公式法分解因式平方差公式学案人教版八年级数学上册

用公式法分解因式——平方差公式一、学习目标1.理解平方差公式法分解因式的原理，掌握平方差公式的结构特征。2.能够准确识别符合平方差公式形式的多项式。3.熟练运用平方差公式将多项式分解因式，并体会整体思想的运用。二、课前预习（一）温故知新，情境导入1.回忆旧知：（1）什么叫把一个多项式分解因式？（2）用提取公因式法分解因式时，如何确定公因式？系数找最大，字母找相同，指数找最低。2.先分解因式，再求值(1)3(x2)²(x6)+11(2x)(6x),其中x=1.分析：公因式是___________(2)9xy(xy)(x+1)3y(xy)(3x+2y)+6y²(xy)(x+1),其中x=16,y=1分析：公因式是___________（二）尝试练习，探求新知1.计算下列各式（整式乘法）：(x+2)(x2)=______________(2a+1)(2a1)=______________(3m+2n)(3m2n)=______________2.逆向思考：上述计算我们运用了平方差公式：(a+b)(ab)=a²b²。这是一个整式乘法的过程。反过来，如果我们得到a²b²=(a+b)(ab)的形式这就是我们今天要学习的——运用平方差公式分解因式。新课讲解活动一：认识平方差公式法1.公式形成：将平方差公式逆向使用，得到因式分解的公式：a²b²=(a+b)(ab)语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。结构剖析：左边特征：·是一个二项式。·两项都是平方项。·两项的符号相反（一正一负）。·右边结果：两个因式的积，一个是这两个数的和，另一个是这两个数的差。3.概念辨析：“a”和“b”可以代表什么？它们可以代表一个数字、单项式，也可以是多项式（即一个整体）。活动二：核心技能——识别平方差公式例：下列多项式能用平方差公式分解因式吗？为什么？如果能，请指出公式中的a和b分别是什么。(1)x²4y²(2)x²+y²(3)x²+y²(4)9m²(5)4x²9y²(6)(m+n)²(mn)²【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号。（三）典例精析，掌握步骤例1：把下列各式分解因式：(1)4x²9分析：第一步：观察是否符合平方差公式。4x²是(2x)²，9是3².符合！第二步：确定公式中的a和b。a=2x，b=3第三步：套用公式分解。原式=(2x+3)(2x3)第四步：检查。检查每个因式是否还能分解。(2)(x+p)²(x+q)²分析：把(x+p)和(x+q)分别看作一个整体。第一步：观察是否符合平方差公式。第二步：确定公式中的a和b。第三步：套用公式分解。解：原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)(x+q)]=(x+p+x+q)(x+pxq)=(2x+p+q)(pq)第四步：检查。检查每个因式是否还能分解。【方法点睛】：当公式中的a或b是多项式时，要用整体思想，并添加中括号确保运算正确，最后化简。例2：分解因式：x⁴y⁴(2)a³bab(1)解：x⁴y⁴（提示：连续使用平方差公式）=(x²)²(y²)²=(x²+y²)(x²y²)=(x²+y²)(x+y)(xy)注意：分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。(2)a³bab（提示：先提取公因式，再考虑公式）解：a³bab=ab(a²1)=ab(a+1)(a1)【方法点睛】：因式分解时，应首先考虑提取公因式，然后再考虑是否能用公式法。【归纳：运用平方差公式分解因式的步骤】1.察：观察多项式的项数、符号、指数，判断是否符合平方差公式的特征。2.化：将多项式写成()²()²的形式，确定公式中的a和b。3.代：套用平方差公式a²b²=(a+b)(ab)进行分解。4.验：检查每个因式是否分解彻底，最后结果是否化为几个整式的积。变式训练:1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式?为什么?(1)x²+y²;(2)x²y²;(3)x²+y²;(4)x²y².2.分解因式：(1)36m²;(2)49n²1;(3)a²125b²;(5)4b²(b+c)²;(6)(m+n)²(m2n)².课堂练习——学以致用1.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A.x²+4y²B.x²y²C.x²2xy+y²D.916x²2.将a²9b²分解因式，结果是（）A.(a+9b)(a9b)B.(a+3b)(a3b)C.(a3b)²D.(a+9b)(ab)3.分解因式：(1)m²25n²(2)49+16x²y²(3)(2ab)²(a2b)²4.分解因式：(1)x⁵x³(2)3x³12x5.如图，在一块边长为a米的正方形铁皮的四角，各剪去一个边长为b米(b<12a)的小正方形，求剩余部分（空白课后练习——巩固提升1.因式分解：1100a²=___________,9x²16y2=_____________.2.______9a²b²=(14p²+____)(143.下列各多项式不能用平方差公式进行因式分解的是()A.2514x2B.x²C.1+81m²D.ap²194.下列各式中，因式分解正确的是()B.aa²1=(4a+1)(4a1)B.a²+1=(a+1)(a1)D.a6x⁴=(4+x²)(4x²)D.a⁴81=(a²+9)(a+3)(a3)5.将下列各多项式分解因式(1)9a²b²(2)19x²+14(3)2x8x3(4)9a2n49b(3a+2b)2(a4b)2(6)3a(a+b)²75ab²(7)（x²y²)(xy）²(8)16(2m+n)²9(m2n)