全国硕士研究生入学考试数学二预测试卷和答案解析

绝密★启用前考生编号

姓名

2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）

预测试卷卷（一）

考生注意事项

1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在

答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考

生编号信息点。

2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答

案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的

答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。

3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚；

涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有f选项是符合题目要

求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置匕

(1)把当x->0时的无穷小量a=In(l+x2)-ln(l・x'),3=juniil.y=arctanx-x排列

起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序必

(A)u,p,Y制呻(0a,y,B(D)

⑵设f(x),g(x)二阶可导，又f(0)=0,g(0)=0,f(0)>0,g,(0)>0.令F(x)=

黑

(A)x=0是函数F(x)的极小值点。

(B)x=0是函数F(x)的极大值点，

(C)(0.F(0))是曲线y=F(x)的拐点但x=0不是F(x)的极值点.

(D)x=0不是函数F(x)的极值点，(0,F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点.

⑶设f(x)在(-w,+w)内二阶可导且F(x)>0,则Vx~),h]乂)加乂)，有

(A)4也二不二对“⑷

(B)…J…

(C)/."士空惧”二个!

(D)

r(I)>AL^A:1

(4)下列等式或不等式

①j>。,②J(&■tfOlM；■y)«

③设/U)■[*'*:-20超：f(xMx=0,④广4dlx0

I0.**0.

中正确的共有

(A)1个.(B)2个，(C)3个.(D)4个.

(5)下列函数中在区间卜2,3]上不存在原函数的是

■(I♦/)■/二c

1«1.■.0.

(A)小)..

-・・0・

(B)f(x)=max||xl,l}.

(C)/11)•,().«*0,

11H/n

jt<U•

数学二预测试卷卷(一)

I)

(D)/(«)■//(，)曲，其中■

(6)设f(x,y)有连续的偏导数且f(x,y)(ydx+xdy)为某一■函数u(x,y)的全微分，则下列等式成立的

是

(A)曳：更(B)生(C)-J曳2y曳(D).曳―更

dy也加加力力’所

⑺求二重积分:：J二|[i:»(li<K(r>=|(x,y)ll^x^^y^x^y^x).)的值等于

彻£(B)s

(C)A(D)

-2.]ri

⑼设4・032.1■0•1.已知A和B有一个公共特征向量n,并且特征值分别是

1和0,则

(A)a=-1,b=1.(B)a=l,b=0.

(C)a=l,b=-1.(D)a=0,b=..

(10)则下列矩阵中与A合同但不相似的是

1111

(B)131

111<

001

(D)000

100-

2预测试卷卷(一)数学二

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(11)数列极限/m

(12)

(13)微分方程(3y-2x)dy=ydx的通解是

(14)设f(x)在(0,+w)上连续，在(0,+)内可导，当x£(O,+x)时，f(x)X)且单调上升，

x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足(雪)QJ),则f(x)的表达

式是.

(15)设动点P(x,y)在曲线9y=4"上运动，且坐标轴的单位长度是1cm.如果P点横坐标的速率是

30cm/s,则当P点经过点(3,4)时，从原点到P点的距离r的变化率是

2300'

(16)已知A"一。°A'为A的伴随矩阵，叫JA

0020'4/

三、解答题：17〜22小题，共70分.•清将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说an

演算步骤.

(17)(本题满分13分)

(I)设f(x)在x=O的某邻域内有定义，且满足刈.盯514..0,求颂4

(II)求二重积分/-1心内其中D由星形线(二cir)与x轴围成.

{ly«»int

(18)(本题满分10分)

2424-2

已知yi(x)=xe4+e~,y2(x)=xe+xe,y;(x)=xe-J-e^xe是某二阶线性常

系数微分方程y"+py'+qy=f(x)的三个特解

(I)求这个方程和它的通解；

(H)设y=y(x)是该方程满足y(O)=O,y<O)=<)的特解，本厂.)di.

(19)(本题满分10分)

设D是曲线y=2x-x2与x轴围成的平面图形，直线y=kx把D分成为D1和D?两部分(如

图)，满足Di的面积Si与Dz的面积S2之比Si:S2=1：Z

数学二预测试卷卷(一)3

⑴求常数k的值及直线y=kx与曲线y=2x-x2的交点.

(II)求平面图形D1的周长以及D,绕y轴旋转一周所得旋转体

的体积.

(20)(本题满分11分)

设z=z(x,y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数,

⑴求z=z(x,y)一阶偏导数与驻点；

(11)求2=26,丫)的极值点和极值.

(21)(本题满分14分)

(I)设f(x)=4x3+3x2-6x,求f(x)在(-m.+m)的零点个数.

(II)设f(x)在［0,2］上连续，在(0,2)内具有二阶导数，且KO)F2)=O,f(l)=2.求证:

至少存在一点€e(0,2)使得r(5)=4

(22)(本题满分15分)

设a产(1,3,5,・D',a?=(2,7,a,4)M=(5,17,-1,7)\

(I)若5,线性相关，求a

(H)当a=3时，求与J,a2,4都正交的非零向量

(III)设a=3g是与aha2,a,都正交的非零向量，证明o„a2,a3,a,可表示任何•个4维向

量.

(IV)在Xi,X2,x;线性无关时，证矩阵C=(X1,x2,x;)记4阶实矩阵A=xx11+X2x2,+x3x;\求

二次型x'Ax的秩.

4预测试卷卷(一)数学二

考生编号

绝密★启用前

姓名

2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）

预测试卷卷（二）

考生注意事项

1.答题前，考生须在二式题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在

答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考

生编号信息点。

2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答

案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的

答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。

3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;

涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置匕

(1)ifl/i一:|<<b,/r।在x=O连续且满足g(x)=l+2x+o(x)(x-»0).乂F(x)=f[g(x)],

则F(0)=

(A)4e.(B)4.(C)2.(D)2e.

小♦!)■小马

⑵设Mx)是以3为周期的可导的奇函数，且(2)-1,则数列极限/-|一「

(A)O.(B)1.(C)2.(D)

(3)以y1=e'cos2x,丫2=。'sin2x与y?=e为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是

(A)y"+y"+3y'+5y=0.(B)y--y»+3y'+5y=0.

(C)y"+y,,-3y'+5y=O.(D)y"-yn-3y'+5y=O.

(4)设函数F(x,y)在(xo,yo)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x<),y0)=F(xo,yo)=0,F.(x0,

yo)>0.F".(xo.yo)<0.由方程F(x,y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x),它有连

续

的二阶导数，且y(x0)=yo,则

以。名极大值点.

(A)y(x)x=x(B)y(x)以x=x。为极小值点，

(C)y(x)在x=xo不取极值，(D)(x0,y(x0))是曲线y=f(x)的拐点,

(5)已知累次枳分/=心其中aX)为常数，则I可写成

(A)|(B)|di|/(».»)<1»,

■7•■了

(C)Jdi|(D)j小//(■,v)di

(6)设函数f(x)在[0,+。]内可导，且f(l)=2.若f(x)的反函数g(x)满足

|/(♦1)]/(Au♦I)■/AX♦I

则f(x)=

(A)2^(5-1)(B)^1.(C)e'-+l.(D)2e.

2预则试卷卷（二）数学二

则f(x)在(-a,rn)

(A)处处连续.(B)只有一个间断点且是第一类间断点.

(C)只有一个间断点且是第二类间断点.(D)有两个间断点

⑻己知方程组

广♦♦♦4=0

卜，♦H°，和Xi+*2+x3=a-1有公共解，则

1“♦4*,♦■0

(A)a*和2(B)a=l(C)a=l或2(D)a=2

⑼设A二卜2I，要使得A正定，a应该满足的条件是

(A)a>2.(B)a>2.(C)0<a<2,(D)a<0.

(10)n维向量组,d2，…对和(II)：3,B,等价的充分必要条件是

(A)r(l)=r(Il),并且s=t.

(B)r(I)=r(II)=n.

(C)r(I)=r(II),并且⑴可以用(II)线性表示.

(D)(I)和(II)都线性无关，并且s=t.

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共50分.请将答案写在答题纸指定位置上,

(11)为常数)，f(x)在定义域上仅有两个零点则常数a的取值范围是

(I♦3)

(12)设f(x)=arctan(l-x),且f(0)=().则〃U)心■

(13)设f(x)=(l+x+x2)c”m.则「(())=

(14)i,ii=J[//Ij)小卜11,其中f(1v)是连续函数，则dz=

(15)设D是以点为顶点的三角形区域，则

/■/>♦2*1♦Jy*.

r01o"ooirioof

(16)已知4=]000300II,则A』

*0op*0o川0o

数学二预测试卷卷(二)3

(17)(本题满分14分)

(I)设f(x)是(-，+Q)上的连续奇函数，且满足IRx)KM,其中常数M>0,求证：函

g、一|是(-，+x)上的有界奇函数.

(II)从抛物线y=x?-1上的任意一点P(t,2-1)引抛物线y=x?的两条切线，

求这两条切线的切线方程；并证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数。

(18)(本题满分11分)

计算二重积r/-||MU।y,其中D:O0x02%,xR£2兀.

O

(19)(本题满分11分)

求RxyzTx+y-z2^在区域Q昼斗丫2+把2上的最大值与最小值，

(20)(本题满分12分)

设有一容器由平面z=0,^l及介于它们之间的曲而S所围成.过z轴上V点(0,0,z)(0£z

W1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径电)=4(l-z)斗的

圆面.若以每杪V。体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设外始时容器是空的.

(I)写出注水过程中1时刻水面高度z=z(。与相应的水体积V=V⑴之间的关系式，并证明

水面高度z与时间t的函数关系：

-rx4(x>I)♦IE—l：

3«

(n)求水表面上升速度最大时的水面高度；

(HD求灌满容器所需时间.

(21)(本题满分10分)

设f(x)在(-，+。)一阶可导，求证：

(1)若"x)在(-w,+)是凹函数，则k4，)・♦■或>■»/<X)=♦«.

(II)若f(x)在(-x,+m)二阶可导，又存忘应限ha/b)./hm/(•>=%则存在2W

G,+x),使得『⑸=0.一’

(22)(本题满分15分)

已知A是3阶矩阵，Q。各。,是线性无关的3维列向量组，满足

Aui=-Q]-3a2-3a?,

Aa2=4cti+4a2+a3,

Aa、=-2a,+3a

(I)求A的特征值.

(H)求A的特征向量，

(HD求A'-6E的秩.

预测试卷卷(二)数学二

绝密★启用前考生编号

姓名

2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）

预测试卷卷（三）

考生注意事项

1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在

答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考

生编号信息点。

2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答

案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的

答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。

3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚；

涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

一选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上，

(1)下列命题

①若f(x)在x=xo存在左、右导数且r(xoNf(Xo),则f(x)在X=Xo处连续

②若函数极限=/,则数列极限=4

③若数列胧I小八>-I-「Ln-I,则函数极限>''I

④lim/<»I■<1)不存在，则।waI)不存在

中正确/名数是'i

(A)1个.⑻2个.(C)3个，(D)4个.

⑵定积分Jarrtam、1'dx的值等于

(A)兀.(B)(C):(D)

⑶设嚏/U)则下列结论正确的是⑷

I<<0,

f(X)有间断点.

(B)f(x)在(-，+x)上连续，但在(-m,+a)内有不可导的点.

(C)f(x)在(-，+a)内处处可导，但r(x)在(-a,+x)上不连续.

(D)f(x)在(-m,+a)上连续.

(4)设/「「—/x「4,则

#•1tinx

(A)I2>I>1.(B)I>I>I.(C)l>I2>1.(D)1>I>L

(5)微分方程y”-4y±2cos22x的特解可设为

(A)AX+B,COS4X+B2sin4x(B)A+B,CO<4X+B2sin4x.

2

(C)B,COS2X+B2siM2x.(D)B,COS4X+B2sin4x,

(6)设f(x),g(x)均有二阶连续导数且满足f(0)>0,f(0)=0,g(0)=0,则函数u(x,y)=

f(nJ<(i)d在点(0,0)处取极小值的一个充分条件是

(A)f'(0)>0,g'(x)<0(0<x<li.

(B)f'(0)<0,g'(x)>0(0<x<l).

(C)f'(0)>0,g'(x)>0(0<x<l).

(D)f'(0)<0,g'(x)<0(0<x<li.

(7)已知曲线y=y(x)在宜免坐标系中由参数方程给出：x=t+e,,y=2t+e-2(t>0),则y=y(x)

在(1,+)的升降性与凹凸性是：

(A)单调上升且是凹的.(B)单调上升且是凸的.

(C)单调下.降且是凹的.(D)单调下.降且是凸的.

2预测试卷卷(三)数学二

(8)已知A和B都是n阶矩阵，使得E+AB可逆则()成立.

(A)(E+AB)A(E+AB)*=A(B)(E+AB)-B(E+AB)=B

(C)(E+AB)'A(E+BA)=A(D)(E+AB)'A(E+BA)=B

(9)设m,n12J|；为3个n维向量，AX=O是n元齐次方程组。则()正确.

(A)如果n,,n,都是AX=o的解，并且线性无关，则run2,为AX=O的一个基础解系.

(B)如果m,mj|；都是AX=O的解，并且r(A尸n-3,则m,r)2R；为AX=O的一个基

础

解系.

(C)如果。】山2,等价于AX-0的个基础解系.则它也是AX-O的基础解系.

(D)如果r(A)=n-3,并且AX=O每个解都可以用m,mz„线性表示，则m［，屯为

AX=0的一个基础解系.

(10)下列矩阵中不相似于对角矩阵的是

I00-riII-1IIrI-12

(A)02«⑻(C)2229).|01

Lo03-133a

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(11)设y=f(x)二阶可导，f(x)R,它的反函数是x=(p(y),又£0尸】丁(0尸也,『(0尸

T，!叫一;"(Ui=_______-

(12)设n为正整数，喘|“仙.|<l.«_______

(13)lim,n।*小二

(14)设f(x,y)为连续函数,Jft/lji.y)・产卜」八，j&do,其中Diu^+vW^aX)),则

f(x,y)=________

(15)设氏x,y)有二阶连续偏导数，=£♦)，则Kx,y)=

31九加

(16)已知A是3阶矩阵，A的特征值为1,-2.3.则(A)的特征值为

演算步骤.

(17)(本题满分10分)

一质量为M、长为1的均匀杆AB吸引着一质量为m的质点C,此质点C位于杆AB的中垂线匕

且与AB的距离为&试求：

数学二预测试卷卷（三）3

(I)杆AB与质点C的相互吸引力.

(1I)当质点C在杆AB的中垂线上从点C沿y轴移向无穷远处时，克服用力所做的功,

(18)(本题满分10分)

设u=f(2x+3y,z),其中f具有二阶连续偏导数，而z=26,”是由方程；，*|口-］；'山：

确定并满足z(0,0)=l的函数，求，结果用式0,1),门0,1)表示(i,j=l,2).

(19)(本题满分15分)

⑴设有I=|r'<h(>€<-x.♦®)),它的反函数是y="x),求y=y(x)的定义域及

拐点.

(H)计算二重积分，coa'iia/♦y),&>,其中D=|(x,y)|x2+y2Wa2,常数a>0}.

(20)(本题满分12分)

・子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为v。,穿出铁板时的速度为I,以子弹入射铁板时为起

始时间，又知穿透铁板的时间为h.子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数k>0.

(I)求子弹在铁板内的运动速度v与时间I的函数关系p=v(l);

(II)求铁板的厚度，

(21)(本题满分11分)

设f(x)在［a,b］上有二阶导数,且f'(x)〉O.

(I)证明至少存在一点5e(a.b),使

(H)对(I)中的5£(a,b),求

limf

(22)(本题满分15分)

设a1,a2......a,都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=«ia'+a2a2+

…+3^£①证明A是实对称矩阵；

(H)证明A是负惯性指数为0;

(III)设r(a】#2，…a尸k,求二次型X'AX的规范形.

4预测试卷卷(三)数学二

绝密★启用前考生编号

姓名

2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）

预测试卷卷（四）

考生注意事项

1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在

答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考

生编号信息点。

2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答

案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的

答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。

3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚；

涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

则点x=O是g(f(x))的

_._］X才0

(A)可去间断点.(B)跳跃间断点.

(C)连续点.(D)第二类间断点.

(2)在反常积分

中收敛的是

(A)①，②.(B)①，③.(C).②，④.(D)③，④.

⑶设f(xo)=0%xo)<0,则必定存在一个正数6，使

得(A)曲线y=f(x)在(X。-5,x0+8)上是凹的.

(B)曲线y=f(x)在Go-8,xo+8)上是凸的，

(C)曲线y=f(x)在(xo£xo)上单调减少，而在［xo,Xc+G)上单调增加.

(D)曲线y=f(x)YE(xo-d,xo)上单调增加，而在［xo,Xq+6)上单调减少.

(4)设函数出x)连续，除个别点外二阶可导，其导函数y=f(x)

的图像如右图⑴，令函数y=f(x)的驻点的个数为p,极值

点的个数为q,曲线y=f(x)拐点的个数为r,则

(A)p=q=r=3.

(B)p=3,q=r=2.

(C)p=3,q=2,r=3.

(D)p=3,q=2,r=l.

(5)下列二元函数在点(0,0)处可微的是

i1♦?■o.

2预测试卷卷(四)数学二

(6)设D是由直线x=O,y=O,x+y=l在第一象限所围成的平面区域，=|卜'句垢=

(A)e+I.(B)e-l.(C)2-±J(D)2_zJ

(7)已知由参数方■广”."皿*,确定了可导函数y=f(x),则

(A)x=0是函数f(x)的极大值点.

(B)x=0是函数f(x)的极小值点，

(C)x=0不是f(x)的极值点且在x=0邻域单调上升，

(D)x=0不是f(x)的极直点且在x=0邻域单调下降.

(8)二次型J♦31；♦24♦2d”,可用可逆线性变量替换化为2yL3y2+5y),则

(A)a46(B)a%6(C)a2>6(D)a2<6

(9)3阶实对称矩阵A相似于矩阵024,人是实数.则A2+A+1E是正定矩阵的充分必要条

I。00I」

件是

(A)X>0.(B)X>-1.(C)X>-12.(D)X2-1.

(10)已知向量组aha2,a;和B,,B2,B3,B,都是4维实向量，其中Ka】，a2,a3)=2邓j,陀，隹,p4)

>1,并且每个B与ai,a2,a3都正交.则r他，02,0邛4)=

(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.

二、填空题：11〜16小题，每小题G分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1，)设函数⑻在x=i处二阶可导，又色勺.7,则式3——,r(D=

(12)已知困数y(x)可微(x>0)且满足方程

山…・»呼.平卜(x>0)

贝Jy(x)=_________

(13)ift皿筑卜y,则F(x尸

(14)已知当x>0与y>OF则函数f(x,y)在点(x,y)=(l.I)处

的全微分dflu=

(15)设丫=皿乂则丫(")=

(16)已知ai=(l,2,T)',a2=(1,-3,2)',a；=(4,11,-6)*.矩阵A满足Aa】=(0,2)',Aa2

=(5,2儿Aa,=(-3,7),则A=

数学二预测试卷卷(四)3

三、解答题

演算步骤

(17)(本题满分10分)

22

设有抛物线Ci:x2=ay和圆C2:x+y=2y.

(I)确定a的取值范围，使得Ci,Cz交于三点0,M,P(如图)；

(H)求抛物线C,与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值：

(III)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体

体积V.

(18)(本题满分13分)

♦酎♦IO[9'lit

(I)已知极限I=hm-------------一一.一求常数3,c.

・9*

(II)求累次积|<l»|rilt♦|<h|rill

(19)(本题满分10分)

设u=u(x,y)在全平面有连续偏导数，

(I)作极坐标变换x=rcos0,y=rsin。求:与,的关系式：

(II)若*弛♦J".()(V(x,y)),求证：u(x,y)=u(0,0)为常数,

初

(20)(本题满分11分)

设xOy平面第一象限中有曲线T:y=y(x),过点A(0,A/2-l)*(x)>0.又M(x,y)为T上

任意一点，满足：弧段AM的长度与点M处T的切线在x轴上的截距之差为&-L

(I)导出尸y(x)满足的积分、微分方程.

(II)导出y(x)满足的微分方程和初始条件.

(山)求曲线T的表达式.

(21)(本题满分14分)

(I)设f(x)在(a+w)可导且hm/*(«)=｛求证：

若A>0,则InnriIs♦■

若A<0.则Imifl»-®.

••・・

(II)设n为非负整数，求定积分，|fln-fdt

(HI)设g(x)在(a,十a)连续，|[|《t心收敛，又im11=，求证

1=0.

(22)(本题满分12分)

设J,a2，a,都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记丫=Q〔+a2+a

(I)证明y.AyA2/线性无关，线性相关。

(II)设a1,a2,a3的特征值依次为1,T,2,记矩阵B=(y,Ay,A〃y),芹A，y,求解线性方

程

组BX=0.

J及T-T-^r测j.11—试卷卷(/四rm)\

考生编号

绝密★启用前

姓名

2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）

预测试卷卷（五）

考生注意事项

1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在

答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考

生编号信息点。

2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答

案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的

答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。

3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;

涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

⑴山则工产为..(•)•£—“小，则当x-0时f(x)是g(x)的

(A)高阶左穷小.•(B)低阶无穷小.

(O同阶而非等价无穷小，(D)等价无穷小，

0<1<，

⑵i段/U)*F(x)在［0,2］上

I»•1.I<B<2.

(A)有界，不可积.(B)可积，有间断点，

(C)连续，有不可导点.(D)可导，

(3)设函数f(x)在区间(T,1)内二次可导，已知f(0)=0,f(0)=l,且『(x)<0当x£(-1,l)

时成立，则

(A)当x6(T,0)时f(x)>x,而当x£(0,1)时f(x)〈x.

(B)当x£(-1.0)时f(x)<x,而当x任(0.1)时f(x)>x.

(C)当x£(-l,0)与xG(O.l)时都有f(x)>x.

(D)当xc(-1,0)与20,1)时都有f(X)VX.

(4)在x=0处二阶导数存在，则常数a,b分别是

le,♦.a>0,

(A)a=l.b=l.(B)Bs|Js1

(C)a=1,b=2.(D)a=2,b=I,

⑸数列极限/.H.[山「•________.

I■■J

(A)1.(B)e.(C)e*.(D)e*.

设u(x,y)在Mo(xow)取极小值，并」心*、号程均座,则

(6)

(A)等心。笔1"“⑻

宇>0,竽>0.

5.0,坐”

(C)等处»。,普・。,(D)

⑺函数F(t)=[■■・■c(一•.♦•J)的值域区间是

(1.短)yi

(A)(0,+u)(B)0.I

O.；-3，dJ

(C)(0,X(D)

2预测试卷卷(五)数学二

(8)设A是n阶可逆矩阵，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩阵，则

(A)把A-'第2行的3倍加到第4行上得到B：

(B)把A-第4行的3倍加到第2行上得到B-.

(C)把A・第2行的-3倍加到第4行上得到

(D)把A'第4行的-3倍加到第2行上得到IT，.

⑼设4阶矩阵A=(a1所值,aa4),已知齐次方程组AX=O的通解为c(l.21,0)：c任

意.则下列选项中不对的是

(A)a1,a2,a3线性相关.(B)如短线性无关.

(C)a1,a2,a4线性无关.(D)a;^2。4线性相关.

(10)已知3元二次型x7Ax的平方项系数都为0,又它的矩阵A满足Ax=2x,其中x=(l,2,T)',

则X，Ax的规范形为

22222

⑴产92+y;2.(B)y¥y2—2.(C)y-y-y.(D)y+y2.

二,填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(11)设八■)=广小则F(x)的定义域是

(12)设曲线T的极坐标方程为则T在点(学,/)处的法线的宣角坐标方程是

(13)设u=u(x,y)满足二♦人・I,则u(x,y)=_______.

<ta

(14)曲线y=x101)的全部渐近线方程是_____

(15)设有摆线x=4(D=t-sint,y=w(l)=l-cosK0SH27t)的第一拱L、则L绕x轴旋转

一周所得旋转面的面积0=

5。r

(16)设实对称矩阵A.5?要使得A的正，负惯性指数分别为2,1,则a满足的条件是

三、解答题：17〜22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

(17)(本题满分11分)

设函数f(x)在(0,+a)内可导，/(,)卜'，且

回旭霜f1.严铲，e(o,+m)

数学二预测试卷卷(五)3

(I)求f(x);

(II)定义数列1.-［［(，)也,证明数列｛X。I收敛.

(18)(本题满分11分)

设1Wa<b,函数f(x)=xln2x,求证f(x)满足不等式

(I)0<f,(x)<2(x>l).

।n)/t«)*/(s)-。'

(19)(本题满分11分)

(I)设z=z(x,y),y>0有连续的二阶偏导数且满足

al打±且

*7寸2

作变换u=x-2/y,v=x+2/y,

(H)求方程的解.

(20)(本题满分14分)

(Dif//.«.-|'(,，出.求函数f(x)的单调性区间与正、负值区间.

(II)设阳)