华东师大版八年级数学下册举一反三专题特训专题193正方形的性质与判定【十大题型】(原卷版+解析)

专题19.3正方形的性质与判定【十大题型】

【华东师大版】

”幺国防力

【邈型1正方形的性质（求角的度数）】.........................................................1

【题型2正方形的性质（求线段的长度）】.......................................................3

【题型3正方形的性质（求面积、周长）】.......................................................4

【题型4正方形的性质（探究数量关系）】.......................................................5

【题型5判定正方形成立的条件】...............................................................9

【题型6正方形判定的证明】...................................................................11

【题型7正方形的判定与性质综合】............................................................15

【题型8探究正方形中的最值何题】............................................................19

【题型9正方形在坐标系中的运用】............................................................20

【题型10正方形中的多结论问题】.............................................................22

【知识点1正方形的定义】

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

【知识点2正方形的性质】

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角

线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.④两条对角线将正方形分

成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

【题型1正方形的性质（求角的度数）】

【例1】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形A3co中有一个点£,使三角形4星是正三角形，

求：（I）NZME的大小

（2）NAEO的大小.

AD

B

【变式1-1］如图，已知正方形/WCZ）在直线MN的上方，3c七直线VN上，£足。C上一点，以A£为边

在直线MN上方作正方形AEFG.

（1）连接G。，求证：/XADG^/XABE-,

（2）连接/C,观察并猜测/FCN的度数，并说明理由.

【变式1-2]（2022•武威模拟）如图，在正方形A8C。中，点E是对角线AC上的一点，点F在的延

长线上，且EF交CD于点、G.

（1）求证：DE=EF；

（2）求NOE/的度数.

【变式1-3]（2022春♦新市区校级期末）如图，在给定的正方形人8CQ中.点E从点A出发.沿边AC方

向向终点。运动，。/_LAE交AB于点F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,则NOFE+

NEPC的度数的变化情况是（）

A.一直减小B.一直减小后增大

C.一直不变D.先增大后减小

【题型2正方形的性质（求线段的长度）】

[ft2]（2022春•牡丹江期末）如图，正方形A8CO的边长为10,点E,尸在正方形内部，AE=CF=S,

BE=DF=6,则线段E尸的长为（)

A.25/2B.4C.4-V2D.4+V2

【变式2-1］（2022春•巴南区期末）如图，四边形A8CD是边长为4的正方形，点石在边C。上，且DE

=1,作Er〃4c分别交AC、八4于点G、F,P、，分别是4G,BE的中点，则P"的长是（）

【变式2-2］（2022•越秀区一模）将正方形A8CD与正方形8EFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直

线上，已知8G=VL8c=3,连接ORM是。厂的中点，连接AM,则AM的长是（）

A.手B.V3C.苧D.1

【变式2-3］（2022春•吴中区校级期末）如图，在正方形ABC。中，4B=4通.E、尸分别为边48、BC的

中点，连接4F、DE,点N、M分别为A尸、。月的中点，连接MM则MN的长度为.

【题型3正方形的性质（求面积、周长）】

【例3】（2022春•郸州区期末）有两个正方形A,B.现将8放在A的内部得图甲，将A,8构造新的正方

形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,若三个正方形4和两个正方形B得图丙，则

羽影部分的面积为（）

A.28B.29C.30D.31

【变式3-1］（2022春•工业园区校级期中）如图，四边形A8CD为正方形，。为AC、8。的交点，△OCE

为RtA,NCED=90°,OE=2五,若CE・DE=3,则正方形ABC。的面积为（)

A.5B.6C.8D.10

【变式3-2］（2022•台州）如图，在正方形A8CQ中，48=3,点E,尸分别在CQ,AZ）上，CE=DF,BE,

CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形4BCO的面积之比为2：3,则ABCG的周长为.

【变式3-3］（2022•江北区一模）如图，以RtZXABC的各边为边分别向外作正方形，ZBAC=90°,连结

DG,点，为。G的中点，连结，B,HN,若要求出的面积，只需知道（）

A.△4BC的面积B.正方形AOEB的面积

C.正方形人CFG的面积D.正方形BNMC的面积

【题型4正方形的性质（探究数量关系）】

【例4】（2022秋•中原区校级月考）如图，线段AB=4,射线BG_LA8,。为射线8G上一点，以4。为边

作正方形APCQ,且点C、。与点3在AP两侧，在线段DP上取一点£,使NE4P=N/MP,直线

与线段A8相交于点尸（点尸与点A、8不重合）.

（1）求证：XAEP沿IXCEP、

（2）判断Cb与A3的位置关系，并说明理由;

（3）请直接写出△AEF的周长.

【变式4-1]（2022春•雁塔区校级期末）在正方形ABC。中，NM4N=45°,该角可以绕点人转动，Z

M4N的两边分别交射线C3,DC于点M,N.

（1）当点M,N分别在正方形的边CB和。C上时（如图1）,线段8M,0MMN之间有怎样的数量

关系？你的猜想是：，并加以证明.

（2）当点M,N分别在正方形的边CB和。C的延长线上时（如图2）,线段BM,DN,MN之间的数

量关系会发生变化吗？证明你H勺结论.

B

图1图2

【变式4-2](2022春•莆田期末)如图，已知正方形/WCQ中，E为C4延长线上一点，HBE=AB,M、

N分别为4£、4c的中点，连DE交AB于()，MN交,ED于H点、.

(1)求证：AO=BO\

(2)求证：/HEB=/HNB；

(3)过A作4P_LED于P点，连8P,则三善的值.

rn

【变式4-3](2022春♦鼓楼区校级期中)如图，正方形"CO的对角线相交于点O.点七是线段。。上一

点，连接C£.点F是NOCE的平分线上一点，且3凡LCF与CO相交于点G.点H是线段。£上一点,

且CO=CH.

(1)若。尸=5,求F”的长；

(2)求证：BF=OH+CF.

G

BC

【知识点3正方形的判定】

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

【题型5判定正方形成立的条件】

【例5】（2022春•海淀区校级期中）已知四边形4BC。为凸四边形，点M、N、P、。分别为人8、BC、CD、

。人上的点（不与端点重合），下列说法正确的是—（填序号）.

①对于任意凸四边形A8C。，一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③如果四边形A4CO为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；

④如果四边形A8CO为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形.

【变式5-1]（2022春•岳麓区校级月考）如图，E、尸、G、”分别是A8、BC、CD、D4的中点.要使四

边形EPG〃是正方形，BD、AC应满足的条件是

【变式5-2]（2022春•汉寿县期中）如图，在。ABCD中，对角线AC与BZ）相交于点。，点E,尸在4C

上，且OE=OF,连接。E并延长至点M,使OE=ME,连接Mr,DF,BE.

（I）当。/=M5时，证明：四边形b是矩形;

（2）当△QMF满足什么条件时，四边形EM8/是正方形？请说明理由.

M

【变式5-3]（2022春•沛公期中）已知在△八8c中，。为边BC延长线上一点，点。是边AC上的一个动

点，过O作直线MN〃8C,设MN与NBCA的平分线相交于点七，与NACQ的平分线相交于点F.

（1）求证：OE=OF；

（2）试确定点。在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明.

（3）在（2）的条件下，且△A8C满足条件时，矩形AECV是正方形？.

O

D

【题型6正方形判定的证明】

【例6】(2022春•虹II区期末)如图，在四边形ABCO中，AB//CD,AD=CD,£是对角线6。上的一点,

且AE=C£.

(1)求证：四边形A8CD是菱形；

(2)如果月.N4BE=2NQCE,求证：四边形4BC。是正方形.

BC

【变式6-1]（2022春♦宜城市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC,过点D作DE

与3C的延长线交于点£,连接4E交。C于?

（1）求证：BC=CEx

（2）连接8凡若/DAF=NFBE,且AO=2CF,求证：四边形A8CO是正方形.

【变式6-2](2022秋•市南区期末)已知：在平行四边形人8CD中，分别延长射，0c到点区H,使得

BE=2AB,DH=2CD.连接EH,分别交AO,8c于点凡G.

(1)求证：AF=CG；

(2)连接8。交于点0,若EHLBD,则当线段48与线段A。满足什么数量关系时，四边形8EO"

是正方形？

H

【变式6-3]（2022•上海）已知：如图，四边形人4c。中，AD//BC,AD=CD,E是对角线BO上一点,

（1）求证：四边形A8CD是菱形；

（2）如果BE=BC,且NC8E：ZBCE=2：3,求证：四边形4BCO是正方形.

【题型7正方形的判定与性质综合】

【例7】(2022•威海)如图1,在正方形八BCD中，E,F,G,，分别为边AB,BC,CD,DA上的点，

HA=EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O.

(1)如图2,连接E兄FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论：

(2)将正方形A8CO沿线段EG,剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形.若

正方形ABCO的边长为3o小HA=EB=FC=GD=\cm,则图3中阴影部分的面积为car.

【变式7-1】（2022•萧山区模拟）如图，P为正方形ABCQ内的一点，PAHD,°PBEA,°PCFB,°PDGC,

请证明：以E,F,G,，为顶点的四边形是正方形.

F

【变式7-2］（2022•萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形4BCO的对角线AC与BO相交于点。，若

NCAD=NDBC.

（1）求证：四边形ABCO是正方形.

（2）E是OB上一点、,BE=1,且O〃_LCE,垂足为〃，。〃与OC相交于点F,求线段OF的长.

BC

【变式7-3]（2022春•潜山市期末）如图，已知四边形ABC。为正方形，AB=3位,点石为对角线4c上

一动点，连接。巴过点E作EF_LOE,交于点F,以。E、石尸为邻边作矩形。石FG,连接CG.

（1）求证：矩形。EFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【题型8探究正方形中的最值问题】

【例8】（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，在正方形人8CO中，M,N是边人8上的动点，且AM=8N,

连接M。交对角线AC于点£连接8七交CN于点凡若A5=3,则4b长度的最小值为.

【变式8-1］（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCZ）的边C。上的两个动点，满足AM=BM连

接AC交用V于点E,连接DE交AM于点F,连接C凡若正方形的边长为2,则线段CF的最小值是（）

A.2B.1C.V5-ID.V5-2

【变式8-2］（2022•青山区模拟）已知矩形ABC。，AB=2,AD=4AB=S,E＞为线段AO上一动点，以CK

为边向上构造正方形CE尸G,连接3凡则8户的最小值是

【变式8-3］（2022•员阳区模拟）如图，PA=242,4疝，以A0为边作正方形AZ7CZ）,使得7\。两

点落在直线A8的两侧，当NAPB变化时，则以）的最大值为

【题型9正方形在坐标系中的运用】

【例9】（2022春•市中区期末）在平面直角坐标系中，对于两个点P、Q和图形W,如果在图形W上存在

点M、N（M、N可以重合）使得尸M=QV,那么称点〃与点Q是图形W的一对平衡点.已知正方形的

边长为2,一边平行于x轴，对角线的交点为点。，点。的坐标为（2,0）.若点E（x,2）与点。是

正方形的一对平衡点，则大•的取值范围为（）

4

3

2

r—b—

-1——I---------------------------——

.3-2-[O234丫

」一

A.-3«B.-4WxW4C.-2WxW2D.-5WxW5

【变式9-1］（2022秋•永新县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形A8OT的顶点坐标分别是4（-2,

0）、B（0,-2）、C（2,（））、D（0,2）,求证：四边形A8CO是正方形.

【变式9-2]（2022春•顺城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OC：yOC=3x与直线AC：

yAC=-x+8相交于点C（2,6）.

（1）点M从点。出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长

度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发.分别过点M,N作x轴的垂线，分别交直线OC,AC于点P,

。，请你在图1中画出图形，猜想四边形PMNQ的形状（点做，N重合时除外），并证明你的猜想；

（2）在（1）的条件下，当点例运动秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）.

【变式9-3](2022•河南模拟)如图，正方形Q48C中，点A(4,0),点。为AB上一点，且BO=1,

连接O。，过点C作CE_LOO交。4于点七，过点。作MN//CE,交x轴于点M,交BC于点、N,则点

•W的坐标为()

A.(5,0)B.(6,0)C.(―,0)D.(―,0)

44

【题型10正方形中的多结论问题】

【例10】(2022春•慈溪市期末)如图，正方形A8CO中，点P为8。延长线上任一点，连结附，过点P

作尸£_1_附，交BC的延长线于点E,过点E作E/UBP于点F.下列结论：(1)%=PE；(2)BD=

2PF；(3)CE=V2PD；⑷若BP=BE,则尸产二(&+1)0凡

其中正确的个数为()

【变式10-1】(2022春•渝中区校级期中)如图，正方形48CO的边长为“，点E在边A8上运动(不与点

A,8重合），ND4M=45°,点尸在射线AM上，EAF=41BE,C”与A。相交于点G.连接EC、EF、

EG.下列结论：①/ECF=45>：②△AEG的周长为（1+孑）a；③8层+。62=反落④当G是线段AZ）

的中点时，BE=\a.正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式10-2】（2022秋•三水区月考）如图，正方形A8CO中，在AO的延长线上取点£,F,使。E=4O,

DF=BD,连接分别交CD,CE于II,G,下列结论：①〃〃=2〃G；②NGO〃=/G〃£>；③图中有8

个等腰三角形；④SMDG=SZ）RF,其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式10-3】（2022春•玉林期末）如图，正方形A8CD中，点£在边CO上，过点A作交CB的

延长线于点八连接EF，AG平分/项E,AG分别交8C、EF于点G、H,连接EG、DH.则下列结论

中：①BF=DE；②NEGC=2/B4G；®AD+DE=V3DW：④DE+BG=EH；⑤若。E=CE,则CE：CG：

EG=3：4：5,其中正确的结论有.

专题19.3正方形的性质与判定【十大题型】

【华东师大版】

型

题

I正方形的性质（求角的度数）】...............................................................1

型

题

2正方形的性质（求线段的长度）】............................................................3

型

题

3正方形的性质（求面积、周长）】............................................................4

型

题

4正方形的性质（探究数量关系）】............................................................5

型

题

判定正方形成立的条件】.....................................................................

型

题59

正方形判定的证明】.........................................................................

型

题611

正方形的判定与性质综合】..................................................................

型

题715

型

题8探究正方形中的最值问题】..................................................................19

型

题9正方形在坐标系中的运用】..................................................................20

10正方形中的多结论问题】...................................................................22

”2片，?三

【知识点1正方形的定义】

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

【知识点2正方形的性质】

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分,

并且每条对角线平分一组对角；③止方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性

质.④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图

形，有四条对称轴.

【题型1正方形的性质（求角的度数）】

【例I】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形A8CO中有一个点E,使三角形BCE是正

三角形，

求：（1）NBAS的大小

（2）N4E。的大小.

【分析】（1）根据正方形的性质和正三角形的性质、以及角的和差关系可求NAB£的度

数，再根据等腰三角形的性质可求N84E的大小；

(2)根据正方形的性质得到/£4。=15°,同理，ZADE=\5°,再根据三角形内角和

定理可求NAE。的大小.

【解答】解：(1)因为四边形A8C。为正方形，

所以4B=8C,NA8C=NBAO=90°,

因为AKBC是正三角形，

所以/石BC=60°,BE=BC=EC,

所以NA8E=30°,AB=BE,

所以NBAE=NAE8=(180°・/ABE)4-2=150°+2=75°.

(2)因为N8AE=75°,

所以NE4D=90°-ZEAB=15°,

同理，ZADE=15°,

所以/A£O=1800-ZE4D-ZADE=\^(r-15°-15°=150°.

【变式1-1］如图，已知正方形ABC。在直线MN的上方，8。在直线MN上，E是上一

点，以AE为边在直线上方作正方形AEFG.

(1)连接G。，求证：AADG^/XABE：

(2)连接尸C,观察并猜测//CN的度数，并说明理由.

【分析】(I)利用正方形的性质及SAS定理求出△AOGgZUBE,再利用全等三角形的

性质即可解答；

(2)过户作/77_LMN于”，根据正方形及直角三角形的性质可求出凡根

据三角形全等可求出/汨="F,AB=EH,通过等量代换可得C〃="7,利用等腰直角三

角形的性质即可解答.

【解答】(1)证明：

*/四边形ABCD.AEFG都是正方形，

：.AB=ADfAE=AG,N84O=NE4G=90°,

/.Zl+Z3=90°,Z2+Z3=90°,

即N1=N2,AAADG^AABE；

(2)解：N产CN=45°,

理由如下：

过尸作"/_LMN于H,则/石〃/=90。，

•・•四边形ABC。、AEFG都是正方形，

••・AB=BC,AE=EF,NA8E=NAE尸=90°,

・・・N1+N4=9O",Z4+Z5=90°,

AZI=Z5,

又•：/ABE=NEHF=90。,

・•・LABE出AEHF,

:・BE=HF,AB=EH,

:・BC=EH,

:・HC=BE,

・•.在RtZXCW，中，CH=FH,

:•4FCN=/CFH=A寸.

在正方形人BCO中，点E是对角线AC上的一点,

点尸在BC的延长线上，且EF交CD于点、G.

（1）求证：DE=EF；

【分析】（1）证明△SCE四△OCE,可得结论;

（2）结合（1）根据正方形的性质即可解决问题.

【解答】（I）证明：•••四边形人8CO是正方形,

:・BC=DC,/BCE=/DCE,

在△8CZ.和△。。£中,

(BC=DC

l^BCE=乙DCE,

(CE=CE

:.ABCE坦4DCE(SAS),

:・BE=ED,

,:BE=EF,

：.DE=EF；

(2)解：•・•四边形/WCO是正方形，

；・/DCB=NDCF=90°,

：,ZF+ZFGC=90a,

♦：ABCE出ADCE,

：,NCBE=NCDE,

•:BE=EF,

：.ZCBE=ZF,

:.NF=/CDE,

•：4FGC=4DGE,

：.ZCDE+ZDGE=90°,

:・NDEF=9()°.

【变式1-3](2022春•新市区校级期末)如图，在给定的正方形4BC。中，点七从点8出

发，沿边8c方向向终点。运动，DFLAE交AB于点凡以FD,F£为邻边构造平行四

边形DFEP,连接CP,则NQPE+NEPC的度数的变化情况是()

A.一直减小B.一直减小后增大

C.一直不变D.先增大后减小

【分析】根据题意NQFE+NEPC=/OPC,作PHLBC交BC的延长线于H,证明CP

是N。C”的角平分线即可解决问题.

【解答】解：作交BC的延长线于从

AD

•・•四边形ABC。是正方形，

：,AD=AB=BC,

ZDAF=ZABE=ZDCB=ZDCH=90a,

*：DFA.AE,

：.^BAE+ZDAE=90°,/AOF+NO4E=90°,

AZBAE=ZADF,

：AADF@4BAE(ASA),

：.DF=AE,

•・•四边形DFEP是平行四边形，

:・DF=PE,ZDFE=ZDPE,

*：ZBAE+ZAEB=90°，NAEB+NPEH=90°,

：・/BAE=/PEH,

*：ZABE=ZH=90°,AE=EP.

:.AABE与4EHP(AAS),

：.PH=BE,AB=EH=BC,

:・BE=CH=PH,

・・・NPC”=45°,

VZDC/7=90°,

：./DCP=/PCH,

・•・CP是ZDCH的角平分线，

・•・点P的运动轨迹是/OC”的角平分线，

•・•ZDFE+ZEPC=ZDPE+ZEPC=NOPC,

观察图象可得，NOPC一直减小，

故选：A.

【题型2正方形的性质（求线段的长度）】

【例2】（2022春•牡丹江期末）如图，正方形ABC。的边长为10,点E,尸在正方形内部,

AE=CF=^,BE=DF=6,则线段石厂的长为（）

A

F

BC

A.25/2B.4C.4-y[2D.4+V2

【分析】延长。尸交AE于G,,再根据全等三角形的判定得出△AG。与△ABE全等，

得出AG=BE=6,由AE=S,得出EG=2,同理得出GF=2,再根据勾股定理得出EF

的长.

【解答】解：延长。尸交AE于G,如图：

V/1B=10,AE=8,BE=6,

：.AE1+BE1=AB2,

・•.△ABE是直角三角形，

・•・同理可得，△。尸C是直角三角形，

,/四边形ABCD是正方形，

/.ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90c,AB=BC=CD=AD,

••・NZM£+NQAG=90°,

在△ABE和△C。尸中，

AB=CD

AE=CF，

BE=DF

:.△ABEQ/XCDF(SSS),

/.Z1BAE=/DCF,

又•・・NOC77+NCO/7=/AOF+NCO/=90",

：.ZDCF=ZADG,

：.NBAE=NADG,

'：^BAE+ZDAG=90°,

・・・NAQG+NQAG=9(r,

：,ZDGA=90°,即AAG。是直角三角形，

在△AG。和△84E中，

Z-AGD=Z.BEA

Z.ADG=Z.BAEf

AD=BA

：.(ASA),

：.AG=BE=6,0G=4E=8,

AEG=8-6=2,

同理可得：GF=2,

.,.RtAEFG+,EF=\22+22=2迎，

故选：A.

【变式2-1］（2022春•巴南区期末）如图，四边形A8CO是边长为4的正方形，点£在边

C。上，且。七=1,作E/〃4c分别交AC、A/3于点G、F,P、“分别是4G,4E的中

点，则PH的长是（）

【分析】连接CF,尸F.证明FPLAC,则△CPF是直角三角形，利用PH是RtACPF

斜边上的中线，可得尸”=3「0因为再利用勾股定理求出BE的长即可.

【解答】解：连接C尸，PF.如图所示，

•・•四边形ABCD是边长为4的正方形.

：，CB=CD=4,且AC平分NBA。.

・・・N84C=45°.

,:EF〃BC.

：.ZAFE=ZABC=W.

•••△AFG是等腰直角三角形.

•••P为AG中点.

：,PF±AG.

•••△CPF是直角三角形.

'：DE=\.

：.CE=CD-DE=3.

,:EF//BC.

・•・四边形是矩形.

•・•点〃为8E的中点.

；・CF过点H.即点〃为。尸的中点.

在RtaCP尸中，PH=\CF.

•；EF=BC=4.

・•・在RtACFF中，CF=y/CE2+EF2=序甲=5.

：.PH

=-2=2.5.

故选：B.

【变式2-2］（2022•越秀区一模）将正方形4BC。与正方形BEFG按如图方式放置，点F、

B、C在同一直线上，已知8G=&，BC=3,连接OF,M是。尸的中点，连接AM,则

AM的长是（）

A.手B.V3C.当D.\

【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出BH,进而利用勾股定理解答

即可.

【解答】解：延长人例交于，点，

•・•四边形ARCO和四边形BE尸G都是正方形，BG=6BC=3,

:.BF=yflBG=2,AB=AD=CD=BC=3,

•・•点尸，B,C在同一直线上，

：.AD//CF,

ZDAM=/FHM,ZADM=NHFM,

•・・M是。尸中点，

:.DM=FM,

在和△，九M中,

Z.DAM=Z.FHM

^ADM=乙HFM,

DM=FM

:.丛ADM迫4HFM(AAS),

:・AD=FH=3,AM=HM=^AH,

:.BH=FH-BF=l,

在RtAABH中，AH=\/AB2+BH2=V32+l2=V10,

•-AH=—»

22

故选：A.

【变式2-3](2022春•吴中区校级期末)如图，在正方形48CO中，A8=4通.£、尸分别

为边AB、8c的中点，连接AF、DE,点MM分别为4户、。七的中点，连接MN,则

MN的长度为_屈_.

【分析】先通过讦明△AKFgOAE得到角相等后.讦明/MGN=90°,利用已知条件在

RtZkAQG与RtZXAEG中求出AG,EG的长，进而求出GMG/W的长，利用勾股定理求

出MN的长.

【解答】解：如图所示，

♦・•四边形48co是正方形，

：.AD=BC^AB=4VS,NB=ND4E=90°.

•・•£、二分别为边AZ?、BC的中点,

：.AE=BF=2VS.

：.DE=>JAD2+AE2=J(4遮/+(2通尸=10.

在△QAE和AAB尸中,

AD=AB

Z.DAE=乙B.

AE=BF

(SAS)

/.ZAED=ZBFA.AF=DE=\O.

VZBM+ZBAF=90°.

AZAED+ZBAF=W.

/.ZAG£=90°.

，/MGN=90".

设石G的长为x,则GD=IO-x,

在RlZ\AGE中，

AG2=A£2-EG2=20-『.

在RtZVIOG中，

AG2=AD2-DG2=80-(10-x)2.

・・・20-32=80-(10-x)2.

解得x=2.即EG=2.

：.AG=V20-X2=4.

•・•点N、M分别为A尸、OE的中点，

・・・AN=U尸=5,EM=-DE=5.

22

:・GM=EM・EG=3,GN=AN-AG=1.

在RtAMNG中，

MN=yjGM2+GN2=V32+l2=V10.

故答案为：Vlo.

【题型3正方形的性质(求面积、周长)】

【例3】(2022春•郸州区期末)有两个正方形4,B.现将B放在A的内部得图甲，将A,

8构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,若三个正方

形人和两个正方形8得图丙，则阴影部分的面积为()

A.28B.29C.30D.31

【分析】设正方形A的边长为m正方形8的边长为〃，观察图甲和图乙可得关于a,%

的方程组，整理可得：a-b=\,a+b=5,ab=6,观察图丙可得S阴影=(2“+〃)2-3a2

-2b2,再利用乘法公式整体代入计算即可.

【解答】解：设正方形A的边长为小正方形8的边长为〃，且。>〃>0,

根据图甲和图乙,得:联:京看

(a2—2ab+b2=1①

整理,

(2ab=12@

由①得:由・b)2=l,

\*a>b,

•\a-b=\,

由②得:ab=6,

①+②X2,得：（〃+力）2=25,

a+/?=5,

观察图丙，得：S用彰=（2。+〃）2-3a2-2b2

=（a+h）（a-b）+4ab

=5X1+4X6

=29.

故选：B.

【变式3-1］（2022春•工业园区校级期中）如图，四边形A8C。为正方形，O为AC、BD

的交点，△QCE为Rtz\,ZCED=90°,0£=2/，若CE・DE=3,则正方形48C。的

面积为（）

A.5B.6C.8D.10

［分析］过点。作OM工CE于M,作ON_LDE交ED的延长线于N,判断出四边形OMEN

是矩形，根据矩形的性质可得/MOV=90°,再求出NCOM=NOOM根据正方形的性

质可得OC=O。，然后利用“角角边”证明aCOM和△OON全等，根据全等三角形对

应边相等可得OM=OMCM=DN,然后判断出四边形OMEN是正方形，可得NE=ON

=2,f#DE+CE=4,设OE=a,CE=b,可得〃+力=4,根据Cf・DE=3,€：＞=足一扶=

（a+b）2-2f//?=42-2X3=10,即可解决问题.

【解答】解：如图，过点。作。MJ_CE于M,作OALLOE交的延长线于N,

VZCED=90°,

・•・四边形OM七7V是矩形，

・・・NMON=90。，

NCOM+NDOM=NDON+/DOM,

工/COM=/DON,

•/四边形ABCD是正方形，

：.OC=OD,

在△COM和△OON中，

(/-COM=乙DON

l^CMO=Z-N,

(0C=OD

.'.△COM经△OON(AAS),

：・OM=ON,CM=DN,

・•・四边形OMEN是正方形，

在RtZkOEN中，

-：OE=2y[2,

：.2NE~=OE2=(2V2)2=8,

・・・NE=ON=2,

*/DE+CE=DE+EM+MC=DE+EM+DN=EN+EM=2EN=4,

设OE=a,CE=b,

，a+/?=4,

VCE*DE=3,

：，Clf=u7+b?=Ca+b!?-2U/>=42-2X3=10,

:・S正方彩A8cO=10，

故选：D.

-------------%

【变式3-2］（2022•台州）如图，在正方形4BCZ）中，AB=3,点E,尸分别在CD,4。上,

CE=DF,BE,C尸相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABC。的面积之比为2：

3,则△8CG的周长为皮+3.

【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABC。的面积之比为2：3,得出阴影部分的面积

为6,空白部分的面积为3,进而依据aBCG的面积以及勾股定理，得出8G+CG的长，

进而得出其周长.

【解答】解：•・•阴影部分的面积与正方形人BCO的面积之比为2：3,

阴影部分的面积为,x9=6,

・•・空白部分的面积为9・6=3,

由CE=ORBC=CD,NBCE=NCDF=90"，可得

:•△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为gx3=

4CBE=/DCF,

•；NDCF+NBCG=90：

/.ZCBG+ZBCG=90°,即NBGC=90°,

设BG=a,CG=b,则会活=

又•・•，+序=32,

・・・。2+2扬曲=9+6=15,

即（a+〃）2=15,

：,a+b=/15,BPBG+CG=^15,

：.XBCG的周长=V15+3,

故答案为：V15+3.

【变式3-3］（2022•江北区一模）如图，以RtA48C的各边为边分别向外作正方形，ZBAC

=90",连结。G,点”为。G的中点，连结”从HN,若要求出△"3N的面积，只需

知道（）

C.正方形ACFG的面积D.正方形8NMC的面积

【分析】连接"A并延长交BC于点P,交MN于点、Q,连接AE,CE,AN,证明ABAC

^△DAG,△ABN^AEBC,进而可以解决问题.

【解答】解：如图，连接“4并延长交8c于点P,交MN于点Q,连接4E,CE,AN,

•・•四边形人四边形人CFG,四边形BCMN是正方形,

：.AB=AD,AC=AG,N8AC=NQAG=90°,

在△84C和△D4G中，

AB=AD

Z.BAC=£DAG=90%

AC=AG

•••△BACdDAG(SAS),

：.ZBCA=ZDGA,

•・•点”为OG的中点，NZMG=90°,

:.AH=GH,

：・4HAG=/DGA,

:・NHAG=NBCA,

*：ZHAG+ZCAP=W,

•••NBGA+NC4P=90°,

/.ZAPC=90°,

:.BN〃HQ、

«,•SnHBN=S；\ABN，

、：BE〃3,

:.S^AEB-S&CBE，

VZABN=9()Q+NA8C,NEBC=90°+NA8C,

；・NABN=NEBC,

在AABN和△EBC中，

AB=EB

乙ABN=乙EBC,

(BN=BC

:,△ABN/^EBC(SAS),

:.S&ABN=S2CBE，

:・SAAEB=S&HBN，

'•S.\AEB=正方形八。£8，

:S、HBN=gS正方彩ADEB，

・••若要求出△〃及V的面积，只需知道正方形人。E8的面积.

故选：B.

【题型4正方形的性质(探究数量关系)】

【例4】(2022秋•中原区校级月考)如图，线段