江苏南京江宁高级中学2025~2026学年高二上册9月调研考试数学试卷（含解析）

高二年级调研考试数学试卷试卷满分150分120分钟(本大题共8小题5分40分)1.已知直线l的倾斜角为60°,(0,1),il的方程为()A.y=√3xB.y=√3x-2C.y=√3x+12.某圆锥的底面半径为1,5,()A.πB.5πC3.复数(其中i为虚数单位),z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知事件A和事件B独立P(A)=P(B)=0.3,P(A+B)=()A.0.21B.0.51C.0.795.已知平面α和不重合的两条直线m,n,()截得弦长为()的斜率分别为k₁,k₂,k₁+k₂=()8.已知平面向量a,B,さ均为单位向量å与6的夹角为60°,(c-a)·(C-26)的最大值为()A.2+√3B.4C.2+√7二让(本大题共3小题6分18分)10位答题的正确率如下图------------------------------●------------------------------------------------------------------------------*------------------------------●-----------------*-------------*---*讲座前●讲座后95%85%80%75%01居民编号则下列不正确的是()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差A.C₁,C₂的焦点都在x轴上B.C,C₂的焦距相等C.C₁,C₂没有公共点D.C₂离心率e₂比C₁离心率e₁小11.已知向量å=(2,4),,则下列说法正确的是()A.若m=1,则(a-č)⊥6B.若a//6,则C.a在č上的投影向量为čD.b-的最小值为√7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(1)若a=1,求过点(1,0)且与直线l平行的直线方程；16.已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别17.记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b²=ac,点D在边AC上，BDsin∠ABC=(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.(2)若AC=BC=CC₁,∠ACB=90°,求二面角N-CM-B的正切值；(3)若AC=2√2,AB=4,∠ACB=90°,MN⊥A₁C,求A₁C与平面CMN所成角的正弦值.19.在平面直角坐标系XO1中，yy工工0(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C₁截得的弦长为2√3,求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂,它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.高二年级调研考试数学试卷试卷满分150分120分钟(本大题共8小题5分40分)1.已知直线l的倾斜角为60°,(0,1),l的方程为()A.y=√3xB.y=√3x-2C.y=√3x+1D.y=√3x+32.某圆锥的底面半径为1,5,()A.πB.5πC3.复数(其中i为虚数单位),z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限故z在复平面内对应的点坐标为(1,1),故选A.4.已知事件A和事件B独立P(A)=P(B)=0.3,P(A+B)=()A.0.21B.0.51C.0.79则P(A+B)=P(A)+P(B-P(AB=0.3+0.7-0.21=0.79.5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,()对C:若m//n,m//α,则n//α或nCα,错误；6.⊙C₁:(x-1)²+y²=4与⊙C₂:(x+1)²+(y-3)²=9相交弦所在直线为1,则I被⊙O:x²+y²=4截得弦长为()【详解】解：由⊙C₁与◎C₂的方程相减得l:2x-3y+2=0.∴截得弦长为【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.7.已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为⊙M的一条直径.设过点C(2,-1)且与⊙M相切的两条直线的斜率分别为k₁,k₂,则k₁+k₂=()【详解】由于点A(-1,1),B(3,3),线段AB为⊙M的一条直径，故圆心,即M(1,2),圆的半径为由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为y=k(x-2)-1,由相切可得化简可得2k²-3k-2=0,故k₁,k₂是方程2k²-3k-2=0的两个根8.已知平面向量å,6,さ均为单位向量，若å与6的夹角为60°,则(c-a)·(c-26)的最大值为()A.2+√3B.4C因为(c-å)·(c-26)=2+2a·B-č·(a+26)=2-č·(+26).二、多项选择题(本大题共3小题，第小题6分，共18分)9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：----*----------------●讲座后0居民编号则下列不正确的是()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【详解】对于选项A,讲座前问卷答题的正确率的中位数为,故A不正确；对于选项B,在讲座后问卷答题的正确率中，1个80%,4个85%,剩下的5个大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,故B正确；对于选项C,讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座对于选项D,讲座后问卷答题的正确率的极差为100%—80%=20%,而讲座前问卷答题的正确率的极差为95%—60%=35%>20%,故D不正确.10.已知椭圆C₁:5x²+y²=5,C₂:A.C₁,C₂的焦点都在x轴上B.C₁,C₂的焦距相等C.C₁,C₂没有公共点D.C₂离心率e₂比C₁离心率e₁小【详解】因为椭圆C₁的标准方程为,所以C₁的焦点在y上，所以A不正确；因为椭圆C₁的焦距为2√5-1=4,椭圆C₂的焦距为2√16-12=4,所以B正确；联立椭圆C₁,C₂的方程,消除y²,得-17x²=28,所以x无解，故椭圆C₁,C₂没有公共因为椭圆C₁的离心率为,C₂的离心率为,所以e₁>e₂,所以D正确.11.已知向,则下列说法正确的是()C.a在さ上的投影向量为さD.b-的最小值为√7【详解】若m=1,a—č=(-1,1),B=(1,1),所以(a-c)·B=-1×1+1×1=0,若a//6,则,解得,故B错误；a在さ上的投影向量为故C正确； 令,当m>0时，则由均值不等式，当且仅当m=1时取等当m<0时当且仅当m=-1时取等号，则b-c|=√t²-6t+16=√(t-3)²+7(t≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成45°角，水面形状是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为·【答案设圆柱底面半径是r,则椭圆的长轴,短轴2b=2r,离心率由题知注意到,进(1)若a=1,求过点(1,0)且与直线l平行的直线方程；【小问1详解】则过点(1,0)且与直线l平行的直线方程为y=2(x-1),【小问2详解】由可得x=-4,y=-4,即直线l经过一个定点M(-4,-4);因为koM=1,所以k₁=-1,所以直线l的方程为y+4=-(x+4),16.已知椭圆1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F₁,F₂,且椭圆经过点(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆上任意一点，求证：P到F₂距离与P到直线x=4距离之比为定值；(3)设P为椭圆上任意一点，当∠F₁PF₂最大时，求△FPF₂【小问1详解】所以所求椭圆的方程为【小问2详解】由(1)得F(1,0),设P(ro,yo),则令P到直线x=4距离为d,则所以P到F₂距离与P到直线x=4距离之比为定值.【小问3详解】,当且仅当|PF|=|PF|=2时取等号，由余弦函数y=cosz在(0,π)上单调递减，得当|PF|=|PF₂|=2时，∠F₁PF₂取最大值所以当∠F₁PF₂最大时，△FPF₂的面积为√3.【答案】(1)证明见解析；【详解】(1)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理，又因为b²=ac,所以BD=b.(2)[方法一]【最优解】:两次应用余弦定理或由①②得a²+b²-,整理得又因为b²=ac,所以6a²—11ac或当时，(舍去).所以[方法二]:等面积法和三角形相似C故[方法三]:正弦定理、余弦定理相结合由(1)知BD=b=AC,再由在△ABC中，由正弦定理知,又由b²=ac,[方法四]:构造辅助线利用相似的性质所以整理得6a²-11b²+3c²=0.下同解法1.[方法五]:平面向量基本定理以向量BA,BC为基底，有由余弦定理得b²=a²+c²-2accos∠ABC,所以ac=a²+c²-2accos∠ABC④联立③④,得6a²-1lac+3c²=0.所以或下同解法1.[方法六]:建系求解以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，DC长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则D(0,0),A(-2,0),C(1,0).由(1)知，BD=b=AC=3,所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动.设B(x,y)(-3<x<3),则x²+y²=9.⑤联立⑤⑥解得或(舍去),代入⑥式得,c=IBA|=√6,b=3,由余弦定理得18.如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M,N分别为AB和B₁C₁的中点.(2)若AC=BC=CC₁,∠ACB=90°,求二面角N-CM-B的正切值；(3)若AC=2√2,AB=4,∠ACB=90°,MN⊥A₁C,求A₁C与平面CMN所成角的正弦值.【小问1详解】如图，取AC的中点P,连接PM、PC,因为M、P分别为AB、AC的中点，所以PM//BC且又因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，N为B₁C₁的中点，所以BC//C₁N且故四边形PMNC₁是平行四边形，从而MN//PC₁,B【小问2详解】以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AC=BC=CC₁=2,则C(0,0,0)平面CMB的法向量为n₁=(0,0,1),设平面CMN的法向量为n₂=(x,y,z),CM=(1,1,0),CN=(0,1,2),则,令z=1,得y=-2,x=2,故n₂=(2,-2,1),设二面角N-CM-B的平面角为θ,则【小问3详解】设CC₁=h,则C(0,0,0),A(2√2,0,0),B(0,2√2,0),A₁(2√2,0,h),M(√2,√2,0),N(0,√由MN⊥A₁C得MN·A₁C=4-h²=0,