+ZMAD=ZC+ZCAD,

VZADB=ZC+ZCAD,：,ZBAD=ZADB,：.AB=BD,

•；BE平分NABC,，B/UAD,AF=FD,即线段B/垂直平分线段AQ.

【知识拓展4】线段的垂直平分线的作图

例4.（2022・广东九年级期末）如图，在AA8C中，ZA>ZC.

（1）作边AB的垂直平分线OE,与AB，8c分别相交于点D,E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求

写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE,若4=55。，求4EC的度数.

【答案】（1）见解析；（2）110°

【分析】（1）利用基本作作图，作线段48的垂直平分线即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得4£=8£,

则ZMB=N8=60。，然后根据三角形外角性质计算N4EC的度数.

【详解】（1）分别以A,8为圆心，大于gA8长为半径画弧，交于两点:

2

作经过以上两点的直线，分别交线段BC于E,交A4于。，直线QE即为所求.

（2）解：是线段八4的垂直平分线，.•.AE=3E,

/.AEAB=/B=55°.ZAEC=/EAB+NB=110°.

【点睛】本题考查了作图，基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角;

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.

【即学即练4】

4.（2022•西城区•八年级期中）小宇遇到了这样一个问题:

已知：如图，N用ON=90。，点A,B分别在射线OM,ON上，且满足

求作：线段0B上的一点C,使440。的周长等于线段OB的长.

以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经

找到，即△AOC得周长等于0B的长，那么由Q4+OC+AC=O3=OC+BC,可以得到Q4+AC=_.

对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D,使得=那么就可以得到C4二

若连接AD,由.（填推理依据）.可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了.

请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）.

0B

【答案】BC,DC,线段的垂直平分线的判定

【分析】在线段B。上截取BD=OA,连接AD,作线段AD的垂直平分线交0D于点C,连接AC,△AOC即为

所求.

【评解】解：如图，AAOC即为所求.

.V

故答案为：BC,DC,线段的垂直平分线的判定.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

知识点03画轴对称图形

【知识点】

若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此只要找到一对对应点，再

作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴.轴对称图形的对称轴作法相同.

关于X(y)轴对称的两个点的横(纵)坐标的关系:

y

I；

-Ta•aOI2a

•bk

~2b

已知P点坐标(〃/),则它关于％轴的对称点P'的坐标为(凡-力,如下图所示:

即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同,纵坐标互为相反数.

已知P点坐标为(。,份，则它关于y轴对称点尸的坐标为(一兄力,如上图所示.

即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同,横坐标互为相反数.

【知识拓展1】关于X(J)轴对称的点的坐标

例L(2022•新强•八年级期末)已知点A(a,2)与点8(3,切关于x轴对称，则a+2b=()

A.-4B.-1C.-2D.4

【答案】B

【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出〃，再代入计算即可.

【详解】解：•••点4m2)与点砥,团关于x轴对称,所以。=3,b=-2,.\«+2/?=3+2x(-2)=-l.故选B.

【点睛】此题主要考查关于x轴充■称的点的坐标特点.关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标

互为相反数.

【即学即练1】

1.（2022•贵州•金沙县八年级期末）若点P（〃I,T）关于），轴的对称点是6（2,〃+2）,则机+〃的值是（）

A.4B.-4C.-2D.2

【答案】B

【分析】根据两点关于），轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出〃?，〃，即可得出结果.

【详解】解：•••点尸（6-1,-1）关于y轴的对称点是6（2,〃+2）,

ZH—1+2=0,〃+2=—1,—1,〃=—3,.'./〃+〃=—1—3=—4,故选：B.

【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于

x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于），轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

【知识拓展2】轴对称变换作图

例2.（2022•湖北荆门•八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：

（1）画出△ABC关于y轴对称的△物©；并写出U的坐标;

⑵将△A8C向右平移8个单位，画出平移后的△A/&C2,并写出从的坐标；

⑶在（1）、（2）的基础上，写出AA6/G与△A/2c2有怎样的位置关系？

⑷在），轴上有一点P,使得P8+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）

⑸在），轴上有一点Q,使得QB-CC最大，请画出点Q.（用虚线保留画图的痕迹）

【答案】⑴作图见解析，Bt（3,2）（2）作图见解析，B2（5,2）；

⑶由图可知△A8Q与△A展C2关于直线x=4对称；⑷作图见解析⑸作图见解析

【分析】（1）根据轴对称的性质找到A8,C关于），轴对称的点4,用C，顺次连接A，B「G，则△八④。即

为所求，根据坐标系写出点8/（的坐标即可；

（2）将点A,B,C向右平移8个单位，得至IJA，4,。?，顺次连接。生，。2,则△4/&C2即为所求，根据坐标

系写出点比的坐标即可;

（3）观察图形即可求解.

（4）连接B。，交），轴于点P,连接8C,根据轴对称的性质可知则点〃即为所求

（5）延长BC交），轴于点。根据两点之间线段最短可得。点即为所求

（1）作图见解析，Bi（3,2）（2）作图见解析，B2（5,2）；

（3）由图可知△A8/G与△A/B2c2关于直线x=4对称；

（4）作图见解析连接8。，交1y轴于点P,连接BC,

..PC尸PC,PC+PB=PCi+PBNBG当B,P,。三点共线时，P3+PC最小

延长BC交y轴于点Q,••・QB-QQBC当B,C,Q三点共线时，取得最大值

【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，写出点的坐标，轴对称的性质求最值，两点之间线段最短求

最值，掌握以上知识是解题的关键.

【即学即练2】

2.：2022•云南•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，4A8c的三个顶点的坐标分别为4（-3,4）,8（-4,

1),C(-1,2).

⑴在图中作出△A8C关于x轴的定称图形△A旦C.

⑵请直接写出点。关于），轴的对称点C的坐标：

⑶求△ABC的面积.⑷在x轴上画出点P,使QA+QC最小.

【答案】⑴见解析⑵（1,2）（3）4（4）见解析

【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出"BC关于x轴的对称图形AABC；

（2）根据轴对称的性质即可写出点。关于y轴的对称点C的坐标

（3）根据网格利用割补法即可求出AABC的面积；

（4）连接AC交x轴于点Q,根据两点之间线段最短即可使得QA十QC最小.

（1）解：如图所示，△A4G即为所求；

（2）解：点C关于y轴的对称点C'的坐标为（1,2）；故答案为：（1,2）：

（3）解：△ABC的面积=3x3--xlx3--xlx3--x2x2=4：

222

（4）解：如图.点Q即为所求.

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

【知识拓展3】设计轴对称图案

例3.（2022•武汉模拟）如图，在5X5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成•个轴对称

图形.现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图

形，不同的移法有（）

A.8种B.12种C.16种D.2（）种

【分析】根据对称性判断出（2,三）的运动方法，可得结论.

【解答】解：移动（2,三）到（1,三），（3,三），（5,三），（5,二），（5,四）共5种不同的方法，

故一共有4X5=20（种）不同的方法，故选：。.

【即学即练3】

3.（2022•宛城区期末）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上.

（1）若把线段4c平移后，对应线段恰好为AM,请画出线段AW：

（2）请你再找一个格点。，使点A、B、C、。组成一个轴时称图形，并画出对称轴.（请分别在下图及备

【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可.（2）根据轴对称图形的性质解决问题即可.

【解答】解：（1）如图，线段4朋即为所求.

（2）如图，点。以及对称轴，如图所示.

图1图2图3图4

■能力拓展

考法01利用轴对称的性质解决折叠（翻折）问题

【典例1】（2022•四川成都•七年级期中）把一张长方形纸条48CQ沿EF折叠成图①，再沿“尸折叠成图

②，若乙DEF=0（b<qSV900）,用夕表示NC'FE,则NC/E=.

图①图②

【答案】1800-37？

【分析】先利用平行线的性质得到N^H=N力历=尸，ZFFC=180°-/7,再根据折叠的性质得到

NEFC'=1800-Q,所以/”尸。=180。-24，接着再利用折叠的性质得到N。'"/=NCN"=180。-2〃，然

后计算NCFH-NEFH即可.

【详解】，•四边形A8CO为长方形，

/.AD//BC,；./EFH=/DEF=0,ZEFC=180°-/?,

••・方形纸条A8C。沿所折叠成图①，「."FC=NEFC=180。-万,

ZHFC=NEFC-NEFH=180°-/?-/?=180°-2/?.

•••长方形4BCD沿册折叠成图②，「."FH=ZCFH=1800-24，

:.NC"FE=/C"FH-NEFH=180。-20-0=180°-30.故答案为：180。-34.

【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称

的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

变式1.（2022・广西防城港•八年级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、

【答案】300##30度

【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到N1=N3=/4=15。，进而得出N2=30,

二.纸带翻折，/。82=/3+/4=30°,

'.CD//BE,AZ2=ZDBF=30°.故答案为:30°.

【点睛】本题考查平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等.

变式2.（2022•浙江•浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片4BCD按所示方法进行两次折叠，得到

△ECF.若BC=1,则aECF的周长为（）

【答案】A

【分析】第•次翻折可得。M=&，EM=1,ZADM=AEDM=45°,第二次折叠，可得CO=&，EC=6-\，

FhzDC/V=45°,可得石尸=应-1,则C/=2-夜，再求的周长即可.

【详解】如图，

DD

第一次折叠，如图②，

vBC=\,:.AD=AM=DE=\,;.DM=叵，

由折叠的性质，zLADM=zlEDM=45°>..EM=1,

第二次折叠，如图③，CN=BC=1,N£WC=90°,

••.DN=\，.3=日...EC=mi，

•.•NDCN=45°，:.EF=y/2-\f:.CF=2-&，

••.AEB的周长=&-1+&-1+2—&=&，故选：A.

【点睛】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出NEOM=45。是解题的关键.

考法02线段的垂直平分线的综合运用

【典例2】（2022・石家庄九年级二模）如图，在△AAC中，。为BC中点，O£_L8C交NBAC的平分线AE于

E,EF工AB于F,£G_L4C交AC的延长线于G.

（1）求证：BF=CG>,（2）若AB=5,AC=3,求4F的长.

【答案】（1）见解析：（2）4

【分析】（1）连接8E、EC,证明防△BFE/R/ZXCGE即可；

（2）证明则从尸二47,继而求得Ab的长

【详解】（1）证明:如图，连接BE、EC,

VEDLBC,。为8c中点，工RE=EC,

VEF1AH,石G_LAG,且AE平分/"G,AFE=EG,

BE=CE

在放庄和RZSCGE中，L〃，：•RtABFE迫RiACGE(HL):・BF=CG.

EF=EG

AE=AE

（2）解：在心△人"和心^AEG中，―

EF=EG

/.Kt/XAEbZKt/XAEG（HL）,Z.AF=AG,

AAB+AC=AF+BF+AG-CG=2AF,：.2^F=8,AAF=4.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角「角形全等的证明，全等三角形的性质，

正确的作出辅助线是解题的关键.

变式1.（2022•云南•初二期末）在AABC中，A8的垂直平分线4交3C于点。，AC的垂直平分线，2交8C

于点E，4与4相交于点O,△/麻的周长为6.（1）A。与BD的数量关系为.（2）求3C

的长.（3）分别连接。4,OB,OC,若△O8C的周长为16,求。4的长.

【答案】（1）AD=BD；（2）6；（3）5.

【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可得；（2）先根据垂直平分线的性质可得AO=3。，AE=CE,

再根据三角形的周长公式、等量代换即可得：（3）先根据垂直平分线的性质可得OB=OA,OC=OA,

再根据三角形的周长公式可得Q8+OC=10，由此即可得出答案.

【解析】（1）因为A8的垂直平分线4交3C于点。，所以=故答案为：AD=BD；

（2）因为4是A8的垂直平分线，乙是4。的垂直平分线，所以A£>=8Q，AE=CE,

因为AADE的周长为6,所以AO+DE+AE=6,所以BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=6；

（3）因为4是A8边的垂直平分线，乙是4c边的垂直平分线，所以O3=OA,OC=OA,

因为AOBC的周长为16,所以OB+OC+4C=16,

所以。8+00=16—80=16—6=10,所以3=OB=OC=5.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的周长公式等知识点，掌握理解垂直平分线的性质是解题

关键.

变式2.（2022•平顶山期中）如图，在△/WC中，AE_LBC于点E,NB=22.5°,/W的垂直平分线QN交

BC于点D,交AB于点N,。凡LAC于点尸，交AE于点M.求证：（1）人石=。石；（2）EM=EC.

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,得到NOA8=N8=22.5°,根据三角形的外角性

质得到N人八夕+/4=45°,根据等腰三角形的性质证明：

（2）证明△MQEg/\C4E,根据全等三角形的性质证明结论.

【解答】证明：（1）TON是AB的垂直平分线，

：,DA=DB,・・・/QA8=N8=22.5°,?.ZADE=ZDAB+ZB=45°,

•・•力£_L8C,/.ZAED=90°,：.^DAE=ZADE=45°,：・AE=DE；

（2）VDF±AC,AELBC,AZMDE=ZCAE,

在和△CAE中，

QfDE=LCAE

IDE=AE

=UEC

9

MMDEWACAE(ASA),：.EM=EC.

M分层提分

题组A基础过关练

1.（2022•江苏南通・中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是

（）

【答案】D

【分析】根据如果•个图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这

条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D.是轴对称图形，故本选项符合题意.故选：D.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置.

2.（2022•山东威海•中考真题）图1是光的反射规律示意图.其中，PO是入射光线，0。是反射光线，法线

KO工MN,NPOK是入射角，NKOQ是反射角，ZKOQ=ZPOK.图2中，光线自点P射入，经镜面E尸

反射后经过的点是（）

【答案】B

【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称,

由此推断出结果.

【详解】连接EF,延长入射光线交E广于一点N,过点N作七尸的垂线NM,如图所示：

由图可得MN是法线，/PNM为人射角

因为入射角等于反射角，且关于MN对称由此可得反射角为NMV8

所以光线自点P射入，经镜面E尸反射后经过的点是B故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键.

3.12022•山东枣庄•八年级期中）如图，在△A3C中，的垂直平分线分别交43、BC干点D、E,连接AE,

若AE=5,EC=2,则4C的长是（）

【答案】B

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=E4=5,结合图形计算，得到答案.

【详解】解：.「OE是AB的垂直平分线，AE=5,

EB=EA=5,，BC=EB+EC=5+2=7,故选：B.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个

端点的距离相等.

4.（2022•雁塔区校级期末）如图，点P为NAO8内一点，分别作出P点关于08、OA的对称点Pi,P?,

连接PiP2交OB于M,交。4于M若NAOB=40°,则NMPN的度数是（）

A.90°B.100°C.120°D.140°

【分析】首先证明NP+N尸2=40°,可得NPMN=NP+NMPPi=2NPi,N7WM=/尸2+/帅尸2=2/尸2,

推出N0WN+NPNM=2X4O0=80。，可得结论.

【解答】解：•・/点关于03的对称点是尸。点关于0A的对称点是P2，

：.PM=P\M,PN=P2N,N尸2=/尸2PMNPi=NPiPM,

•・・/AOB=40°,2Ppi=14。°,・・・NPI+NP2=40°,

J4PMN=/P1+/MPP1=2NPi,ZPNM=/尸2+/即尸2=2/尸2,

工NPMN+NPNM=2X40°=80°,

••・NMPN=180°-(NPMN+NPNM)=180°-80°=100°,故选：B.

5.(2022•惠来县期末)《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇

机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村《中共中央国务院关于积极发展

现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提U“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划

和试点，节约农村建设用地”.以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的

三个出LIA、山。的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动

车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在()

B

A.三条边的垂直平分线的交点处B.三个角的平分线的交点处

C.三角形三条高线的交点处D.三角形三条中线的交点处

【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可.

【解答】解：•・•电动车充电桩到三个出口的距离都相等,

・•・充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，故选：A.

6.(2022•扎兰屯市期末)如果点A(m+2,m-1)在x轴上,那么点B(w+3,m-2)关于x轴的对称点所

在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据点4(〃?+2,加-1)在x轴上，可求出〃?的值，进而确定点B的坐标和所在的象限，再根据

关于x轴对称的性质得出答案.

【解答】解：•・•点A(m+2,m-1)在“轴上,

A/n-1=0,即6=1,w+3=4.in-2=-1,

・,•点3(4,-I),・••点B(4,-I)在第四象限，

1点B(4,-I)关于x轴的对称点在第一象限，故选：A.

7.（2022•河南，累河市,）如图，△A3C与VABV关于直线/对称，下列判断错误的是（)

A.ZABC=90°B.直线/垂直平分线段跖'C.S^ABC=D.BCH&C

【答案】D

【分析】先根据对称的性质求得/C,然后利用三角内角和定理即可求得WC=90。；再利两个图形成的性

质解答即可.

【详解】解：•・•△4^C与V49U关于直线/对称・,・NC=NC'=30°

・•・ZABC=180。-N8-NC=90。,故A正确：

,/AABC与VA0C关于直线I对称

・•・直线/垂直平分线段BBLS△即=S博眈，,即B、C正确;

RC、的延长线交于一点且该点在对称轴上，故D错误一故选：D.

【点睛】本题考杳了两个图形成轴对称的性质，掌握对应边的延长线交于一点且该点在对称雅上是解答本

题的关键.

8.（2022•沙坪坝区校级期中）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51,那么实际时间为.

己口⑸

【分析】用镜面对称的性质求解.镜面对称的性质；在平面镜中妁像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且美于

镜面对称.

【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：05.

故答案为：12：05.

9.（2022・湖北•通山县实验初级中学一模）如图，RfAABC中,ZC=100°,/8=30。，分别以点4和点8为

圆心，大于/A3的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交BC于点D,连接40,则NCAD

的度数是________

【答案】20。##20度

【分析】由题意根据N08=180。-/CN8和垂直平分线性质，求出NC48,N。/记进而依据

ZCAD=ZCAB-Z.0AB求出即可.

【详解】解：•••/C=100。Z5=30°,

ZCA5=18U°-/C-Z5=1次T-lUU°-3g5U0,

由作图可知，MN垂宜平分线段A8,

DA=DB,；.ZDAB=N4=30°,

ZCAQ=NCAI3-A。44=50。-30。=20。.故答案为：20。.

【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

10.（2022•道县期末）在4X4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方

形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有种.

①

【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可.

故答案为：3.

11.（2022•沐阳县校级开学）如图.△A6CU」，ZB=ZC,点户、Q、A分别在A3、BC、AC上，且?台=

QC,QB=RC.求证：点。在PA的垂直