2021~2023学年广东省广州市各区高二上学期数学期末试题汇编：数列（解析版）

~2023学年广东省广州市各区高二上学期数学期末试题汇编：数列（解析版）单选题1．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）数列满足，，则A．3 B．5 C．11 D．13【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解数列的第三项即可．【解答】解：数列满足，，可得，．故选：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．2．（2021~2022学年广东省广州市八区）在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为A．12 B．32 C．36 D．72【分析】由等差数列的性质及等差数列前项和公式求解即可．【解答】解：在等差数列中，已知，则数列的前6项之和．故选：．【点评】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．3.（2022~2023学年广东省广州市天河区）数列，，，，……的通项公式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分母构成等差数列即可求出.【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，所以.故选：C.4.（2021~2022学年广东省广州市越秀区）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.3盏 B.7盏 C.9盏 D.11盏【答案】A【解析】【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前项和公式能求出结果．【详解】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得，即塔的顶层共有灯3盏.故选：A．5.（2021-2022学年广东省广州市天河区）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案】C【解析】【分析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则a所以5解得a所以最大项.故选：C6.（2021-2022学年广东省广州市天河区）数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A.153 B.190 C.231 D.276【答案】C【解析】【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：C7.（2022~2023学年广东省广州市天河区）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（）A.1125块 B.1134块 C.1143块 D.1152块【答案】B【解析】【分析】由等差数列前项和的性质求解．【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，，设每层有环，则，，是等差数列，则也成等差数列，所以，所以，，故选：B．8．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，则从今年起4年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为万吨（精确到0.1万吨）（参考数据：，A．39.4 B．51.5 C．63.4 D．75【分析】根据已知条件，结合等差数列前项和，等比数列前项和公式，即可求解．【解答】解：设从今年起每年生活垃圾的总量构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为，当时，．故选：．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查等差数列前项和，等比数列前项和公式，属于中档题．9.（2021~2022学年广东省广州市越秀区）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则n的最大值为（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】C【解析】【分析】取，对数列进行前项求和，解不等式即可得到答案；【详解】取，则，当时，，当时，，当时，，当时，，n的最大值为，故选：C.10.（2022~2023学年广东省广州市六区）已知数列{}满足，，记数列{}前n项和为，则=（）A.506 B.759 C.1011 D.1012【答案】A【解析】【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，即可出现分组求和，再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.【详解】由递推公式可得，；；；而故选：A11.（2021-2022学年广东省广州市番禺区）在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为（）A.6 B.7 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质及等差中项结合前项和公式求得，,从而得出结论.【详解】，，，，，，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，故选：D.12．（2021~2022学年广东省广州市八区）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是A．8 B．9 C．10 D．11【分析】依题意，可求得数列与的通项公式，又，可求得，解之可得的最大值．【解答】解：是以1为首项，2为公差的等差数列，，是以1为首项，2为公比的等比数列，，，，，当时，，不适合题意，当时，，适合题意，的最大值是9．故选：．【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．多选题1.（2021-2022学年广东省广州市番禺区）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（）A. B. C.公积为1 D.【答案】AB【解析】【分析】根据等积数列的定义，可判断A的正误，根据条件，代入数据，可判断B、C的正误，分别讨论n为奇数和偶数，可判断D的正误，即可得答案.【详解】设该等积数列的公积为m（m为常数，），根据等积数列的定义可得，所以，即，故A正确；则，又，则，又前7项的和为14，则，解得，即公积为2，所以，故B正确，C错误，当n为奇数时，当n为偶数时，故D错误故选：AB2.（2021~2022学年广东省广州市越秀区）已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（）A.是等差数列 B.是等差数列C.是等比数列 D.是等比数列【答案】AD【解析】【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列.【详解】由题意得，所以数列是常数列，故A正确；数列的通项公式为，则，所以数列是公比为的等比数列，B错误；，所以数列是公差为的等差数列，C错误；，所以数列是公比为的等比数列，D正确.故选：AD3．（2021~2022学年广东省广州市八区）已知数列中，，，，则下列说法正确的是A． B．是等比数列 C． D．【分析】先求出的值，再根据递推公式可得数列的奇数列和偶数列，分别是以3为公比的等比数列，问题得以解决．【解答】解：，，，即，，，，数列的奇数列和偶数列，分别是以3为公比的等比数列，，，，故正确；，故不正确；，故正确．故选：．【点评】本题考查了数列的递推公式，等比数列的应用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．4.（2021-2022学年广东省广州市天河区）已知数列，下列说法正确的是（）A.若数列为公比大于0，且不等于1的等比数列，则数列为单调数列B.若等差数列的前n项和为，，则当时，最大C.若点在函数（k，b为常数）的图象上，则数列为等差数列D.若点在函数（k，a为常数，，且）的图象上，则数列为等比数列【答案】ACD【解析】【分析】由等比数列可知，分析首项及可判断A，根据所给条件可知数列，即可判断B，根据等差数列的定义式判断C，由等比数列的定义式判断D.【详解】对于A，，当首项为负数，时，，数列递减，时，数列递增，同理可分析首项为正数，时，数列递增，数列递减，故数列为单调数列，故正确；对于B,，即，又，所以最大，故错误；对于C，点在函数上，即，所以，故数列为等差数列，正确；对于D，点在函数，即，所以，所以数列为等比数列，正确.故选：ACD5．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）以下四个命题中，真命题的是A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 B．若等差数列的前项和为，则数列是等差数列 C．若等差数列的前项和为，且，则 D．若等比数列的前项积为，且，则【分析】由等差数列与等比数列的性质对四个选项依次判断即可．【解答】解：对于选项，记正项等比数列的公比为，则，故数列是等差数列，故正确；对于选项，记等差数列的公差为，则，则，故数列是等差数列，故正确；对于选项，，若，则，故错误；对于选项，，故正确；故选：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质综合应用，属于中档题．6.（2022~2023学年广东省广州市六区）数列满足，，则（）A.数列是递减数列 B.C.点()都在直线 D.数列前项和的最大值为32【答案】AC【解析】【分析】根据数列的递推关系式，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前项和公式结合二次函数的性质，即可求得的最大值，可判断D.【详解】数列满足，，即，所以数列是递减数列，故A正确；且数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确；数列的前项和，又因为，所以时，，时，，则的最大值为，故D不正确.故选：AC.7.（2022~2023学年广东省广州市天河区）设数列满足，记数列的前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依题意当时，求出，再利用作差法得到，即可得到的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可；【详解】解：由题意，当时，得，令，则当时，所以，即．又时，也成立，∴，故数列的通项公式为，∴，即有．故选：ABD．8.（2021-2022学年广东省广州市南沙区）如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有网学提出了以下结论，其中正确的起（）A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列B.前八个矩形块中所填写的数字之和等于C.面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为D.记为除了前块之外的矩形块面积之和，则【答案】BD【解析】【分析】根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结论．【详解】解：设每个矩形块中的数字从大到小形成数形，则可得是首项为，公比为的等比数列，故A错误；所以，前八个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为，故C错误；按照这个规律继续下去，前块矩形块面积之和为，故前块之外的矩形块面积之和为，故D正确；故选：BD．填空题1.（2021~2022学年广东省广州市越秀区）已知数列满足，则_______．【答案】##1.2【解析】【分析】直接根据递推公式计算即可得出答案.【详解】解：因为，所以，，，.故答案为：.2.（2021-2022学年广东省广州市天河区）已知是数列的前n项和，且，则________；数列的通项公式________．【答案】①.②.【解析】【分析】当时，，推导出，从而数列是从第二项起，公比为的等比数列，进而能求出数列的通项公式，即可求得答案.【详解】为数列的前项和，①时，②①②，得：，，，，数列的通项公式为.故答案为：；.3.（2022~2023学年广东省广州市天河区）在各项均为正数的等比数列{}中，若，则_________．【答案】2【解析】【分析】根据等比数列的性质计算．【详解】等比数列各项均为正数，∴，（负值舍去）故答案为：2.4.（2022~2023学年广东省广州市六区）若数列{}为等差数列，，则数列{}的前9项和=__________.【答案】【解析】【分析】利用等差数列的性质得到，代入数据计算得到答案.【详解】.故答案为：5.（2021-2022学年广东省广州市南沙区）已知等差数列公差不为0，且，，等比数列，则_________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，由，，等比数列，可得，则的值可求．【详解】解：设等差数列的公差为，，，等比数列，，则，得，．故答案为：．6．（2021~2022学年广东省广州市八区）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则15，．【分析】根据已知的图形中点的个数得出变化规律进而求出即可．【解答】解：第一图形中有个点，第二个图形中有个点，第三个图形中有个点，，．故答案为：15，297．【点评】此题主要考查了数列的通项公式，根据已知的图形中点数的变化得出规律是解题关键，属于基础题．7．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）若数列满足，，则16，．【分析】计算得到数列周期，得到．【解答】解：，则，，，，，，，，，，，故从第7项开始形成周期为3的数列，，故，故答案为：16；1．【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．解答题1.（2022~2023学年广东省广州市天河区）已知数列{}为等差数列，是其前n项和，且，．数列{}中，，．（1）分别求数列{}，{}的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式列出方程组，解之即可求出数列的通项公式，由题意可知：数列为等比数列，利用等比数列的通项即可求出数列的通项公式；(2)结合（1）可得：，利用分组求和的方法即可求解.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，，则，解得：，所以.又因为，，所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，则，故数列{}，{}的通项公式分别为：，.【小问2详解】由（1）可知：，所以2.（2021-2022学年广东省广州市天河区）已知是等差数列前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的首项、公差，由列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消法可求数列前n项和.【小问1详解】依题意：设等差数列的首项为，公差为，则解得所以数列的通项公式为【小问2详解】由（1）可知因为，所以，所以.3．（2021~2022学年广东省广州市八区）在①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．问题：已知为数列的前项和，，，且_____．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【分析】（1）为数列的前项和，，，当时可得为等比数列，选①时求出的值，进而求出的通项公式，（2）由（1）可得的通项公式，进而求出其前项和的表达式．同理选②③时，求出的值，同选①一样求出（1）（2）的结果．【解答】解：（1）为数列的前项和，，，当时，显然成立，当时，即，可得，所以为等比数列，且公比，选①，，成等差数列，则，所以，即，解得，所以通项公式，所以数列的通项公式；（2）由（1）可得，所以为等差数列，所以其前项和；若选②，，成等比数列，则，解得，所以，因为所以为等比数列，且公比，以下同①的解法；若选③，即，即，解得，因为为等比数列，且公比，以下同①的解法．综上所述：数列的通项公式；．【点评】本题考查求数列的通项公式及等差数列的前项和，属于中档题．4．（2021~2022学年广东省广州市荔湾区）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于8，第2项与第4项的和等于9，第1项与第5项的和等于4．求这个数列．【分析】先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．【解答】解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，．于是得依题意得，解得或，所以该数列为2，4，8，5，2或18，12，8，，．【点评】本题考查了等差数列等比数列的综合，属于基础题．5.（2022~2023学年广东省广州市六区）在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）记为等差数列的前n项和，求使不等式成立的n的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列公式得到，，得到通项公式.（2）计算，解不等式得到答案.【小问1详解】等差数列中，，，故，，故【小问2详解】，，即，解得，故的最小值为6.（2021-2022学年广东省广州市南沙区）在数列中，，点在直线上.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.【小问1详解】由题意可知，，所以数列是公差的等差数列又，所以，故小问2详解】，则故7.（2021-2022学年广东省广州市番禺区）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.【小问1详解】，当时，，当时，，也满足上式，数列的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得，①②①②得，8.（2021~2022学年广东省广州市越秀区）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知是公差为d的等差数列，是公比为的等比数列，且，，____________．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）若选①，则由题意可得1+d+q=51+2d+q2=9，解方程组求出，从而可求出的通项公式，若选②，则由题意可得1+d+q=51+d+q2（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出【小问1详解】若选①，则由题意可得1+d+q=51+2d+q2=9，由得，代入中化简得，解得（舍去）或，则，所以，，若选②，则由题意可得1+d+q=51+d+q2=1+3d，由得，代入中化简得，解得或（舍去），则，所以，，【小问2详解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以9.（2021-2022学年广东省广州市天河区）已知数列满足．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）Tn【解析】【分析】（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.（2）,分为奇数、偶数，分组求和即可求解.【小问1详解】由，得，故是公差为2的等差数列，故，由，故，于是.【小问2详解】依题意，