广西桂林市龙胜中学2025年数学高二第一学期期末联考模拟试题含解析

广西桂林市龙胜中学2025年数学高二第一学期期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记为等差数列的前n项和，有下列四个等式，甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（）A. B.C. D.3．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.4．已知中，内角所对的边分别，若，，，则（）A. B.C. D.5．函数的导数记为，则等于（）A. B.C. D.6．已知集合，，则A. B.C. D.7．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A B.C. D.8．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.9．椭圆的焦点坐标为（）A. B.C. D.10．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）A. B.C. D.11．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.1612．变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线恒过定点，则定点坐标为________14．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.15．经过点，的直线的倾斜角为___________.16．点到直线的距离为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴且焦点在轴上，抛物线：，若抛物线的焦点在椭圆上，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率存在且不为零的直线满足：与椭圆相交于不同两点、，与直线相交于点.若椭圆上一动点满足：，，且存在点，使得恒为定值，求的值.18．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.19．（12分）已知命题；命题.（1）若p是q的充分条件，求m的取值范围；（2）当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.20．（12分）已知圆，圆.（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长22．（10分）已知，以点为圆心圆被轴截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁不成立，验证得到答案【详解】设数列的公差为，若甲不成立，则，由①，③可得，此时与②矛盾；A错，若乙不成立，则，由①，③可得，此时；与②矛盾；B错，若丙不成立，则，由①，③可得，此时；与②矛盾；C错，若丁不成立，则，由①，③可得，此时；，D对，故选：D.2、A【解析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.【详解】设，中点，则，，又，，则，所以，又，则，而，，所以，即，综上，，整理得，即为M的轨迹方程，所以在圆心为，半径为的圆上，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程.3、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.4、B【解析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】在中，由正弦定理得：.故选：B.5、D【解析】求导后代入即可.【详解】，.故选：D.6、B【解析】由交集定义直接求解即可.【详解】集合，，则.故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.7、B【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为令，得；令，得故所求三角形的面积为故选：B8、D【解析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作答.【详解】依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：，由双曲线对称性知，，于是得，即，又双曲线半焦距c=2，所以双曲线的离心率.故选：D【点睛】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.9、B【解析】根据方程可得，且焦点轴上，然后可得答案.【详解】由椭圆的方程可得，且焦点在轴上，所以，即，故焦点坐标为故选：B10、D【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，，因此以为直径的圆的标准方程为：，而圆：，得：，即为直线的方程，由，所以直线经过定点，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.11、C【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.输出的i值为13.故选：C.12、C【解析】本题先求样本点中心，再利用线性回归方程过样本点中心直接求解即可.【详解】解：，，所以样本点中心：，线性回归方程过样本点中心，则解得：，故选：C【点睛】本题考查线性回归方程过样本点中心，是简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】解方程组可求得定点坐标.【详解】直线方程可化为，由，可得.故直线恒过定点.故答案为：.14、160【解析】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为，∴此样本中男生人数为，故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题15、【解析】根据两点间斜率公式得到斜率，再根据斜率确定倾斜角大小即可.【详解】根据两点间斜率公式得：，所以直线的倾斜角为：.故答案为：16、【解析】应用点线距离公式求点线距离.【详解】由题设，点到距离为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）先求得椭圆的，代入公式即可求得椭圆的方程；（2）以设而不求的方法得到两根和，再由条件，得到四边形为平行四边形，并以向量方式进行等价转化，再与恒为定值进行联系，即可求得的值.【小问1详解】由条件可设椭圆：，因为抛物线：的焦点为，所以，解得因为椭圆离心率为，所以，则，故椭圆的方程为【小问2详解】设直线：，，，把直线的方程代入椭圆的方程，可得，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，得，即，得由在椭圆上可得，，即因为，又所以，所以将代入得，所以，即.【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。18、（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；.【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.【详解】1函数的定义域是R，，令，解得令，解得或，所以的单调递增区间为，单调减区间为和；2由在单调递减，在单调递增，所以，而，，故最大值是.19、（1）；（2）.【解析】（1）解不等式组即得解；（2）由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.【小问1详解】解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，有；【小问2详解】解：当时，有，由题意知，p、q一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，综上，x的取值范围为20、（1）圆C与圆M相交，理由见解析（2）或【解析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【小问1详解】把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.21、（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面平面，因为⊥，且平面所以⊥平面因为平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因为，，，所以，所以⊥.所以，建立空间直角坐标系，如图所示所以，，，，，，.易知平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设二面角的平面角为，可知为锐角，则，即二面角的余弦值为（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，因为，所以，.又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以所以，所以.22、（1）（2）或【解析】（1）根据