江苏省滨海县2026届数学高二上期末质量检测模拟试题含解析

江苏省滨海县2026届数学高二上期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线，若异面，，则的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面2．若两个不同平面，的法向量分别为，，则（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正确3．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎4．已知，，，则最小值是（）A.10 B.9C.8 D.75．已知双曲线，过左焦点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若弦的长恰等于实铀的长，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C.2 D.7．已知函数，在上随机任取一个数，则的概率为（）A. B.C. D.8．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B.C. D.9．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A.120 B.84C.56 D.2810．在长方体中，（）A. B.C. D.11．倾斜角为120°，在x轴上截距为－1的直线方程是（）A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝012．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在四棱锥中，O是AD边中点，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求证：平面POC；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.14．已知点P在圆上，已知，，则的最小值为___________.15．正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为___________.16．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：，直线l经过点，且与抛物线C交于M，N两点，其中.（1）若，且，求点M的坐标；（2）是否存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，若存在，请求出正数m，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知函数为常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象与直线相切，求实数的值；（3）当时，在上有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：，点，过点的直线l与抛物线交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，（1）求抛物线的标准方程；（2）若点A在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值20．（12分）设等差数列的前项和为（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和21．（12分）已知椭圆，离心率分别为左右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点.过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值.22．（10分）如图，在直三棱柱中，，是中点.（1）求点到平面的的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D2、B【解析】由向量数量积为0可求.【详解】∵，，∴，∴，∴，故选：B.3、A【解析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.4、B【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值【详解】∵，，，∴＝，当且仅当，即时等号成立故选：B5、B【解析】求出，进而求出，之间的关系，即可求解结论【详解】解：由题意，直线方程为：，其中，因此，设，，，，解得，得，，弦的长恰等于实轴的长，，，故选：B6、A【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，，即，故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来7、A【解析】先解不等式，然后由区间长度比可得.【详解】解不等式，得，所以，即的概率为.故选：A8、D【解析】设直线倾斜角为，则，即可求出.【详解】设直线的倾斜角为，则，又因为，所以.故选：D.9、B【解析】按照框图中程序，逐步执行循环，即可求得答案.【详解】第一次循环：，，第二次循环：，，第三次循环：，，第四次循环：，，第五次循环：，，第六次循环：，，第七次循环：，，退出循环，输出.故选：B10、D【解析】根据向量的运算法则得到，带入化简得到答案.【详解】在长方体中，易知，所以.故选：D.11、D【解析】由倾斜角求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式【详解】由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.故选：D.【点睛】本题考查直线方程的斜截式，属于基础题12、A【解析】延长交延长线于N,则选:A.【点睛】涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意，证明BCOA是平行四边形，从而可得，然后根据线面平行的判断定理即可证明；（2）证明BCDO是平行四边形，从而可得，由题意，可建立以为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【小问1详解】证明：由题意，又，所以BCOA是平行四边形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小问2详解】解：，，所以BCDO是平行四边形，所以，，而，所以，以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面ABP的一个法向量为，则，取x=1，则，，所以，设直线PC与平面PAB所成角为，则，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.14、【解析】推导出极化恒等式，即，结合最小值为，求出最小值.【详解】由题意，取线段AB中点，则，，两式分别平方得：①，②，①－②得：，因为圆心到距离为，所以最小值为，又，故最小值为：.故答案为：15、【解析】分别计算，，作差得到答案.【详解】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为，，，故.故答案为：.16、【解析】分析：应用换元法，令，，不等式恒成立，转化为在恒成立，确定关系式，即可求得答案.详解：函数对称轴，最小值令，则恒成立，即在上.，在单调递增，，解得，即实数的取值范围是故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）存在，【解析】（1）确定点为抛物线的焦点，则根据抛物线的焦半径公式，结合抛物线方程，求得答案;（2）假设存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，可推得，由此可设直线方程，联立抛物线方程，利用根与系数的关系，代入到中，可得结论.【小问1详解】依题意得为的焦点,故，解得,故，则∴点的坐标或;【小问2详解】假设存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点,∴，设直线：，，，由,得,则，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点.18、（1）答案见解析；（2）7；（3）【解析】（1）根据题意求得，讨论，，，时解，即可得出函数的单调区间；（2）设切点为则结合，得令通过求导研究单调性解得进而解出的值.（3）由已知可得解析式，观察有，求导得原题意可转化为函数在上有两个不同零点.结合根分布可得，函数的两个极值点为是在上的两个不同零点可得且，代入函数中令通过单调性求出进而可得答案.【详解】解：(1)，令，解得：①当时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增；②当时，由得或由得所以在上单调递减，在上单调递增；③当时，恒成立，所以上单调递增.④当时，由得或由得所以在上单调递减，在上单调递增.综上：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递减，在上单调递增；③当时，在上单调递增.④当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)设切点为则(*)，由可得(**)，联立(*)(**)可得，设则，所以在单调递增，在单调递减，又，所以，所以.（3）由已知可得令由题意知在上有两个不同零点.则，因为函数的两个极值点为，则和是在上的两个不同零点.所以且，所以令则所以在上单调递增，所以有其中，即又恒成立，所以故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19、（1）.（2）8.【解析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.（2）设直线AB为，代入联立得关于的一元二次方程，运用韦达定理，得到关于的函数关系，再求函数最值.【小问1详解】当l与抛物线的对称轴垂直时，，，则代入抛物线方程得，所以抛物线方程是【小问2详解】设点，，直线AB方程为，联立抛物线整理得：，，∴，，有，由A在第一象限，则，即，∴，可得，又O到AB的距离，∴，而，∴，，当，，单调递减；，，单调递增；∴的最小值为,此时，.20、（1）；（2）.【解析】（1）根据等差数列前n项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）结合（1）求出，再令得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案.【小问1详解】设等差数列的首项和公差分别为和，∴，解得：所以.【小问2详解】，所以.当；当，当，时，，当时，.综上：.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）方法一：根据离心率以及，可得出，将条件转化为点在以为直径的圆上，即为圆与椭圆的交点，将的面积用表示，求出，进而求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义，，再根据勾股定理和直角三角形的面积公式，即可解得，又由离心率求出，则可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理表示出，再将直线的方程代入椭圆方程，求出，则为定值.【小问1详解】方法一：由离心率，得：，所以椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得所以，解得：，所以椭圆的标准方程为：.方法二：由椭圆定义；，因为，所以，得到：，即