1977-2025高考数学真题全编

1977—2025高考数学真题全编

2025/11/5

1

7.已知二次函数y=x2−6x+5.附加题

(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;π

1977普通高等学校招生考试(北京卷理)2̸

画出它的图象xsin,(x=0)

(2);求函数x的导数

11.(1)f(x)=.

(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.0,(x=0)

√

1.解方程:x−1=3−x.

0

−121

2.计算:22+√+√.

22−1

8.一只船以20海里/小时的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔Bx2y2

◦◦(2)求椭圆+=1绕x轴旋转而成的旋转体体积.

在船的北45东方向,一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15东方a2b2

向,求这时船和灯塔的距离CB.

√

3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg45.

1+sin2α

4.证明:(1+tanα)2=.

cos2α

9.一个圆内接三角形ABC,∠A的平分线交BC于D,交外接圆于E,求证:

12.(1)试用ε−δ语言叙述“函数f(x)在点x=x处连续”的定义.

AD·AE=AC·AB.0

5.求过两直线x+y−7=0和3x−y−1=0的交点且过(1,1)点的直线方程.

x2y2

10.当m取哪些值时,直线y=x+m与椭圆+=1有一个交点?有(2)试证明:若f(x)在点x=x0处连续,且f(x0)>0,则存在一个x0的

169(x−δ,x+δ),在这个邻域内,处处有f(x)>0.

两个交点?没有交点?当它们有一个交点时,画出它的图象.00

6.某工厂今年七月份的产值为100万元,以后每月产值比上月增加20%,问

今年七月份到〸月份总产值是多少?

2

6.一条直线过点(1,−3),并且与直线2x+y−5=0平行,求这条直线的方程.9.在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,

1977普通高等学校招生考试(北京卷文)后三个数成等差数列,求插入的两个正数?

()1

72

1.计算:30+3−1−1.

9

√√

6+2

2.化简:√√.7.证明:等腰三角形两腰上的高相等.

6−2

10.已知二次函数y=x2−4x+3.

(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;

(2)画出它的图象;

(3)求出它的图象与直线y=x−3的交点坐标.

14x−2

3.解方程+1=.

x−1x2−1

4.不查表求sin105◦的值.8.为了测湖岸边A、B两点的距离,选择一点C,测得CA=50米,CB=30

米,∠ACB=120◦,求AB.

5.一个正三棱柱形的零件,它的高是10cm,底面边长是2cm,求它的体积.

3

(9)求函数y=2−5x−3x2的极值.4.动点P(x,y)到两定点A(−3,0)和B(3,0)的距离的比等于2,求动点P

1977普通高等学校招生考试(福建卷理)的轨迹方程,并说明这轨迹是什么图形.

[](10)画出下面V形铁块的三视图(只要画草图)

()−1

33

1.(1)计算:5−3×−3+1031×(0.25−2−2)÷90.

85.某大队在农田基本建设的规划中,要测定被障碍物隔开的两点A,P之间

的距离,他们土法上马,在障碍物的两侧,选取两点B和C(如图),测得

AB=AC=50m,∠BAC=60◦,∠ABP=120◦,∠ACP=135◦,求A和

P之间的距离.(答案可用最简根式表示)

cos160◦−cos170◦

(2)y=的值是正的还是负的?为什么?

tan155◦C

AP

lg(2−x)

(3)求函数y=√的定义域.x2−x−6

x−12.(1)解不等式:<0.

x2+2x+2

B

x2y2

已知双曲线−为锐角和圆−222相切

()6.=1(α)(xm)+y=r

(4)如图,在梯形ABCD中,DM=MP=PA,MNPQAB,2cosθ−sin2θ90◦−θ√24α16cotα

(2)证明:=tan2.于点A(43,4),求α,m,r的值.

DC=2cm,AB=3.5cm,求MN和PQ的长.2cosθ+sin2θ2

D2C

MN

(3)某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪,如果每平方

PQ米面积需要油漆150克,问共需油漆多少克?(答案保留整数)23

7.设数列1,2,4,···前n项和是Sn=a+bn+cn+dn,求这数列的通

项an的公式,并确定a,b,c,d的值.

A3.5B

(5)已知lg3=0.4771,lgx=−3.5229,求x.

(4)某农机厂开展“工业学大庆”运动,在〸月份生产拖拉机1000台.这样,

一月至〸月的产量恰好完成全年生产任务.工人同志为了加速农业机械化,

计划在年底前再生产2310台,求〸一月、〸二月份平均每月增长率.

x−1

(6)求lim.附加题

x→1x2−3x+2

()

π

8.求函数y=e−2xsin5x+的导数.

4

√

(7)解方程:4x+1−2x+1=0.

3.在半径为R的圆内接正六边形内,依次连结各边的中点,得一正六边形,又

在这一正六边形内,再依次连结各边的中点,又得一正六边形,这样无限地∫

1()

x222

−继续下去,求:求定积分

a2n+1−6a2n+9a2n19.:xe+xedx.

(8)化简:.(1)前n个正六边形的周长之和S;0

an+1−4an+3an−1n

(2)所有这些正六边形的周长之和S.

4

222

(9)写出等比数列−,,−,···的通项公式.3.某农机厂开展“工业学大庆”运动,在〸月份生产拖拉机1000台.这样,一

1977普通高等学校招生考试(福建卷文)92781月至〸月的产量恰好完成全年生产任务.工人同志为了加速农业机械化,

计划在年底前再生产2310台.

①求〸一月、〸二月份每月增长率;

②原计划年产拖拉机多少台?

[]

()−1

33−

1.(1)计算:5−3×−3+1031×(0.25−22)÷90.lg(2−x)

82.(1)求函数y=√的定义域.

x−1

(2)求cos(−840◦)的值.

4.求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第一象限的交点处的切线方程.

√(2)证明:(sinα−cosα)2+sin2α=1.

(3)化简:(2x−3)2.

(4)如图,在△ABC中,MNBC,MN=1cm,BC=3cm,

BM=AM+2,求AM的长.x2y2

√5.已知双曲线−=1(α为锐角)和圆(x−m)2+y2=r2相切

(3)解方程:2x−3+6=x.√24α16cotα

A于点A(43,4),求α,m,r的值.

MN

BC

2

(5)已知lg3=0.4771,lgx=3.4771,求x.(4)解不等式:x−x−6<0.

6.某大队在农田基本建设的规划中,要测定被障碍物隔开的两点A,P之间

的距离,他们土法上马,在障碍物的两侧,选取两点B和C(如图),测得

x−1

(6)求lim.AB=AC=50m,∠BAC=60◦,∠ABP=120◦,∠ACP=135◦,求A和

x→1x2−3x+2

√√√P之间的距离.(答案可用最简根式表示)

5+2

(5)把分母有理化:√√.

5−2C

(7)求函数y=x2+2x−4的极小值.AP

(6)某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪,如果每平方B

米面积需要油漆150克,问共需油漆多少克?(答案保留整数)

3π

(8)已知sinα=,<α<π,求tanα的值.

52

5

4.已知2lgx+lg2=lg(x+6),求x.8.下列两题选做一题.

1977普通高等学校招生考试(河北卷)【甲】已知椭圆短轴长为2,中心与抛物线y2=4x的顶点重合,椭圆的一

个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长.

1.解答下列各题:

(1)叙述函数的定义.5.某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃,其两邻边借用夹角为135◦的

两面墙,另外两边是总长为30米的篱笆(如图,AD和DC为墙),问篱笆

的两边各多长时,苗圃的面积最大?最大面积是多少?【乙】已知菱形的一对内角各为60◦,边长为4,以菱形对角线所在的直线

◦

1为坐标轴建立直角坐标系,以菱形60角的两个顶点为焦点,并且过菱形

(2)求函数y=1−√的定义域.DC

2−3x的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程.

[]()1AB

−273

(3)计算:1−(0.5)2÷−.

8

工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器上面开口使其容

(4)计算:log42.6.(),附加题

积为208立方米,高为4分米,上口边长与下底面边长的比为5:2,做这

样的容器需要多少平方米的铁皮?(不计容器的厚度和加工余量,不要求写9.将函数f(x)=ex展开为x的幂级数,并求出收敛区间.(e=2.718为自然

出已知、求解,直接求解并画图即可)对数的底数)

(5)分解因式:x2y−2y3.

()

4π25π3π

(6)计算:sin·cos·tan−.

364

7.如图,MN为圆的直径,P、C为圆上两点,连PM,PN,过C作

2.证明:如图,AB是圆O的直径,CB是圆O的切线,切点为B,OC平行MN的垂线与MN,MP和NP的延长线依次相交于A,B,D,求证:x2y2

2·10.利用定积分计算椭圆+=1(a>b>0)所围成的面积.

于弦AD,求证:DC是圆O的切线.AC=ABAD.a2b2

CD

D

CP

AB

O

B

MAN

sin2α+111

3.证明:=tanα+.

1+cos2α+sin2α22

6

4.解下列各题:附加题

1977普通高等学校招生考试(黑龙江卷)(1)圆锥的高为6cm,母线和底面半径成30◦角,求它的侧面积.

9.如图,AP表示发动机的连杆,OA表示它的曲柄.当A在圆上作圆周运动

时,P在x轴上作直线运动,求P点的横坐标.为什么当α是直角时,∠P

是最大?

解答下列各题

1.√:

解方程

(1):3x+4=4.(2)求过点(1,4)且与直线2x−5y+3=0垂直的直线方程.A

R

l

α

OPx

(2)解不等式:|x|<5.

5.如果△ABC的∠A的平分线交BC于D,交它的外接圆于E,那么

··

√ABAC=ADAE.

(3)已知正三角形的外接圆半径为63cm,求它的边长.C

E

D

10.求曲线y=sinx在[0,π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体

AB

的体积.

2.计算下列各题√:

(1)m2−2ma+a2.

6.前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召,1975年造林200亩,又

知1975年至1977年这三年内共造林728亩,求后两年造林面积的年平均

增长率是多少?

(2)cos78◦·cos3◦+cos12◦·sin3◦.

()

π

(3)arcsincos.x

67.解方程:lg(2+2x−16)=x(1−lg5).

3.解下列各题:

2

x+1x8.已知三角形的三边成等差数列,周长为36cm,面积为54cm,求三边的

(1)解方程:3−92=18.vskip2cm(2)求数列2,4,8,16,···前〸

长

项的和..

7

3

2.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为π的直线,它与抛物线相交于A、6.在两条平行直线AB和CD上分别取定一点M和N,在直线AB上取

4一定线段在线段上取一点连结并延长交于

1977普通高等学校招生考试(江苏卷)B两点.求A、B两点间的距离.ME=a;MNK,EKCD

F.试问K取在哪里时,△EMK与△FNK的面积之和最小?最小值是

多少?

()1()−2()−1

121272

1.(1)计算:2+−(3.14)0+−.

4108

3.在直角三角形ABC中,∠ACB=90◦,CD、CE分别为斜边AB上的高

和中线,且∠BCD与∠ACD之比为3:1,求证:CD=DE.

C

√1

(2)求函数y=x−2++lg(5−x)的定义域.

x−3

ADEB

附加题

√(√√)

7.求极限:limxx+1−x.

n→∞

(3)解方程:5x2+2x=125.

4.在周长为300cm的圆周上,有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周

运动.甲球从A点出发按逆时针方向运动,乙球从B点出发按顺时针方向

运动,两球相遇于C点相遇后,两球各自反方向作匀速圆周运动,但这时

甲球速度的大小是原来的2倍,乙球速度的大小是原来的一半,以后他们

(√)

√√第二次相遇于D点.已知AmC˘=40厘米,BnD˘=20厘米,求ACB˘的

计算−333

(4):log3log33.长度.

∫

dx

8.求不定积分:.

(1+ex)2

(5)把直角坐标方程(x−3)2+y2=9化为极坐标方程.

5.(1)若三角形三内角成等差数列,求证:必有一内角为60◦.

1+2+3+···+n

(6)计算:lim.

n→∞n2

(2)若三角形三内角成等差数列,而且三边又成等比数列,求证:三角形三

内角都是60◦.

(7)分解因式:x4−2x2y−3y2+8y−4.

8

4.正六棱锥V−ABCDEF的高为2cm,底面边长为2cm.附加题

1977普通高等学校招生考试(上海卷理)(1)按1:1画出它的二视图;

(2)求其侧面积;9.如图所示,半圆O的直径为2,A为半圆直径的延长线上的一点,且

(3)求它的侧棱和底面的夹角.OA=2,B为半圆上任一点,以AB为边作等边△ABC,问B在什么

地方时,四边形OACB的面积最大?并求出这个面积的最大值.

()()

aa2aa2C

1.(1)化简:−÷−.

a+ba2+2ab+b2a+ba2−b2

B

{

16−x2⩾0,

5.解不等式:并在数轴上把它的解表示出来.

2−−OA

1√xx6>0,

(2)计算:lg25+lg2−lg0.1−log9×log2.

223

√

(3)−1=i,验算i是否方程2x4+3x3−3x2+3x−5=0的解.6.已知两定点A(−4,0)、B(4,0),一动点P(x,y)与两定点A、B的连线PA、

1

PB的斜率的乘积为−.求点P的轨迹方程,并把它化为标准方程,指出

4

是什么曲线.

()()

ππ10.已知曲线y=x2−2x+3与直线y=x+3相交于点P(0,3)、Q(3,6)两

sin+θcos+θ

(4)(4)2点.

(4)求证:π+π=.

sin−θcos−θcos2θ(1)分别求出曲线在交点的切线的斜率;

44

(2)求出曲线与直线所围成的图形的面积.

7.等腰梯形的周长为60,底角为60◦,问这梯形各边长为多少时,面积最大?

BC

2.在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过D作BC的平行线交AC于

E,已知BC=a,AC=b,求DE的长.

B

AD

D

{√

x−y−2=0(1)

AEC8.当k为何值时,方程组有两组相同的解?并

kx−y−2k−10=0(2)

√√

求出它的解

3.已知圆A的直径为23,圆B的直径为4−23,圆C的直径为2,圆A.

与圆B外切,圆A又与圆C外切,∠A=60◦,求BC及∠C.

9

√√

412x

(3)解方程:−=1−.6.求直线x+3y+33=0的斜率和倾角,并画出它的图形.

−2−

1977普通高等学校招生考试(上海卷文)x+3x3x9

[()()()()]

113133

1.(1)计算:−−−−1+×−÷.

232342

sin225◦+tan330◦

4.(1)计算:.

cos(−120◦)

7.当x为何值时,函数y=x2−8x+5的值最小,并求出这个最小值.

(2)某生产队去年养猪96头,今年养猪120头,问今年比去年增加百分之

几?计划明年比今年多养40%,明年养猪几头?

2

(2)求证:tanx+cotx=.

sin2x

2.在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过D作BC的平分线交AC于

E,已知BC=a,AC=b,求DE的长.

8.将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600

B(3)△ABC中,∠A=45◦,∠B=75◦,AB=12,求BC的长.

升,问应从甲、乙两种流酸中各取多少升?

D

AEC

5.六角螺帽尺寸如图,求它的体积(精确的1mm3).

()()

aa2aa2

3.(1)化简:−÷−.

a+ba2+2ab+b2a+ba2−b220

10

20

2x−13x−1

(2)解不等式:>−4.

32

10

2.(1)某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场(如图),现有50米长的(2)如果α=30◦,β=75◦,γ=45◦,a=33米,求建筑物AB的高.(保留

1977普通高等学校招生考试(天津卷)铁丝网,如果用它来围成这个储料场,那么长和宽各是多少时,这个储料场一位小数)

的面积最大?并求出这个最大的面积.

y

y仓库储料场

1.(1)在什么条件下,

2x

①是正数;x

②是负数;

③等于零;5.(1)求直线3x−2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标.

④没有意义?

(2)如图,已知AB、DE是圆O的直径,AC是弦,ACDE,求证:

CE=EB.

(2)比较下列各组数的大小,并说明理由.

◦◦(2)求通过上述交点,并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程.

①cos31与cos30.E

CB

1

②log1与log.

224

A

D

附加题

−

(3)求值:ex−ex−2x

(√)6.求lim的值.

3x→0x−sinnx

①tan5arcsin.

2

3.如果已知bx2−4bx+2(a+c)=0(b≠0)有两个相等的实数根,求证:a,

b,c成等差数列.

01

②(−2)×(0.01)2.

∫

4x+2

5◦计算√

(4)计算:lg12.5−lg+lgsin30.7.:dx..

84.(1)如图,为求河对岸某建筑物的高AB,在地面上引一条基线CD=a,测02x+1

得∠ACB=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,求AB.

A

4x21

(5)解方程:−=1−.

x2−4x−2x+2BD

C

11

3.如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,7.已知函数y=x2+(2m+1)x+m2−1(m为实数).

1978普通高等学校招生考试(全国卷)AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点,求证:(1)m是什么数值时,y的极值是0?

(1)CD=CM=CN;(2)求证:不论m是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同一条直

2

(2)CD=AM·BN.线L1上,画出m=−1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论;

(3)平行于L1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平

M

行于而与抛物线相交的直线被各抛物线截出的线段都相等

1.(1)分解因式:x2−4xy+4y2−4z2.L1,.

C

N

ADB

(2)已知正方形的边长为a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个

正方形边长的直圆柱体的体积.

b

4.已知log189=a,18=5,求log3645.

√

(3)求函数y=lg(2+x)的定义域.

(4)不查表求cos80◦cos35◦+cos10◦cos55◦的值.√

△

5.已知ABC的三个内角的大小成等差数列,tanAtanC√=2+3,求角

A,B,C的大小.又已知顶点C的对边c上的高等于43,求三角形各边

√2√

a,b,c的长.(提示:必要时可验证(1+3)=4+23)

√

()−13

12(4ab−1)

(5)化简:·.

−21

4(0.1)(a3b−4)2

6.已知α,β为锐角,3sin2α+2sin2β=1,3sin2α−2sin2β=0.求证:

π

α+2β=.

2

2.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方

程所代表图形的内形,并画出显示其数量特征的草图.

12

3.已知:△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点,求证:6.已知:asinx+bcosx=0,Asin2x+Bcos2x=C,其中a,b不同时为0,

2

S△ABCABBD求证:2abA+(b2−a2)B+(a2+b2)C=0.

1978普通高等学校招生考试(备用卷)=2=.

S△ACDACCD

1.(1)分解因式:x2−2xy+y2+2x−2y−3.

π5π

(2)求sin30◦−tan0◦+cot−cos2.

46

4.如图,CD是BC的延长线,AB=BC=CA=CD=a,DM与AB,

4atanα

AC分别交于M点和N点,且∠BDM=α.求证:BM=√,

3+tanα

4atanα

CN=√.(√)

3−tanα333

lg(25−5x)7.已知L为过点P−,−倾斜角为30◦的直线,圆C为中心在坐

(3)求函数y=的定义域.A22

x+1(√)

2

标原点而半径等于1的圆,Q表示顶点在原点而焦点在,0的抛物

8

M线.设A为L和C在第三象限的交点,B为C和Q在第四象限的交点.

N(1)写出直线L、圆C和抛物线Q的方程,并作草图;

(2)写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式;

(4)已知直圆锥体的底面半径等于1cm,母线的长等于2cm,求它的体积.

BCD(3)设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足,求由圆弧AB和直线段BB′、

B′P′、P′P、PA所包含的面积.

(√)1

()−1()12

(√)−11212525

(5)计算:102+5−+30的值.

50093

5.设f(x)=4x4−4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2(p≠0).求证:

(1)如果f(x)的系数满足p2−4q−4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个

二次三项式的平方;

(2)如果f(x)与F(x)=(2x2+ax+b)2表示同一个多项式,那么

p2−4q−4(m+1)=0.

2.已知两数x1,x2满足下列条件:

(1)它们的和是等差数列1,3,···的第20项;

11

(2)它们的积是等比数列2,−6,···的前4项和,求根为,的方程.

x1x2

13

()()()

πππ

5.外国船只除特许外不得进入离我海岸线D里以内的区域.设A及B是我9.试问数列lg100,lg100sin,lg100sin2,···,lg100sinn−1前多

444

1979普通高等学校招生考试(全国卷理)们的观测站,A及B间的距离为S里,海岸线是过A,B的直线,一外国少项的和的值最大?并求这最大值.(lg2=0.301)

船在P点,在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠BAP=β.问α

及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发

出警告,命令退出我海域?

1.若(z−x)2−4(x−y)(y−z)=0,求证:x,y,z成等差数列.

−∠∠∠◦△

16.设三棱锥VABC中,AVB=BVC=CVA=90.求证:ABC

2.化简:.

1是锐角三角形.

1−

1

1−

1−csc2x

10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.

(1)△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为|PD|,

|PF|,|PE|,并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2.求P点的轨迹;

(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得|PD|+|PE|=|PF|.

7.美国的物价从1939年的100增加到四〸年后1979年的500,如果每年物

3.甲,乙二容器内都盛有酒精,甲有V1公斤,乙有V2公斤.甲中纯酒精与水

价增长率相同,问每年增长百分之几?

(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后

(注意:x<0.1,可用:ln(1+x)≈x,取lg2=0.3,ln10=2.3)

所得液体中纯酒精与水之比是多少?

4.叙述并证明勾股定理.8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形,过D作该圆的切线与CE的延长线

BFBC3

相交于点A,与CF的延长线相交于点B.求证:=.

AEAC3

C

E

F

ADB

14

5.外国船只除特许外不得进入离我海岸线D里以内的区域.设A及B是我7.设CEDF是一个已知圆的内接矩形,过D作该圆的切线与CE的延长线

BFBC3

们的观测站,A及B间的距离为S里,海岸线是过A,B的直线,一外国相交于点与的延长线相交于点求证

1979普通高等学校招生考试(全国卷文)A,CFB.:=3.

船在P点,在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠BAP=β.问αAEAC

及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发C

出警告,命令退出我海域?E

1.求函数y=2x2−x+1的极小值.

F

ADB

[][]

()2

2.化简:1+sin2θ−cos4θ(1+cos2θ)2−sin4θ.

过原点作圆22−−的任意割线交圆于两点

6.美国的物价从1939年的100增加到四〸年后1979年的500,如果每年物8.Ox+y2x4y+4=0P1,P2,

甲乙二容器内都盛有酒精甲有公斤乙有公斤甲中纯酒精与水求的中点的轨迹

3.,,V1,V2.价增长率相同,问每年增长百分之几?P1P2P.

重量之比为乙中纯酒精与水之比为问将二者混合后

()m1:n1,m2:n2.(注意:x<0.1,可用:ln(1+x)≈x,取lg2=0.3,ln10=2.3)

所得液体中纯酒精与水之比是多少?

4.叙述并证明勾股定理.

15

α

5.直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A,从P看地面上一物体B8.已知0<α<π,证明:2sinα⩽cot;并讨论α为何值时等号成立.

2

1980普通高等学校招生考试(全国卷理)(不同于A).直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平

面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.

P

1.将多项式x5y−9xy5分别在下列范围内分解因式:

N

(1)有理数范围;

M

BA

l

(2)实数范围;

9.抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这

个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.

2

(注:设P(x0,y0)是抛物线y=2px上一点,则抛物线在P点处的切线斜

p

率是).

(3)复数范围.y0

()

kππ

6.设三角函数f(x)=sin+,其中k≠0.

53

(1)写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期T;

(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本

身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.

2.半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三

角形是直角三角形.

附加题

{

x=t,

10.设直线l的参数方程是(t是参数),椭圆E的参数方程是

{y=b+mt,

x=1+acosθ,(a≠0)

3.用解析几何方法证明:三角形的三条高线交于一点.(θ是参数),问a、b应满足什么条件,使得对于

y=sinθ,

任意m值来说,直线l与椭圆E总有公共点.

7.CD为直角△ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC

的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).

logN

a̸̸

4.证明对数换底公式:logbN=(a,b,N都是正数,a=1,b=1).

logab

16

4.某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%,要使1980年的工业总7.如图,长方形框架ABCD−A′B′C′D′三边AB、AD、AA′的长分别为6、

1980普通高等学校招生考试(全国卷文)产值比上一年增长10%,且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%,8、3.6,AE与底面的对角线B′D′垂直于E.

问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几?(1)证明A′E⊥B′D′;

(2)求AE的长.

AD

1−3i

1.化简:.

3−2iB

C

′

AD′

E

B′C′

√

()[()]

π3ππ

cossin−θsin(π−θ)−sinθ−

442

3π5π()

5.设<θ<,化简:π.

44sinθ+

4

−−

2x3yz=5,

解方程组

2.:4x+2y+3z=9,

3x+2y=−1.{

x=sect,

8.(1)把参数方程(t为参数)化为直角坐标方程,并画出方程

y=2tant,

的曲线的略图;

π3π

(2)当0⩽t<及π⩽t<时,各得到曲线的哪一部分?

22

6.(1)若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形,

证明:直线AC必平分对角线BD;

3.用解析法证明:直径所对的圆周角是直角.

(2)写出(1)的逆命题,这个逆命题是否正确?为什么?

17

◦

x−ab−c8.在120的二面角P−a−Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B,已

解不等式为未知数−知点和点到棱的距离分别为和且线段

1981普通高等学校招生考试(全国卷理)5.(x):axbc>0.ABa24,AB=10.

−abx−c

(1)求直线AB和棱a所成的角;

(2)求直线AB和平面Q所成的角.

1.设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},

B={无理数},试写出:

(1)A∪B;

(2)A∩B.

xxxxsinx2

6.用数学归纳法证明等式:cos·cos·cos·····cos=.对2y

23nx9.给定双曲线x−=1.

22222nsin2

2.在A、B、C、D四位候选人中,n

2(1)过点A(2,1)的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2,求线段

(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;一切自然数n都成立.

P1P2的中点P的轨迹方程;

(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,

且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如

果不存在,说明理由.

3.下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条

件,或者都不是.

ABA是B的什么条件7.设1980年底我国人口以10亿计算.

附加题

四边形ABCD为平行四边形四边形ABCD为矩形(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

a=3|a|=3(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最10.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如

◦1高是多少?22

θ=150sinθ=图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a−b,u2=a−ab+b,

23223kk−1k−2kk

222222u=a−ab+ab−b,···,u=a−ab+ab2−···+(−1)b;求

点(a,b)在圆x+y=R上a+b=R下列对数值可供选用:3k

证:u=u−+u−(n⩾3).

lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417nn1n2

4.写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720ED

lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060

AFOCB

18

5.写出正弦定理,并对钝角三角形的情况加以证明.8.ABCD−A1B1C1D1为一正四棱柱,过A、C、B1三点作一截面,求证:

⊥

1981普通高等学校招生考试(全国卷文)截面ACB1对角面DBB1D1.

1.设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},

B={无理数},试写出:

(1)A∪B;

(2)A∩B.

6.已知正方形ABCD的相对顶点A(0,−1)和C(2,5),求顶点B和D的坐

标.

[]2[][]

a7b2a2−b24a2(b−a)3

2.化简:−√×√÷.

3(a+b)2a2b2

√

9.(1)设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为35,求k的值.

(2)以本题(1)得到的弦为底边,以x轴上的点P为顶点做成三角形.当

这三角形的面积为9时,求P的坐标.

3.在A、B、C、D四位候选人中,

(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;

(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

7.设1980年底我国人口以10亿计算.

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最

高是多少?

下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060

4.求函数f(x)=sinx+cosx在区间(−π,π)上的最大值.

19

4.已知圆锥体的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大7.已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边

1982普通高等学校招生考试(全国卷理)的圆柱体的高h(如图).AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证:MNPQ是一个矩形.

B

M

1.填表:H

h

函数使函数有意义的的实数范围

√xN

−2

1y=√xAQD

2

2y=(−x)P

2R

3y=arcsin(sinx)

C

4y=sin(arcsinx)

5y=10lgx

6y=lg10x

2.(1)求(−1+i)20展开式中第15项的数值;

8.抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切,证明这个

5.设0<x<1,a>0,a≠1,比较|log(1−x)|与|log(1+x)|的大小.(要

aa三角形的第三边也与x2=2qy相切.

写出比较过程)

x

(2)求y=cos2的导数.

3

附加题

6.如图:已知锐角∠AOB=2α内有动点P,PM⊥OA,PN⊥OB,且四边

9.已知数列a1,a2,···,an,···和数列b1,b2,···,bn,···,其中a1=p,

3.在平面直角坐标系内

,下列方程表示什么曲线?画出它们的图形.形PMON的面积等于常数c2.今以O为极点,∠AOB的角平分线OX

b=q,a=pa−,b=qa−+rb−(n⩾2),(p,q,r是已知常数,且

2x11

为极轴,求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线.1nn1nn1n1

̸

(1)−3y23

=0;q=0,p>r>0).

用表示并用数学归纳法加以证明

634

A(1)p,q,r,nbn,;

b

(2)求lim√n.

Mn→∞22

an+bn

P

OX

N

B

{

x=1+cosφ,

(2)

y=2sinφ.

20

5.以墙为一边,用篱笆围成长方形的场地,并用平行于一边的篱笆隔开(如8.求tan9◦+cot117◦−tan243◦−cot351◦的值.

1982普通高等学校招生考试(全国卷文)图).已知篱笆的总长为定值L,这块场地的长和宽各为多少时场地的面积

最大?最大面积是多少?

1.填表:

函数使函数有意义的的实数范围

√x

−2

1y=√x

2y=(−x)2

3y=10lgx

4y=lg10x

2.求(−1+i)20展开式中第15项的数值.

6.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a.

(1)用平面A1BC1截去一角后,求剩余部分的体积;

(2)求A1B和B1C所成的角.

9.如图,已知△AOB中,OA=b,OB=a,∠AOB=θ(a⩾b,θ是锐角).

作AB⊥OB,BABA;再作AB⊥OB,BABA;如此无限连

3.在平面直角坐标系内,表中的方程表示什么曲线?并画出它们的图形:1111222

续作下去.设△ABB1,△A1B1B2,···的面积分别为S1,S2,···,求无穷

数列S,S,···的和.

方程曲线名称图形12

O

14x2+y2=4

A2

B3

A1

B2

AB1

7.已知定点A,B且AB=2a,如果动点P到点A的距离和到点B的距离

之比为2:1,求点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.B

2x−3=0

1

4.已知x−y=,x2+y2=1,求x2−y2的值.

2

21

√

(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要11.如图,已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=42,过椭圆焦点F1作一

∠⩽

1983普通高等学校招生考试(全国卷理)从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.直线,交椭圆于两点M,N.设F2F1M=α(0α<π),当α取什么值

时,|MN|等于椭圆短轴的长?

M

α

1.两条异面直线,指的是()A1A2

F1F2

N

(A)在空间内不相交的两条直线sinαcos(α+φ)cosα

(B)分别位于两个不同平面内的两条直线计算行列式要求结果最简−8.():cosβsin(βφ)sinβ

.

(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线sinφcos2φcosφ

(D)不在同一平面内的两条直线

2.方程x2−y2=0表示的图形是()

(A)两条相交直线(B)两条平行直线

{}̸

(C)两条重合直线(D)一个点√√12.已知数列an的首项a1=b(b=0),它的前n项的和Sn=

9.(1)证明:对于任意实数t,复数z=|cost|+|sint|i的模r=|z|适合···⩾···

√a1+a2++an(n1),并且S1,S2,Sn,是一个等比数列,其

三个数不全为零的充要条件是4

3.a,b,c()r⩽2.公比为p(p≠0且|p|<1).

(A)a,b,c都不是零(B)a,b,c中最多有一个是零(1)证明:a2,a3,···,an,···(即{an}从第二项起)是一个等比数列;

(2)设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+···+anSn(n⩾1),求limWn(用b,

(C)a,b,c中只有一个是(D)a,b,c中至少有一个不是零n→∞

p表示).

4π

4.设α=,则arccos(cosα)的值是()

3

4π2π2ππ

(A)(B)−(C)(D)√√

3333(2)当实数t取什么值时,复数z=|cost|+|sint|i的幅角主值θ适

π

5.0.32,log0.3,20.3这三个数之间的大小顺序是()合0⩽θ⩽?

24

20.320.3

(A)0.3<2<log20.3(B)0.3<log20.3<2

20.30.32

(C)log20.3<0.3<2(D)log20.3<2<0.3

√√

6.(1)在同一平面直角坐标系内,分别画出两个方程y=−x,x=−y的

图形,并写出它们交点的坐标.

13.(1)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底数,证明:

10.如图,在三棱锥S−ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;ab>ba;

M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC,求

证:SC垂直于截面MAB.

(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.

S

M

(2)如果正实数a,b满足ab=ba,且a<1,证明:a=b.

ANC

D

B

7.(1)已知y=e−xsin2x,求微分dy.

22

(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组11.如图,已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内,∠ABC=60◦,

1983普通高等学校招生考试(全国卷文)内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.∠ACB=30◦,BC=24cm,A点在平面α内的射影为N,AN=9cm.

求以A为顶点的三棱锥A−NBC的体积(结果可以保留根号).

A

1.在直角坐标系内,函数y=|x|的图象()

(A)关于坐标轴、原点都不对称(B)关于原点对称C

(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称

1N

8.已知复数z=cosα+isinα,求证:z3+=2cos3α.

z3B

2.抛物线x2+y=0的焦点位于()α

(A)y轴的负半轴上(B)y轴的正半轴上

(C)x轴的负半轴上(D)x轴的正半轴上

3.两条异面直线,指的是()

(A)在空间内不相交的两条直线

9.在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形(如图),当矩形的长和12.一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数

(B)分别位于两个不同平面内的两条直线宽各取多少时,矩形的面积最大?求出这个最大面积.列;如果再把这等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成等比数列,

求原来的等比数列

(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.

(D)不在同一平面内的两条直线

α

4.对任何180◦<α<360◦,cos的值等于()

2

√√OR

1+cosα1−cosα

(A)(B)

22

√√

1+cosα1−cosα

(C)−(D)−

22

20.3

5.0.3,log20.3,2这三个数之间的大小顺序是()

−−

20.320.313.如图,已知两条直线L1:2x3y+2=0,L2:3x2y+3=0.有一动圆

(A)0.3<2<log20.3(B)0.3<log20.3<2

10.如图,地平面上有一旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上选一基线(圆心和半径都在变动)与L1,L2都相交,并且L1,L2被截在圆内的两条

20.30.32◦

(C)log20.3<0.3<2(D)log20.3<2<0.3AB,AB=20米,在A点处测得P点的仰角∠OAP=30,在B点处测线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程,并说出轨迹的名称.

∠◦∠◦

得P点的仰角OBP=45,又测得AOB=60,求旗杆的高度h(结y

6.在平面直角坐标系内,表中的方程表示什么图形?画出这些图形.果可以保留根号).

L1

方程x2+y2=2xx2−y2=0P

图形名称L2

•M

h

Ox

图形30◦

A

60◦O

45◦

20米

√

−2B

7.(1)求函数y=x+5log2(36x)的定义域.

23

1−2n1

10.求lim的值.17.求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹

n→∞3n+12

1984普通高等学校招生考试(全国卷理)方程.

1.数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k1)π,k是整数}之间

的关系是()

11.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节

⊆⊉

(A)XY(B)XY(C)X=Y(D)X=Y目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).

在△中∠∠∠所对的边分别为且

如果圆22与轴相切于原点那么18.ABC,A,B,Ca,b,c,c=10,

2.x+y+Gx+Ey+F=0x,()cosAb4

==,P为△ABC的内切圆上的动点.求点P到顶点A,

(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0cosBa3

B,C的距离的平方和的最大值与最小值.

(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0

1

3.如果n是正整数,那么[1−(−1)n](n2−1)的值()

8{

0,x⩽0,

(A)一定是零(B)一定是偶数12.设H(x)=画出函数y=H(x−1)的图象.

1,x>0,

(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数

4.arccos(−x)大于arccosx的充分条件是()

[]x2

π设给定数列{}其中n···

(A)x∈(0,1](B)x∈(−1,0)(C)x∈[0,1](D)x∈0,19.a>2,xn,x1=a,xn+1=−(n=1,2).

22(xn1)

√求证:

θ−θ−θ()xn+1···

5.如果θ是第二象限角,且满足cossin=1sinθ,那么()π(1)xn>2,且<1(n=1,2);

22213.画出极坐标方程(ρ−2)θ−=0(ρ>0)的曲线.xn

41

(A)是第一象限角(2)如果a⩽3,那么x⩽2+(n=1,2···);

n2n−1

(B)是第三象限角a

lg

(3)如果a>3,那么当n⩾3时,必有x<3.

(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角4n+1

lg

(D)是第二象限角3

6.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.

14.已知三个平面两两相交,有三条交线.求证:这三条交线交于一点或互相平

行.

220.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A,一动点P自切

7.函数log0.5(x+4x+4)在什么区间上是增函数?2

点A沿直线L向右移动时,取AC˜的长为AP,直线PC与直线AO交

3

̸−3π

15.设c,d,x为实数,c=0,x为未知数.讨论方程logcx+dx=1在什么于点M.又知当AP=时,点P的速度为v,求这时点M的速度.

(x)4

情况下有解,有解时求出它的解.

1M

8.求方程(sinx+cosx)2=的解集.

2

O

设̸实系数一元二次方程2−有两个虚数根再

16.p=0,z2pz+q=0z1,z2.C

设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2.求以Z1,Z2为焦点且经过原点

•l

()3的椭圆的长轴的长.AP

1

9.求|x|+−2的展开式中的常数项.

|x|

24

10.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节15.如图,经过正三棱柱底面一边AB,作与底面成30◦角的平面,已知截面三

1984普通高等学校招生考试(全国卷文)目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).角形ABD的面积为32cm2,求截得的三棱锥D−ABC的体积.

1.数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k1)π,k是整数}之间

的关系是()DB

(A)X⊆Y(B)X⊇Y(C)X=Y(D)X≠YC

−1

2.函数y=f(x)与它的反函数y=f(x)的图象()2

11.画出方程y=−4x的曲线.A

(A)关于y轴对称(B)关于原点对称

(C)关于直线x+y=0对称(D)关于直线x−y=0对称

√

13

3.复数−i的三角形式是()

2(2)()

ππππ

(A)cos−+isin−(B)cos+isin

3333

πππ5π

(C)cos−isin(D)cos+isin116.某工厂1983年生产某种产品2万件,计划从1984年开始,每年的产量比

333612.画出函数y=的图象.

(x+1)2上一年增长20%.问从哪一年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过

4.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的()

12万件(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771).

(A)一条直线不相交(B)两条直线不相交

(C)任意一条直线都不相交(D)无数条直线不相交

5.方程x2−79x+1=0的两根可分别作为()

(A)一椭圆和一双曲线的离心率(B)两抛物线的离心率

(C)一椭圆和一抛物线的离心率(D)两椭圆的离心率

−

6.已知函数log0.5(2x3)>0,求x的取值范围.

13.已知等差数列a,b,c中的三个数都是正数,且公差不为零.求证它们的倒

111

数所组成的数列,,不可能成等差数列.22−22−−

abc17.已知两个椭圆的方程分别是C1:x+9y45=0,C2:x+9y6x27=

0.

(1)求这两个椭圆的中心、焦点的坐标;

7.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)求经过这两个椭圆的交点且与直线x−2y+11=0相切的圆的方程.

8.已知实数m满足2x2−(2i−1)x+m−i=0,求m及x的值.

1

14.把1−sin22α−sin2β−cos4α化成三角函数的积的形式(要求结果最简).

4

(n2+1)+(n2+2)+···+(n2+n)

9.求lim的值.

n→∞n(n−1)(n−2)

25

√

8.求曲线y2=−16x+64的焦点.15.已知两点P(−2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为2的线段

1985普通高等学校招生考试(全国卷理)AB在直线L上移动,如图,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.

(要求把结果写成普通方程)

y

′′′′′

如果正方体−的棱长为那么四面体−的体665432

1.ABCDABCDa,AABD9.设(3x−1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,求

积是()a+a+a+a+a+a+a的值.P••Q

6543210y=x

a3a3a3a3

(A)(B)(C)(D)

2346

√

5Ox

2.tanx=1是x=π的()2B

4

A

(A)必要条件(B)充分条件

10.设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.

(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件

()

π•

3.在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间0,上的增函数又是以π

2M

为周期的偶函数()

√√√

2∈||∈

(A)y=x(xR)(B)y=sinx(xR)16.设an=1·2+2·3+···+n(n+1)(n=1,2···).

11.解方程:log(3−x)+log(3+x)=log(1−x)+log(2x+1).2

sin2x40.2540.25n(n+1)(n+1)

(C)y=cos2x(x∈R)(D)y=e(x∈R)(1)证明:不等式<a<对所有的正整数n都成立;

2n2

极坐标方程的图象是an1

4.ρ=asinθ(a>0)()(2)设bn=(n=1,2···),用定义证明:limbn=.

n(n+1)n→∞2

O•√

ax12.解不等式:2x+5>x+1.

O•

ax

(A)2(B)

17.设a,b是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},B=

{|2}{|22⩽}

•a(x,y)x=m,y=3m+15,m是整数,C=(x,y)x+y144

◦

•a13.如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一