专题75空间向量的概念与运算（举一反三讲义）（原卷版）

专题7.5空间向量的概念与运算（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1空间向量的线性运算】 4【题型2空间向量数量积及其应用】 5【题型3空间向量基本定理】 6【题型4共线问题】 7【题型5共面问题】 7【题型6空间向量的坐标运算】 81、空间向量的概念与运算考点要求真题统计考情分析(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直2023年新高考I卷：第18题，12分2024年上海卷：第15题，5分空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算的单独考查相对较少，一般以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易.知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量知识点2空间向量的线性运算1．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共线向量定理(1)共线向量定理对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.知识点3空间向量的数量积1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．知识点4空间向量基本定理及其应用1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．3．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.5．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．知识点5空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【方法技巧与总结】【题型1空间向量的线性运算】【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，设AB=a，AC=b，AAA．a+b+c B．12a【变式11】（2425高一下·福建福州·期末）点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则2OA−OBA．OM B．2OM C．3OM 【变式12】（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AC与BD相交于点M，设AB=A．−12aC．12a−【变式13】（2425高二上·山西·期末）如图，在三棱柱ABC−DEF中，G, H分别是棱BE, AC的中点，则A．AB+12C．−AB+1【题型2空间向量数量积及其应用】【例2】（2425高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AAA．23 B．−23 C．3【变式21】（2425高一上·重庆·期末）已知空间向量a+b+c=0，且A．12 B．14 C．32【变式22】（2526高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则CP⋅FQ=A．4 B．3 C．2 D．1【变式23】（2025·河南新乡·二模）已知圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅PB的最小值为（A．−94 B．−32 C．【题型3空间向量基本定理】【例3】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，设AA1=a，AB=b，AC=A．12a+12b+c 【变式31】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量a=(1,0,0),b=(0,1,0)，则下列向量可以与aA．c=(0,0,0) B．c=(0,0,1) C．c=(1,1,0)【变式32】（2425高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别为PB,PD的中点，若PG=12GC，且AG=x

A．1 B．2 C．32 D．【变式33】（2425高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AA1的中点，点F为棱A．16 B．116 C．176【题型4共线问题】【例4】（2425高二下·福建龙岩·期中）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+2e2A．−3 B．1 C．2 D．3【变式41】（2425高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（

）A．AB+BC=AC B．AB−BC【变式42】（2425高二下·福建宁德·期末）已知向量a=−1,x,2，b=6,3,y，若a与b共线，则实数A．−6 B．6 C．3 D．−3【变式43】（2526高二上·全国·课后作业）设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=e1+A．1 B．2 C．3 D．4【题型5共面问题】【例5】（2526高三上·江苏镇江·开学考试）已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且OM=xOA+yOB−OCx>0,y>0A．4 B．5 C．92 【变式51】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，H为CC1的中点，AF=λAH，λ∈0,1A．12 B．25 C．13【变式52】（2526高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（）A．OM=OA−C．OM+OA+【变式53】（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（

）①若MP=2MA−MB，则P，②若OA+OB+OC+OD=0，则③若OP=12OA+56OB−A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【题型6空间向量的坐标运算】【例6】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量m,n满足m−n=A．−2 B．1 C．0 D．−1【变式61】（2024·江苏·模拟预测）已知空间向量a=6,2,1，b=2,x,−3，若a−2A．4 B．6 C．234 D．【变式62】（2425高二下·江苏南京·期中）已知a=(−3,2,5),b=(1,5,−1)，则(A．11 B．−13 C．45 D．3【变式63】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设x,y∈R,a=1,1,1,bA．22 B．0 C．3 D．一、单选题1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1DA．12a+b+c B．12．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量a=(3,5,1)，b=(2,1,4)，则(aA．36 B．32 C．56 D．523．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系Oxyz中，三点A(1,1,0),B(0,2,1),C(2,1,−1)，则向量AC与OB夹角的余弦值为（A．−66 B．−36 C．4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，若AB+DC=λEF，则A．12 B．1 C．2 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AM=12MC，A1N=2NDA．34 B．C．23 D．6．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设a=AA1，

A．BB1 B．BC1 C．7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点E、A、B、C、D，若满足1−λEA=13EB+14EC+λAD，且AA．712 B．512 C．148．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2A．0,2 B．1,3 C．2二、多选题9．（2526高二上·全国·课后作业）（多选）若A,B,C,D为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（

）A．AB+2BC+2C．AB+DA+10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，ADA．CM=−12C．BD1=11．（2025·浙江台州·一模）已知棱长为3的正四面体A−BCD, AEA．当μ=12B．当μ<12C．当EF=5时，λ+μD．当EF=5时，则AM三、填空题12．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c．点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则

13．（2025·上海·三模）已知空间向量a=1,−1,0，b=0,1,1，c=1,2,m14．（2025·上海·模拟预测）O不与A,B,C,D共面，并且ABCD四点在一个平面上，2OD=xOA+yOB+OC（x,y>0四、解答题15．（2526高二上·全国·课前预习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AD，CC1的中点，若点G满足

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