专题24直角三角形斜边上的中线（举一反三讲义）数学浙教版2024八年级上册（原卷版）

专题2.4直角三角形斜边上的中线（举一反三讲义）【浙教版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1利用直角三角形斜边的中线求线段长度】 1【题型2利用直角三角形斜边的中线求角度】 2【题型3利用直角三角形斜边的中线求周长】 3【题型4利用直角三角形斜边的中线求面积】 4【题型5利用直角三角形斜边的中线证明】 5【题型6直角三角形斜边的中线与尺规作图的综合】 6【题型7利用直角三角形斜边的中线解决折叠问题】 7知识点直角三角形斜边上的中线1.性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．2.拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形．【题型1利用直角三角形斜边的中线求线段长度】【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D，E是AB的中点．若AB=8，则DE的长为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【变式11】（2425八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点O是对角线AC的中点，若OB=3，则OD的长为．【变式12】（2025·江西新余·三模）如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C，D两点在数轴上对应的数分别为−3，1，当∠BCA=90°时，AB的长为．【变式13】（2425八年级下·北京·期中）Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，且CD+AB=15，则CD的长为【题型2利用直角三角形斜边的中线求角度】【例2】（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式21】（2425八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D为AB边的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，则∠CBF的度数为（

）A．60° B．45° C．30° D．15°【变式22】（2025·天津河西·一模）如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=62°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接EF，EF与AC交于点O，则∠ABO的大小为（A．28° B．30° C．31° D．36°【变式23】（2425八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，∠BAC=32°，木杆的顶端A沿墙面下滑至A′位置，此时∠A′B′C=32°，CD，CD′分别是斜边

【题型3利用直角三角形斜边的中线求周长】【例3】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，若EF=4，BC=10，求△EFM的周长．【变式31】（2425九年级上·辽宁锦州·期中）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（

）A．20 B．12 C．16 D．13【变式32】（2223八年级上·江苏宿迁·期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，连接BE、DE．若AC=10，BD=8，求△BDE的周长．【变式33】（2223八年级下·浙江宁波·期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，点E在AC边上，将△DCE沿DE折叠至△DFE，AB与FE，FD分别交于G，H两点．若已知AB的长，则可求出下列哪个图形的周长（

）

A．△AGE B．△FHG C．四边形DHGE D．四边形BDEG【题型4利用直角三角形斜边的中线求面积】【例4】（2223八年级上·浙江绍兴·期末）在△ABC中，∠A,∠B,∠C的度数之比为1:5:6，AB边上的中线长是2，则△ABC的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式41】（2425八年级下·山东临沂·期中）如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF．若BC=10，则正方形ADEF的面积为（

A．5 B．100 C．25 D．15【变式42】（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（

）A．12 B．9 C．6 D．3【变式43】（2223八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是8cm2，则图中阴影部分的面积是（A．2cm2 B．3cm2 C．4cm【题型5利用直角三角形斜边的中线证明】【例5】（2425八年级上·广东广州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF(1)求证：△BCD为等边三角形；(2)求证：∠DBF=∠DCE．【变式51】（2425八年级上·江苏盐城·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，E为AC的中点，连接DE．求证：DE∥【变式52】（2425八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，证明：(1)MD=MB；(2)MN⊥BD．【变式53】（2425八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC=90°，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．(1)求证：△ABE≌△DBC；(2)试探索BM和BN的数量关系和位置关系，并证明你的结论．【题型6直角三角形斜边的中线与尺规作图的综合】【例6】（2025·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，请用尺规作图法在边AB上求作一点P，连接CP，使CP分△ABC为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）【变式61】如图，点E为Rt△ABC斜边AB的中点，连接CE，以点A为圆心，AC为半径的圆弧交AB于点D，则BDCE．（填“＜”，“＞”或“＝”）【变式62】（2425八年级下·四川达州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以点C，B为圆心，以大于12BC为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交AB,CB于点D，E，连接CD,AE相交于点P．若∠B=23°，则∠APC【变式63】（2425八年级下·福建福州·期中）如图，AD∥BC，点E在AD上，且满足∠ABE=2∠EBC．(1)尺规作图：在BC上求作点G，使得∠ABC+∠BAG=90°；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若AG交BF于点H，F是EH的中点，连接AF，求证：AB=AF．【题型7利用直角三角形斜边的中线解决折叠问题】【例7】（2324八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点．将△ACM沿CM翻折，得到△DCM（如图2），P为CD上一点，再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合（如图3），给出下列四个命题：①BP∥AC；②△PBC≌△PMC；③∠BPC=∠BMC；④PC⊥BM．其中正确的是（A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④【变式71】（2223八年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=54°，AD是斜边BC上的中线，将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则∠AED的度数为（

A．120° B．108° C．72° D．36°【变式72】如图，在ΔABC中，∠AC