圆锥曲线的解法探究

圆锥曲线中的相关问题是高中数学的重要内容，在历年高考中，它一直都是高考的热点和重点，具有综合性强、涉及的知识面广的特点，如何理解和掌握，并解决有关圆锥曲线的问题，是教师在授课，学生在学习求解过程中的重点和难点。下面将几种较典型的方法：定义法、参数法、直译法分别通过实例，探究他们在解题中各自的优越性及选择的原则。现行人教版高中数学教材中的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，圆锥曲线的定义既是教材最重要的基本内容，也是解决许多有关圆锥曲线问题的一种重要方法。在许多题型的问题中都与圆锥曲线的定义有着密切联系，有的需要利用圆锥曲线的定义进行求解会更便捷。一定要强化对圆锥曲线定义的理解和应用，要积极主动地培养我们应用定义解题的意识。在介绍定义法之前，先给出圆锥曲线椭圆的第一定义：平面内到两定点Fi、F₂的距离的和等于常数2a(2a>F₁F₂|)的动点P的轨迹叫做椭圆，其中两定点Fi、F₂叫做它的焦点；椭圆的第二定义：平面内，若动点P到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是一个小于1的定常数e,则P的轨迹叫做椭圆。双曲线的第一定义：平面内到两定点Fi、F₂的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F₁F₂|)的动点P的轨迹叫做双曲线，其中两定点Fi、F₂叫做它的焦点；双曲线的第二定义：平面内，若动点P到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是一个大于1的定常数e,则P的轨迹叫做双曲线。抛物线的定义：平面内，若动点P到一个定点F的距离和到一条定直线的距离相等，则P的轨迹叫做抛物线换而言之：平面内，若动点P到一个定点F的距离和到一条定直线的距离之比e=1,则P的轨迹叫做抛物线。圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。1.利用圆锥曲线的定义求轨迹方程例题1.已知两定圆C₁:x4²y²24,C:C₂中的一个外切，另一个内切求动圆圆心M的轨迹方程。如图1所示：分析：对于求轨迹方程的一般方法是有关建立改点的方程，这样就可以通过运算到M到C,C2的差为定值解：不妨设Mx,y与C₁外切，与C₂内切，圆的半径为R由双曲线的定义可知，动圆Mx,y的轨迹方程是点评：利用双曲线的第一定义快捷地得到解题，同时省略了较为复杂的运算2.利用圆锥曲线的定义证明例题2.(2001年广东、河南理科高考试题)已知椭圆1的右准线1与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交与A、B两点，点C在右准线上，且BC//x轴。求证：直线AC经过线段EF的中点。(本题对原题略有改动)分析：对直线AC经过线段EF的中点进行求证，使用一般的证明中点的方法，较为复杂。解：如图2所示，作AD垂直右准线1于点D,则AD//EF//BC.点评：用椭圆的第二定义与平行线切割定理快捷地得到证明3.利用圆锥曲线的定义求最值例题3.如图3所示，已知抛物线y²4x,一定点A3,1,F是抛物线的焦点。在抛物线上求一点P,使得APPF取最小值；并求得最小值分析：利用定义是指动点到两定点的和与差，或是动点到定点的距离的比e。可以把折线段之和转化成直线段。或利用三角形三边的关系求最值若另取人一点M,显然AM+MF=AM+MQ>AP+PQ二.利用参数法解题个变数t的函数么,这个方程叫做曲线C的参数方程，而联系x,y的变数t叫做参变数(简称参(q为参数)(q为参数)顶点在(xo,yo),焦点在平行于x轴线的直线上(焦点在顶点的右方),且焦参数p为的抛物线。(t为参数)上述q分别是椭圆离心角，双曲线离心角，而抛物线中t的几何意义：抛物线上的点P(x,y)与顶点连线的斜率的倒数。(在用参数法解题时要注意参数的取值范围)2.1利用参数法求最值例题4.已知实数x,y满足4x²+9y²=36,求的x+y最大值；求xy最小值?解析：方程可化为即为椭圆，则椭圆上的点是(3cosq,2sinq)。\x+y=3cosq+2sinq=13sin(q2.利用参数法证明双曲线两渐近线的平行线，分别于另一渐近线相交于M、N,求证：证明：设P点坐标是(asecq,btgq)。有直线PM平行于渐近线bx+ay=0,所以并代入bx-ay=0,得因此3.利用参数法求值例题6:过点P(-1,1),且倾斜角为a的直线1交抛物线y²=-8x于A,B两点，如解：直线参数方程(t为参数)代入y²=-8x得t²sin²a+t(2sina+8cosa)则则\a=45°或a=135°三.利用直译法解题例题7(2010年江苏高考理科数学试题)在平面直角坐标系xoy中，如图5,已知椭圆1的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x₂,y₂),其中m>0,y₁0,y₂0。(3)设t9,求证：直线MN必过x轴(1)设点P(x,y),则：F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。0将xy12,x12,x1分别代入椭圆方程，以及□0,y25N(¹3直线MTA方程为：,即,即直线MTA直线NTB方程为：,,,,分别与椭圆1联立方程组，同时考虑到x₁¹-3,x₂13,当x₁1x₂时，直线MN方程为：令y=0,解得：x=1。此时必过点D(1,0);当x₁=x₂时，直线MN方程为：x=1,与所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。2.利用直译法求轨迹证明例题8(2010年山东高考理科数学试题)如图6,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁,F₂为顶点的三角形的周长为4(√2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点(I)求椭圆和双曲线的标准方程；(III)是否存,使得AB+CD=lAB·CD恒成立?若存在，求l的值；在常数l若不存在，请说明理由.(I)由题意知，椭圆离心率为,得a=2c,又2a+2c=4(√2+1),所所以椭圆的焦点坐标为(±2,0),因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为又P(x₀,y。)在双曲线上，则(II)假设存在常数1,使得|AB+|CD|=l|AB|·CD恒成立，由(Ⅱ)k₁·k₂=1,设直线AB的方程为y=k(x+2),则直线CD的方程为所以得(2k²+1)x²+8k²x+8k²-8=0则所以存在常数使得ABCD恒成立2.当a<1时，因为x³0,故当x=0时，PA²取得最小值a²,PA取得最小值|a|;四结语【2】绿林根许子道等编解析几何[M]第三版北京：高等教育出版社2006.4【3】本书编写组新编高中数学学习手册高二分册[M]南京江苏人民出版社【4】韩可立解析几何解题正误辨[M]郑州：郑州大学出版社，2005.12【5】鲁鹤鸣高中数学怎样学[M]上海：上海科学技术文献出版社1999.8【6】李俊发等中学数学1+1—