统计案例与线性回归分析

第62讲：统计案例与线性回归分析

一、课程标准

1、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.

2、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

3、了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用，能通过计算判断两个变量的相关程度.

二、基础知识回顾

1.变量间的相关关系

(1)常见的两变晟之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系

是一种非确定性关系.阑体现的不一定是因果关系

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布

在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关.

2.两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间

具有线性相关关系，这条直线叫做回归宜•线.

(2)1可归方程为H=yx+aA，其中其中aA，B是待定参数，错误!(yLbxi-a)2的最小值而得到回归直线

的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.

(4)相关系数：

当r>0时，表明两个变量正J眩；当rVO时，表明两个变量负相关.

I•的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于。，表明两个变量之间几乎

不存在线性相关关系.通常卜|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.

3.独立性检验

⑴2X2列联表

(2)独立性检验

n(nd—he)2

利用随机变量K2(也可表示为片)的观测值k=(a+b)91c)(b+d)(其中n=a+b+

c+d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验.

常用结论

(I)求解回归方程的关键是确定回归系数心，bA，应充分利用归I归直线过样本中心点(X-，丫一).

(2)根据Y的值可以判断两个分类变最有关的可信程度，若K?越大，则两分类变最有关的把握越大.

(3)根据回归方程计算的b人值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

三、自主热身、归纳总结

1、根据如下样本数据

X345678

y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

得到的回归方程为y=bx+a，则()

A.a>()，b>()B.aX)，b<()

C.a<0»b>0D.a<0，b<0

2、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表:

收入x(万元)8.28.610.011.311.9

支出y(万元)6.27.58.08.59.8

根据卜表可得回归直线方程y=hx+a，其中b=0.76*a=y---hx—.据此估计，该社区一户年收入为15

万元家庭的年支出为()

4.11.4万元4.11.8万元

C.12.0万元D12.2万元

3、己知x,y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y/\=0.95x+a八，

则aA=________

X0134

y2.2434.86.7

5、为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2X2列联表:

理科文科

男1310

女720

已知P(K223.841)弋0.05,P(IC25.024)=0.025.根据表中数据,得到K2的观测值1<=

年胃,4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为.

X乙3'八//入ZX）入3U

四、例题选讲

考点一线性回归方程

例1、已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数元=3,y=3.5,则由该观测的数据算得的线

性回归方程可能是

A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2A

C.?=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4

变式1、有下列数据:

X-2〃3-

y,3-5.99-12.0产

下列四个函数中，模拟效果最好的为（

A.y=3x2'TB.y=log,xC.y=3xD.y=x2

变式2、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费工（单位：千元）对年捎售量）'（单位：

/）和年利润Z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费占和年销售量x（i=l,2,...8）数据作了初步处理，得

到下面的散点图及一些统计量的值.

//

62c

5HO

3r>o

口3■

520

5CX).

4f4363k4()4亍AA-4K50525ft,

《I：力传快/TTC

kiX

有下列5个曲线类型：①了二位+G：②歹=cJ7+d；③y=〃+t/lnx：®y=k[+e；⑤＞二^^十6，

则较适宜作为年销售量）'关于年宣传费x的回归方程的是（）

A.①@B.②③C.②④D.③⑤

变式3、对具有线性相关关系的两个变量”和丁，测得一组数据如卜表所示：根据表格，利用最小二乘法得到

回归直线方程为y=10.5x+L5,则小一()

X24568

y20406070in

A.85.5B.80C.85D.90

方法总结：数据处理，要求结合散点图，初步建立线性回归的直观感知:

(1)依托数据，结合公式准确计算线性回归方程的相关系数值；

(2)根据线性回归方程，正确使用回归方程进行估计.

考点二独立性检验

看书运动合计

男82028

女161228

合计243256

例2、在对人们休闲方式的一次调杳中，根据数据建立如下的2x2列联表：

根据表中数据，得到K?=56x(8x1276x20);4.667,所以我们至少有()的把握判定休闲方式与

28x28x24x32

性别有关系.(参考数据:P(K2>3.841)«0.05,P(K2>6.635)^0.01)

A.99%B.95%C.1%D.5%

变式1、某研究性学习小组调杳研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表

不使用智能手机”

使用智能手机合计

:学刀龙绩优秀4812

学习成绩不优秀16■218

合计•201030

(参考公式：K~=------------------------------,其中〃=4+Z?+c+d.)

(〃+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

附表:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

则下列选项正确的是（）

A.芍99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

c.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D.芍99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

变式2、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）

A.若K?的观测值为〃=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99

人患有肺病；

B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可.能患有

肺病；

C.若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误；

D.以上三种说法都不正确.

变式3、为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如卜.：

未发病发病总计

未注射疫苗20XA

注射疫苗30yB

总计5050100

2

现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为

(I)求2X2列联表中的数据x，y，A，B的值.

(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率?

(3)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提卜认为疫苗有效？

n(ad-be)2

附：附=，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P(K2^k0)0.050.010.0050.001

k03.8416.6357.87910.828

方法总结：(1)根据题意完善2X2列联表，再计算观测值K2，对照临界值表即可得出结论；

(2)理解右的运算过程以及在实际问题中的统计学意义.

考点二、统计案例与线性回归分析的综合

例3、某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢

甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人。南方学生中有20人不喜欢甜品.(1)完成下列2x2列联表：

喜欢甜品不喜欢甜品合计

南方学生

北方学生

合计

(2)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〃；

(3)已知在被调查的南方学生中有6名数学系的学生，其中2名不喜欢甜品；有5名物理系的学生，其中1名

小喜欢甜品.现从这两个系的学生中，各随机抽取2人，记抽出的4人中小喜欢甜品的人数为X,求X的分

布列和数学期望.

附：*(Q+Z?、)/(c+叱d)(〃*+c)(/?+d)

0.150.1000.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

变式1、【吉林省梅河口市第五中学2017-2018学年高二下学期期末】某中学一名数学老师对全班50名学生某

次考试成绩分男女生进行统计，其中120分(含120分)以上为优秀，绘制了如图所示的两个频率分布直方

图：

男生女生

(1)根据以上两个直方图完成下面的2x2列联表:

性别成绩优秀不优秀总计

男生

女生

总计

（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

尸（片居）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

n(ad-bc)~

附：K2其中〃=〃+〃+c+d.

(a+b)(^c+cl)(a+c)(b+d)

变式2、（2020届山东省德州市高三上期末）某公司为了了解年研发资金投人量X（单位：亿元）对年销售额

V（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量X：和年销售额%的数据，进行了对比分析，建

立了两个函数模型：①y-a+4%2,②y=/x”，其中。、0、义、/均为常数，e为自然对数的底数.并得

到一些统计量的值.令〃匕=lny.（i=l,2,…,12）,经计算得如下数据：

2

Xy拈T白…)’WV

1=11=1

20667724604.20

£（'；-V）2白玉-矶匕T

2(%-祖%-5)

11=1r«l

312502153.0814

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？

（2）（0）根据（1）的选择及表中数据，建立）,关于X的I可归方程;

（0）若下一年销售额）'需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?

附：①相关系数厂二1日

丁…）5（…『

回归直线^陞江菽中公式分别为：人=J--------:—，S=y-K：

Z"）

1=1

②参考数据：308=4x77,廊*9.4868，e44998«90.

变式3、（2020•湖北高三期末（理））某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019

年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如卜.人数分布表.

购买金额（元）[0J5)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]

人数101520152010

（1）根据以上数据完成2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

不少于60元少于60元合计

男40

女18

合计

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为〃（每次

抽奖互不影响，且〃的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10

元，中奖3次减15元.若游客甲卜划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期

望.

附：参考公式和数据：K2=（i）（L）（」c）（"d）'…+"c+"•附表：

即2.0722.7063.8416.6357.879

pR..k°)0.1500.1000.0500.0100.005

方法总结：统计案例与线性回归分析的综合往往涉及到直方图、概率等综合性问题，对于此类问题可以从以

下两个方面入手：1、理解直方图具体时间频率与概率的对应关系，独立事件的概率计算过程；理解列联表的

数据生成，以及使用公式进行基本运算，学会利用运算结果进行简单的数据分析：2、数学期望是离散型随机

变量中重要的数学概念，反映随矶变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先

要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取

每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其

是正态分布的3。原则.

五、优化提升与真题演练

1、（2020年高考全国⑦卷理数）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的

关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（K，£）（i=L2,…,20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40＜之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度*的回归方程类

型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=«+Z?lnx

2、（2018年高考全国H卷理数）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折

线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变吊/的两个线性回归模型.根据2000年至

2016年的数据（时间变量，的值依次为1，2,…，17）建立模型①：y=-30.4+13.5/：根据2010年至2016年

的数据（时间变量/的值依次为1，2,…，7）建立模型②：》=99+17.5/.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

3、（2020年高考全国团卷理数）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方

法抽取20个作为样区，调查得到样本数据依，2,...»20）,其中为和力分别表示第/•个样区的植

物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得£七二60,£^.=1200,£（A;-X）2=80,

1=1/=||=|

2020

2（其一了）2=9000,「衿=800.

I=II=I

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平

均数乘以地块数）；

（2）求样本（x”y））（i=l,2.......20）的相关系数（精确到Q01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生

动物数最更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

?（%-无）（y-刃

附：相关系数旦-----------------V2«1.414.

j七（七-1）2次

V（=1/=1

4、（2020年高考全国III卷理数）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公

园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）:

锻炼人次

人次

[0,200](200,400](400,600]

空气质量等级

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2,3,4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则称

这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握

认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次“00人次＞400

空气质量好

空气质量不好

,n(ad-bcY。(K2》)0.0500.0100.001

附：K------1~-----

(U1UjC十Cl)\Cl\C1(Tu1

k3.8416.63510.828.

5、（2020年高考山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查

了100天空气中的PM2.5和SO?浓度（单位：|ig/m3）,得下表：

so,[0.501(5O,15O|(150.4751

PM2.5^\

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150〃的概率;

（2）根据所给数据，完成卜.面的2x2列联表：