专题37 轴对称、平移、旋转【十二大题型】（举一反三）（解析版）

专题37轴对称、平移、旋转【十二大题型】

♦题型梳理

【题型1轴对称图形、中心对称图形的识别】......................................................1

【题型2与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】..................................................4

【题型3与几何图形有关的折叠问题】............................................................7

【题型4与抛物线有关的折叠问题】..............................................................14

【题型5利用轴对称求最值】...................................................................23

【题型6根据中心对称的性质求面积、长度、角度】...............................................33

【题型7与轴对称、平移、旋转芍关的规律探究问题】............................................43

【题型8用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】................................................48

【题型9旋转或轴对称综合题之线段问题】.......................................................53

【题型10旋转或轴对称综合题之面积问题】.......................................................65

【题型11旋转或轴对称综合题之角度问题】.......................................................81

【题型12利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】..........................................91

轴对称、平移、旋转】

1.平移

（1）定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。

（2）平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）

且相等。

（3）坐标的平移：点（x,y）向右平移。个单位长度后的坐标变为（x+o,y）；

点（x,y）向左平移。个单位长度后的坐标变为（x-a,y）；

点（x,y）向上平移。个单位长度后的坐标变为（x,y+o）；

点（x.y）向下平移。个单位长度后的坐标变为（x.k。）.

2.轴对称

（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关

于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形。这条宜线叫做它的对称轴。

（3）轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形

的对称轴，是任何•对对应点所连线段的垂直平分线。

(4)线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

(5)坐标与轴对称：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(X,-y)；

点、(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)；

3.旋转

⑴旋转

定义：把一个平面图形绕着平面内某一点。转动一个角度，叫做图形的旋转。点。叫做旋转中心，转

动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③

旋转前后的图形全等。

⑵中心对称

定义：把一个图形绕着某一点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这

个点对称或中心对•称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对

称点。

中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

②中心对称的两个图形是全等图形。

(3)中心对称图形

定义：如果一个图形绕一个点旋转180。后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫

做它的对称中心。

(4)关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点。的对称点为PY-x,-必。

【题型1轴对称图形、中心对称图形的识别】

【例1】(2023•广东东莞•一模)如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

【答案】A

【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可,

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个

图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形,

这个点就是它的对称中心.掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关犍.

【详解】解：A.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意：

D.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：A.

【变式1-1]（2023•安徽合肥•校考一模）如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下

列说法正确的是（）

A.这个图形一定是中心对称图形.

B.这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.

C.这个图形旋转216度后能与它本身重合.

D.这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形.

【答案】C

【分析】根据旋转对称性，至少旋转72。，旋转72度可以与原图形重合，则图形可以平分成5个全等的部分，

因而是轴对称图形，不可能是中心对称图形，据此即可求解.

【详解】解：•・・旋转72。可以与原图形重合，则图形可以平分成5个全等的部分，因而可能是轴对称图形，不

可能是中心对称图形，故A,B,D错误.

由于216。+72。=3,这个图形旋转216。后能与它本身重合，故C选项正确.

故选C.

【点睛】本题考查了旋转对称图形，要明确，旋转某一个角度后，图形与原图形重合，这样的图形称为旋转

对称图形.

【变式1-2]2023•福建泉州•统考模拟预测）如所示的四个交通标忐图中，为旋转对称图形的是（）

AAAA

【答案】DBcD

【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可.

【详解】解：题中所示的四个交通标志图中，只有选项D旋转120。与原图形重合，

故选：D.

【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种

图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.

【变式1-3］（2023•山东青岛・统考三模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查中心劝称图形与轴对称图形的概念；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.

【详解】解：左起第一和第二两个图形是轴对称图形，不是中心对•称图形；

第三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形：

第四个图形是中心对称图形，不是轴对称图形.

所以既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个.

故选：A.

【题型2与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】

【例2】（2023•江苏无锡・统考二模）如图，在ABDE中,LBDE=90°,5。=4或，点。的坐标是（4遍,0）,

tan^BDO=将aBOE旋转到△的位置.，点C在B。上，则旋转中心的坐标为（）

A.（2V5,yV5）B.（3通卷灼C.传遍2灼D.传遍谭灼

【答案】D

【分析】设旋转中心为点2连接P0,过点。作PF1%轴于点F,过点。作P//1BD于”，并延长交x轴于

G,如图，根据题意得：/W,8。的垂直平分线的交点即为旋转中心点P,再由点C在3。上，可得PH=DH=

2灰，并求出PD的长，解直角三角形求出。G的长，进而利用勾股定理求出。AP尸的长，再求出。户的长即

可得到答案.

【详解】解：设旋转中心为点P,连接PD,过点P作尸Fix轴于点F,过点P作PH1BD于“，并延长交x

轴于G,如图，

根据题意得：力8,80的垂直平分线的交点即为旋转中心点P,

•・•点C在80上，

・•・点尸到4B,BD的距离相等,都是扔D,即「，=0"=卜4交=2式,

APD=V2x2V2=4,

VtanzFDO=—=-

DH3

3

：.PG=—,DG=y/GH2+DH2=—.

33

设。F=%,则GF=这一%,

3

由勾股定理得P『2=PG2-GF2=PD2-DF2,

解献=w，

・・."=竽,

:.PF=>JPD2-DF2=W

VD（4V5,0）,即0。=4倔

：.0F=OD-DF=—,

5

・••点P的坐标为（当逐,|遮）

故选D.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转，解直角三角形，勾股定理等等，熟练掌握旋转的性质确定出

旋转中心的位置是解题的关键.

【变式2-1】（2023・广东潮州・统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段4B平移得到线段CD,点4（-1,4）的

对应点C（l,2）,则点B（2,1）的对应点。的坐标为（）

A.（4,-1）B.（0,3）C.（4,1）D.（-4,1）

【答案】A

【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可.

【详解】解：•・•点力（一1，4）的对应点C的坐标为（1,2）,

，平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，

・・・B（2,1）的对应点。的坐标为（4,-1）.

故选：A.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移

加，下移减.

【变式2-2］（2023•吉林长春,二模）在平面直角坐标系中，已知力（2,1）,现将A点绕原点。逆时针旋转90。

得到则4的坐标是（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,-2）D.（-2,1）

【答案】A

【分析】根据旋转的性质进行判断作答即可.

【详解】解：如图，过4作轴于3,过久作为当J.y轴于8】,

•・•将4点绕原点。逆时针旋转90。得到公,

・・・由旋转的性质可得,OBi=OB=2,A1B1=AB=1,

・,"]（-1,2）.

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，绕原点旋转90度的点的坐标.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活

运用.

【变式2-3]（2023・四川眉山・校考三模）平面直角坐标系内有一点M0/）,已知心），满足"7率1+（5丫-2）2=

0,则点M关于y轴对称的点N在第象限.

【答案】一

【分析】根据757不1+（5丫-2）2=0得到％=-：/=：,确定M的位置，后确定对称点的坐标，解答即可.

【详解】W4x+3+（5y-2）2=0,

故点N在第一象限，

故答案为：一.

【点睛】本题考查了实数的非负性，关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变相反数，熟练掌握对称点的确定是

解题的关键.

【题型3与几何图形有关的折叠问题】

【例3】（2023•广西南宁•校考二模）如图，已知平行四边形纸片ABCD（/W>/W）,将平行四边形纸片沿过

点A的直线折叠，使点8落在边4）上，点8的对应点为尸，折痕为AE,点E在边8C上，连接8凡若AE=

4,DF=8,则四边形/WE"的面积为（）

D

A.64B.48C.32D.16

【答案】D

【分析】先证明四边形48EF为菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可.

【详解】解：•・•平行四边形纸片将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点4落在边40

上，点8的对应点为R折痕为4E,

：.AF||BE,AB=AF,BE=EF,LBAE=匕FAE,

：.LFAE=£BEA,

=^BEA,

••AB=BE,

：.AB=AF=BE=EFt

・•・四边形/BEF为菱形，

:.四边形A8EF1的面积为.FF=^x8x4=16；

故选D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质.解题的关键是证明四边形/WEF为

菱形.

【变式3-1】（2023•河南・统考中考模拟）将三角形纸片S/BC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上,

记为点B',折痕为EF,已知4B=4C=3,BC=4.若以点B、八C为顶点的三角形与△/BC相似，则的

长度是.

【答案】3或2

【分析】本题考查折挖的性质，三角形相似的判定和性质.利用分类讨论的思想是解题关键.结合折会的性

质可设BF=B'F=x,fflCF=4-x.分类讨论：①当乙4BC=4B'FC时，此时△ABCB'FC,得出"=《

/»ISc

代入数据，即得出关于八•的方程，解之即可：②当8C=Z_FB'C时，此时△ABC〜△FB'C,同理求解即可.

【详解】解：由折叠的性质可知BF=B'F,

设8尸=B'F=x,则Cr=BC-BF=4-x.

'：LACB=LB'CF,

・•・可分类讨论：①当乙48C=时，则此时△AHC8'卜（,

耳晦，即：牛

解得：x=£

・•・此时8"的长度是孩:

②当/A8C=4尸8£时，则此时△RBC〜△FB'C,

B'FCFx4-x

行=就,即nn广三'

解得：x=2,

・•・此时BF的长度是2.

故答案为：手或2.

【变式3-2］（2023•山西大同•校联考模拟预测）如图，正六边形/WC0EF内接于半径为8cm的。。中，连接CE,

AC,AE,沿直线CE折叠，使得点。与点。重合，则图中阴影部分的面积为（）

A.32限B.875cm2C.8ncm2D.（竽+3n）cm2

【答案】A

【分析】根据正六边形的性质，折直的性质以及圆的对称性可得出OM=M。=［。。=4cm,再根据直角三

角形的边角关系求出CM,进而求出CE,由图形中各个部分面积之间的关系可得S阴影部分=2S«C°E，根据三

角形的面积计算公式进行计算即可.

【详解】解：如图，连接。0,交CE于点M,则OO_LCE,

由折叠可知。M=MD=^OD=|0C=4(cm),

乙COM=—=60°,

6

在Rt/kCOM中,

CM=V3OM=4V3(cm),

CE=2CM=8V3(cm),

由题意可知，△ACE是等边三角形，阴影部分面积等于S四边形“OF，

连接04点。为△ACE的内心，到三边的距离相等，

S&OAC=^AO/iE=$△（）EC»

AS阴影部分=2sKOE

1厂

=2x-x8V3x4

乙

=32x^3（cm2）,

故选：A.

【点睛】本题考查正多边形和圆，翻折的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形和圆的性质以及直

角三角形的边角关系是正确解答的前提.

【变式3-3］（2023•河南周口•校联考模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开

展实践活动.

DA

图(1)图(2)图(3)图(*W(5)

（I）操作判断

操作一：如图（1）,正方形纸片ABCO,点£1是8。边上（点E不与点8,C重合）任意一点，沿力E折叠△48E到

△XFE,如图（2）所示;

操作二：将图＜2）沿过点广的直线折叠，使点小的对称点G落在从？上，得到折痕MN,点C的对称点记为〃，

如图（3）所示；

操作三：将纸片展平，连接8M,如图（4）所示.

根据以上操作，问答下列问题：

①B,M,N三点一（填“在”或“不在”）一条直线上；

②/1E和BN的位置关系是数量关系是_；

③如图（5）,连接力N,改变点E在BC上的位置，_（填“存在”或“不存在”）点E,使4N平分〃力£

（2）迁移探究

苏铳同学将正方形纸片换成矩形纸片FBCD,力8=4,BC=6,按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图

（7）.请完成下列探究：

①当点N在CD上时，如图（6）,8E和CN有何数量关系？并说明理由；

②当。N的长为1时，请直接写出BE的长.

【答案】（1）①在，②/EJ.BN,相等；③不存在；

（2）噂=：理由见解析；②BE=2或当

【分析】（1）①£的对称点为E',BFMFLEE",即可判断；②由①4E1BN,由同住的余角相等

得上BAE="BN,由AAS可判定&A8E三ABCN,由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△D4N三

△MAN,由全等三角形的性质得=40,等量代换得48=4M,与/4BA/4M矛盾，即可得正；

（2）①由（1）中的②可判定△ABE〜△8CN,由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE〜

△ECN,由三角形相似的性质即可求解；当N在力0上时，同理可判定由三角形相似的性

质即可求解.

【详解】（1）解：①E的对称点为E'，

:.BF1EE，,MF1EEL

：.B、F、M共线，

故答案为：在；

②由①知：B、F、M共线，N在尸M上，

^AE1BN,

:.乙AMB=90°,

:.乙ABM+Z.BAE=90°,

•••四边形/WC。是正方形，

Z.ABC=乙BCN=90°,

AB=BC,

•••/CBN+匕ABM=90°,

:.Z.BAE=Z.CBN,

在ZM8E和△8CN中

Z.BAE=乙CBN

Z.ABC=乙BCN,

AB=BC

:.&ABE6BCN（AAS）,

AE=BN,

故答案为：相等；

③不存在，理由如下：

假如存在，

•••4N平分NOAE,

:.乙DAN=乙MAN,

•••四边形力8CD是正方形，

AM1BN,

LD=Z,AMN=90°,

在AD4N和△M/1N中

ZD=Z.AMN

Z.DAN=/.MAN

AN=ANN

DAN三ZiMAMAAS）,

AM=AD,

AD=AB,

:.AB=AM,

•••是Rt/k/lBM的斜边，

:.AB>AM,

:.AB=AM^AB>4M矛盾，

故假设不成立，所以答案为：不存在;

（2）解：①券=£理由如卜：

由（1）中的②得：

乙BAE=（CBN,

Z.ABE=Z-C=90°,

:4ABE—△BCN,

EE_AB_2

二嬴二就=1

②当N在CD上时，

CN=CD-DN=3,

由①知：2ABE八BCN,

—BE=—AB=—2,

CNBC3

ABE=-CN=2,

3

当N在4D上时，

AN=AD-DN=S,

vZ.BAE=乙CBN=乙ANB,

/-ABE=乙BAN=90°,

•••△ABENAB,

EE_AB

AB-AN'

•，.BE=”，

综上所述：BE=2或冷.

【点睛】本题考行了折叠的性质，用形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判

定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键.

【题型4与抛物线有关的折叠问题】

【例4】(2023・广西贵港・统考三模)抛物线y=—+c与x轴交于A、8两点，且点4在点8的左侧,

与)，轴交于点。，点0(3,2)为抛物线上•点，且直线CDh轴，点M是抛物线上的•动点.

(I)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标.

(2)若点E的纵坐标为0,且以4E,D,M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标.

(3)过点M作直线CO的垂线，垂足为N,若将ACMN沿CM翻折，点N的对应点为N7,则是否存在点M,使

点M则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由.

【答案】(1%=一；/+,%+2：/(-1,0),8(4,0)

(2)M(0,2)或(一,一2)或(手,一2)

(3)存在,河(1,3)或(5,-3)

【分析】(1)可先求得点。的坐标，将其代入抛物线的解析式求得c的值，令y=0,求得为的值，进而求得

点48的坐标；

(2)分为4。为边和4。为对角线两种情形，当人。为边时，分为目ADME,回A0EM,前者观察点M和点C重合,

后者点M的纵坐标和点。坐标互为相反数，进而求得结果，点为对角线时，点M和点C重合；

(3)证明CNMW是正方形，求得CM的解析式为：丁二工+2和丫=一％+2,进一步求得结果.

【详解】(1)解：•••CDIIx轴，0(3,2),

二。(0,2),

把x=0,y=2代入y=—+gx+。得c=2,

12,3「

•••丫=一乙/+乙/+2，

由一步+1x+2=0解得=-l,x2=4,

.•・4(-l,0).B(4,0);

(2)如图1,

当HD为边时,回力E1MW，此时M］和点C重合,%（0,2）,

团4M时，点M2的纵坐标和点。的纵坐标互为相反数，即为2=-2,

13

二--x294--%+2=-2,

22

3±V41

:，x=-,

乙

/3-V41\/3+V41\

.・“（1-，习“卜丁一）

当为对角线时，此时点M和点C重合，

综上所述：时（0,2）或（手,-2）或（手,-2）;

(3)如图2,

由折售知，乙CNM=cCN'M=90°,

■:乙NCN，=90°,

・•.四边形GVMN'是矩形，

■:CN=CN'时，

・•・矩形CNMN'是正方形，

平分ZNCN，，

当CMI平分乙NCNJ时，

直线CM】的解析式为：y=x+2,

由一：/+|x+2=%+2得，%=I,%?=0（舍去），

当％=1时，y=1+2=3,

AAfi（1,3）,

当。例2平分iNzCN?'时，

直线CM?的解析式为：y=-x+2,

由一12++2=-x+2得，x3=5,X4=0（舍去），

当x=5时，y=-5+2=-3,

•••用2（5,-3）,

综上所述:M（l,3）或（5,-3）.

【点睛】本题以二次函数为背景，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，解一元二次方程，平

行四边形的分类，正方形的判定和性质等知识点，解决问题的关键是正确分类，画出图形.

【变式4-1］（2023•山东枣庄•校考模拟预测）已知：如图，抛物线y=-/+从；+。经过原点。，它的对称轴

为直线％=2,动点P从抛物线的顶点4出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时

间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点氏连接。4AB.

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)当三点4。，B构成以为。8为斜边的直角三角形时，求t的值；

(3)将沿直线户8折叠后，那么点力的对称点儿能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条

件的£的值；若不能，请说明理由，

【答案】(Dy=一-+4#；(2,4)

⑵1秒

⑶能，(5->/5)秒或2通秒或(5+V5)秒

【分析】(I)根据抛物线过原点，对称轴为直线％=2,待定系数求解析式即可求解；

(2)设8(%,-X2+4X).三点、A,。，B构成以为。8为斜边的直角三角形，勾股定理得出。/^+力”=0#,

5(|,y).继而得出直线。8的解析式为y=-x,当％=2时,y=3,得出/P=4-3=1,进而即可求

解；

(3)分三种情况讨论，①点4在%轴正半轴上；②点4在)，轴负半轴上，③点4在％轴负半轴上，分别画出

图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解.

c=0

【详解】(1)解：由题意得二^=2，

>2x(-1)

解此二:，

二抛物线的解析式为y=-%2+4x：

vy=-x24-4%=-(x-2)2+4,

••・顶点A的坐标为(2,4)；

(2)如图1,

设8(%,-X2+4X).

•••三点A,0,B构成以08为斜边的直角三角形，

OA2+AB2=。”，

即2?+42+(x-2)2+(-%2+4x-4)2=x2+(-%2+4x)2,

整理，得2/—9%+10=0,

解得“1=%2=2(舍去)，

设直线08的解析式为y=kx,则:k=*

3

解得k=-,

2

3

y=-x.

2

当才=2时，y=3,

/IP=4-3=1,

・"=1+1=1(秒)；

(3)分三种情况：

①若点①在％轴正半轴上，如图2,

图2

可得P/)2+&。2=p&2,

即(4一£)2+(2V5—2)2=产,

解得t=5-V5；

②若点儿在y轴负半轴上，如图3,连接441交08于E.

可得041=0A=2遥，

•••z.0AxA=z.0AAr,

•••OAJAP,

:.z.0A1A=z.A1AP,

:.z.0AA1=Z-AXAPt

vAAr1OP,

LOEA=/.PEA=90°.

在AONE与中，

(Z.OAE=Z.PAE

AE=AE,

(^OEA=乙PEA

••・△04E空△PAE(ASA),

:.0A=PA=2圾,

t=2VS：

③若点必在工轴负半轴上，如图4.

可得PZ)2+4"=p42,

即(七一4)2+(2遮+2)2=d,

解得t=5+V5；

综上所述，所有满足条件的t的值为(5-V5)秒或2百秒或(5+V5)秒.

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质

是解题的关键.

【变式4-2](2023•山西临汾•统考一模)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=：/-弓％-4与不轴交于4B两点(点8在点A的右侧)，与y轴交

了•点C.将△力沿BC所在的直线折叠，得到△OBC,点4的对应点为D.

(备用图)

(I)求点A,B,C的坐标.

(2)求直线80的函数表达式.

⑶在抛物线上是否存在点P,使NPC8=N4BC?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴4(一2,0),3(8,0)((0,-4)

(2)y=“4—?32

⑶存在，点P的坐标为(6,-4)或(?,个)

【分析】(1)根据当'=0时，可得;/一,工一4二0,解一元二次方程即可得出点48的坐标，根据当x=0

时，y=-4即可得点C的坐标；

(2)过点。作DElx轴于点E,先利用勾股定理的逆定理判断出/4CB=90。，再根据轴对称的性质、三角形

中位线定理可得OC为△ADE的中位线，从而可得。(-2,8),然后利用待定系数法求解即可得；

(3)分两种情况：①点〃在.8C下方和②点〃在8C上方，再根据平行线的性质、等腰三角形的三线合一分别求

出与PC平行的直线，然后结合二次函数和一次函数的性质求解即可得.

【详解】(1)解：当y=0时，^%2-|x-4=0,

解得％1=—2,x2=8,

•••点8在点力的右侧，

•••义-2,0),8(8,0),

当x=0时，y=-4,

•••C(0,-4).

(2)解：如图，过点。作DE1/轴于点作

V71(-2,0),B(8,0),C(0,-4),

：,OA=2,OB=8,OC=4,

：.AB=8-(-2)=10,AC=yj'2.2+42=25BC=V42+82=4近,

：.AC2+BC2=AB2,

：,LACB=90°,

又•.•将△力BC沿BC所在的直线折叠得到△。，点A的对应点为D,

三点在一条直线上，

由轴对称的性质得：CD=AC,BD=AB,

'：0C1AB,DELAB,

:.DE||OC,

为△ADE的中位线，AO=0E=2,

:.DE=20C=8,

・・・D(2,-8),

设直线BD的函数表达式为y=kx+b,

将点8(8,0),。(2,-8)代入得：解得b

则直线BO的函数表达式为y=：x—?.

(3)解：在抛物线上存在点P,使乙PCB=418C,

①如图，当点P在BC下方时，

■:乙PCB=乙ABC,

：.PC||AB,

・••点C,P的纵坐标相等，

，点P的纵坐标为一4,

令y=-4,则2工2-%-4=-4,解得匕=6,x=0(舍去)，

422

...P(6,-4)；

②如图，当点P在8C上方时，

由（2）可知，4,C,。三点在一条直线上，BD=AB,41cB=90。,

：.LABC=乙DBC,

'：LPCB=乙ABC,

:“PCB=Z-DBC,

，PC||BD,

则可设直线PC的函数表达式为y=[%+c，

•••点C的坐标为（0,-4）,

••c=—4,

・••直线尸。的函数表达式为y=^%-4,

当白-4=J/__4时，解得％i=?,x2=0（舍去），

・••点P的横坐标为?，

、1,341434.100

当X=一时，V=-X4=一,

3,339

.”管芳），

综上，在抛物线上存在点P,使NPC8-2AC,点P的坐标为（6,-4）或管,一）.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合、折直的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一

等知识点，较难的是题（3）,正确分两种情况讨论是解题关键.

【变式4-3]（2023・湖南岳阳•统考一模）如图①，在平面直角坐标系％Oy中，抛物线=/+以+c经过

点41,0）和点8（3,0）,与），轴交于点C,经过点A的直线/与），轴的负半轴交于点。，与抛物线吊交于点E,

且0。=0A.

(2)如图②，点P是抛物线a上位于x轴下方的一动点，连接CP、EP,CP与直线/交于点。，设ZkEPQ和AECQ

的面积为S1和S2,求m的最大值;

(3)如图③，将抛物线K沿直线％=7H翻折得到抛物线Fz，且直线【与抛物线F?有且只有•个交点，求机的值.

【答案】(1),=%2-4%+3；

(2*的最大值为弓;

(3)m=O

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)结合(1)求得直线/的解析式为y=》一1,过点P作PM_L无轴，交/1E于点M,则PMIICO,易得△MPQ〜

△"Q即意=患，由4“。和4£CQ的底在同一直线上，且有相同的高，故合监二募由(1)可知CO=4,

设尸(Q,Q2-4Q+3),则M(Q,Q-1),则PM=-(Q-()+；,因为PM的最大值为三代入即可求解；

(3)求得抛物线y=/—4x+3的顶点坐标为(2,-1),将(2,-1)沿直线％=m翻折得(2m-2,-1),故将抛

物线Fi：y=x2-4x+3沿直线x=m翻折得到抛物线F2为y=[x-(2m-2)]2-1,即y=炉一

2

(4m-4)x+47n2-8m+3,令/-(4m-4)x+4m-8m4-3=x-1即％?_(47n_3)x+4m2-8zn+

4=0,由直线/与抛物线f2有且只有一个交点，则△=()，即可求解.

【详解】(1)解：将点力(1,0)和点8(3,0)代入y=%2+b%+c得：

Cl+6+c=0

(9+3b+c=0'

解得

抛物线F1的解析式为:y=x2-4x+3；

(2)'：0D=OA,71(1,0),

则D(0,—1),

设直线/的解析式为y=k%+n,

[A+n=0

tn=—1

H二,

可得直线/的解析式为：y=x-l,

过点P作PMlx轴，交4E于点M,

则PM||CD,

A4MPQDCQ,

•.•-P-Q=--P-M-,

CQCD

△£PQ和aECQ的底在同一直线上，且有相同的高,

则邑=也理=竺，

SlS&ECQCQ

•,•Si—_PQ—_PM,

S2CQCD

由⑴可知C(0,3),0(0,—1),

：,CD=4,

设P(Q,Q2—4a+3),

则M(a,a—1),

二PM=(a—1)—(a2—4Q+3)

=_(。一丁+£

・・・PM的最大值为三

贝晦的最大值%=:=总

・•・部勺最大值为3;

J'A

(3)抛物线y=X2-4X+3的顶点坐标为：

(2,-1)，

将(2,-1)沿直线％=m翻折得：(27九-2,-1),

故将抛物线吊：y=/-4%+3沿直线％=m翻折,

得到抛物线尸2：y=[x-(2m-2)]2-l,

即：y=x2-(4m-4)x+4m2-8m+3,

令f-(4m-4)x+47n2-8m+3=x-l,

即好一(4m-3)x+4m2-8m+4=0

A=(4m—3)2—4(4m2—8m+4)

=8m—7,

又•,•直线/与抛物线F?有且只有一个交点，

:.87n—7=0,

••m=-

【点睛】本题考查了代入法求一次函数、二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，相似三角形的判定和

性质，翻折问题，交点情况即一元二次方程解的情况；解题的关键是熟练掌握相关性质，灵活求解.

【题型5利用轴对称求最值】

【例5】（2023•辽宁盘锦•统考中考真题）如图，四边形48。是矩形，=4。=4或，点。是边4。上

一点（不与点人，。重合），连接尸B,PC.点M,N分别是PB,PC的中点，连接MN,AM,ON,点E在

边力。上，MEIIDN,则力M+ME的最小值是（）

A.2V3B.3C.3A/2D.4V2

【答案】C

【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得工M=：8P,DN="P,通过证明四边形MNDE是平行四边形,

2z

可得ME=CN,则4M+ME=AM+DN=^(BP+CP),作点C关于直线力。的对称点M,则BP+CP=BP+

PM，点B，P,M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为6M.

【详解】解：•••四边形是矩形，

LBAP=乙CDP=90°,ADWBC,

•.点M,N分别是P8,PC的中点，

AM=^BP,DN=/P,MN=；BC,MNWBC,

•••ADWBC,MNWBC,

:.MNII8C,

又；MEIIDN,

二四边形MND£是平行四边形，

:.ME=DN,

・•・AM+ME=AM+DN=：(BP+CP),

如图，作点C关于直线力。的对称点M,连接PM,BM,

则BP+CP=8P+PM,

当点8,P,M三点共线时，8P+PM的值最小，最小值为BM,

在Rt△8CM中，MC=2CD=2A3=2<10,BC=AD=4vL

•••BM=y/BC2+MC2=J（4&y+（2V10）2=65/2,

:.AM+ME的最小值==372,

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴

对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想.

【变式5-1］（2023・江苏盐城・统考模拟预测）如图，已知，等边中，/IF=6,将△48C沿力。翻折，得

到A/1OC,连接交力C于。点，E点在。。上，且DE=2OE,尸是BC的中点，P是4C上的一个动点，则

|PF-PE|的最大值为.

【答案】V3

【分析】由折叠可证四边形48CD为菱形，8。是4c边上的中线，如图，连接力E、AF.PM,交BD于M,4F是

BC边上的中线，48AC的角平分线，则BM=2OM,AM=2MF,LCAF=30°,由OE=2OE,可得OM=OE,

则PE=PM,AE=AM,|PF—尸E|=I尸F-PM|,可知当点夕运动到点A时，|PF—尸E|最大，最大为FM,

勾股定理求4F=VAC?-CF?=3百,则计算求解即可.

【详解】解：ABC为等边三角形,AB=6,

•••AB=AC=BC=6,

•••将△48C沿AC翻折，得到△ADC,

•••AD=CD=BC=AB=6,

•••四边形48C0为菱形，

：.DO=BO,AO=CO=3,BD1AC,

・•・8。是AC边上的中线，

如图,连接4E、AF.PM,交BD于M,

DA

C、B

•・•尸是BC的中点,

••//是8。边上的中线，的角平分线,

：.BM=20M,AM=2MF,Z-CAF=30°,

*：DE=2OE,

：.OM=OE,

•:BD1AC,

：.PE=PM,AE=AM,

：.|PF-PE\=\PF-PM\f

・•・当点P运动到点A时，IPF-PEI最大，最大为广M,

・：“AF=30°,

：,CF=3,

由勾股定理得，AF=>/AC2-CF2=373,

：,FM=^AF=V3,

故答案为：V5.

【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，

等腰三角形的判定与性质，含30。的直角三角形等知识.根据题意确定最大值的情况是解题的关键.

【变式5-2］（2023•江苏宿迁・统考二模）如图，菱形4BCD的边长为10,tanA=%点M为边AD上的一个动

点且不与点4和点。重合，点A关于直线8M的对称点为点4,点N为线段C4的中点，连接DM则线段DN

长度的最小值是.

【答案】A/65-5

【分析】根据4A关于直线对称，得到84=10,取BC的中点K,NK是△4BC的中位线，则NK=5,

作DH1BC,根据tanA=士可求出。H=8,CH=6,在Rt△DHK中,由勾股定理求得。K的值，再根据三角

3

形的三边关系即可求出答案.

【详解】解：如图，连接BA,取EC的中点K,连接NK,作。"J.BC于".

•・•四边形48CD是菱形，

••AB=BC=CD=AD=10,Z.A=Z.DCB,

•・•点A关于直线BM的对称点为点片,

・・・84=BA=10,

•・•点N为线段的中点，点K是BC的中点，

•••NK是△48C的中位线，

：,

.NK=-2BA=5,

VtanA=tanz.DCH=7^=-»

CH3

：,DH=4x,CH=3x,

在中，由勾股定理得。"2+C〃2=CO2,

/.16x2+9x2=100,

解得％=2（负值舍去），

：.CH=6,DH=8,

*：CK=0=5,

：.HK=CH-CK=1,

:,DK=y/DH2+KH2=V65,

■:DN>DK—NK,

：.DN>V65-5,

・•・ON的最小值为夜—5,

故答案为：V65-5.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形中位线定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，三

角形三边关系的应用，正确作出辅助线是解题的关键.

【变式5-3］（2023•浙江・统考二模）如图，在正方形48CC中，点E为边BC上一个动点，作点B关于4E的对

称点8’，连接并延长。夕，交4f延长线于点凡连接38',BF.

⑴求证：BF=B'F.

⑵求匕BB'D的度数.

（3）若4B=2.在点E的运动过程中，求点尸到8C距离的最大值.

【答案】（1）证明见解析

(2)135°

(3)^/2-1

【分析】（I）根据题意可得/E垂直平分/?夕，则B尸二夕F；

（2）如图所示，连接力9，证明A8=A/T=A〃，得至ijNAy”=418'乩Z-ADBf=Z-ABrD,根据四边形内

角和定理求出匕/8夕+Z-AB'B+LADB'+乙AB'D=270°,即可得到48夕0=MB'B+^AB,D=135°；

（3）如图所示，连接4C、8。交于。，设B1与力尸交于从先求出4”0=45。，则点尸在以点。为圆心，V2

为半径的圆弧上运动，即劣弧8C上运动；过点。作。M18C交BC于N,交。。于M,则点尸到BC距离的

最大值即为EM的长，由此求出答案即可.

【详解】（1）证明：•・•点B关于HE的对称点为8',

垂直平分8夕,

：.BF=B'F；

（2）解:如图所示，连接力8',

•・YE垂直平分BB',

：.AB=AB,,

•••四边形/BCD是正方形，

：.AB=AD,/.BAD=90°,

：.AB=ABf=AD,

：.LABB'=Z.AB'B,Z.ADBr=/.AB'D,

+乙AB'B+/.ADB'+乙AB'D+匕BAD=360°,

"ABB'+乙AB'B+Z.ADB'+乙AB'D=270°,

:•乙BB'D=十乙AB'D=135°；

（3）解：如图所示，连接4GBD交于O,设BB'与AF交于H,

由（2）得N尸8'H=180°-乙BB'D=45°,

•：FH1BB',

：.LAFD=45°,

•・•四边形48。。是正方形，

：.OA=OD=-AC=—AB=V2Z.AOD=90°,

22f

・•・点尸在以点。为圆心，鱼为半径的圆弧上运动，即劣弧BC上运动，

过点。作0Ml8c交夙?于N,交00于M,则点r到8C距离的最大值即为EM的长,

在RtAOBN中，BN=-BC=1,0B=瓜

：,0N=y/OB2-BN2=1,

：,ME=V2-1,

・•・点/到BC距离的最大值为四-1.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，四边形内角和定理，垂径定理，等腰二角形的性质

与判定等等，正确确定点尸的运动轨迹是解题的关键.

【题型6根据中心对称的性质求面积、长度、角度】

【例6】(2023•江苏泰州・统考二模)如图，在平面直角坐标系中，△力8。的顶点4、。分别是直线了=一,％+4

与坐标轴的