专题01因式分解（期中复习讲义）八年级数学上学期鲁教版2012

专题01因式分解（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律1.因式分解的定义与概念能准确判断一个代数式的变形是否为因式分解，能说明其与整式乘法的互逆关系。基础必考点，常以选择题形式出现。易错点在于混淆因式分解与整式的乘法运算。2.提公因式法能熟练确定多项式各项的公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂），并能正确提取公因式。核心高频考点，几乎所有因式分解题的第一步都要考虑此法。易错点：提取公因式后，括号内的项数应与原式相同，特别注意某项全部提出后剩下的是1而不是0。3.公式法（平方差）4.公式法（完全平方）高频考点。易错点：①对中间项“2ab”的符号判断错误；②首尾两项不是完全平方数（式）；③中间项不是首尾两项平方根乘积的2倍。5.综合提公因式与公式法能综合运用提公因式法和公式法，按照“一提二套”的步骤对复杂多项式进行彻底分解。期中考试的压轴题常见考点，难度和分值较高。命题趋势：常出现在解答题中，用于考察学生的综合能力和思维顺序。易错点：分解不彻底，或提取公因式后未能及时发现可继续使用的公式。说明：相当于“知识工具箱”，梳理本章节基础知识，提炼本单元核心概念、公式、法则等，注意添加示例或易错点以理解透彻该知识点。知识点01因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.知识点02提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.知识点03公式法（1）平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：（2）完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．知识点04十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.知识点05因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．题型一已知因式分解的结果求参数解｜题｜技｜巧根据因式分解结果与原多项式恒等的性质，通过对比系数建立方程求解参数。关键在于确保各项系数对应相等，注意符号和次数，代入验证结果合理性。A．， B．， C．， D．，【答案】B故选：．A． B． C．1 D．7【答案】C【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值.故选：C．A．2 B．1 C． D．【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．题型二提公因式法分解因式解｜题｜技｜巧首先确定各项系数的最大公因式和相同字母的最低次幂，将公因式提取到括号外。注意多项式首项为负时先提取负号，提取后括号内项数与原式一致。【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握用提取公因式法分解因式．对原式变形，提取公因式即可．【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式分解因式即可得．题型三利用平方差公式分解因式解｜题｜技｜巧适用于二项式，识别“a²b²”形式，准确找到两个平方项及其底数。分解为(a+b)(ab)，注意系数和指数均可为平方形式，分解后需化简。【变式1】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（

）【答案】B故选：B．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查因式分解、代数式求值，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可．故选：A．【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式即可．题型四利用完全平方公式分解因式解｜题｜技｜巧针对三项式，判断是否符合“a²±2ab+b²”结构，确认首尾为平方项，中间为两底数积的2倍。分解为(a±b)²，注意符号与中间项一致。【分析】本题考查了用公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；由完全平方公式即可分解因式．【变式1】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（

）【答案】B【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可．故选：B．【分析】本题考查了整式的乘法运算，公因式因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用整式的乘法运算展开，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．题型五综合利用提公因式和公式法分解因式解｜题｜技｜巧遵循“先提公因式，再套公式”的顺序。提取公因式后观察剩余因式结构，选择平方差或完全平方公式继续分解，确保每一步彻底分解。【典例1】分解因式：【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤及注意点是解答的关键．（1）先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可．【答案】D【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，先看能不能提公因式，再看能不能套用平方差和完全平方公式，然后考虑十字相乘，多项式项数大于3项的就要考虑分组分解法．先提取公因式a，再根据平方差公式进行因式分解即可．故选：D．【分析】本题考查了分解因式，提取公因式，再用完全平方公式分解即可．【变式3】将下列各式因式分解：【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答；（2）利用提公因式法解题即可；（4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式．本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键．题型六利用因式分解进行简便计算解｜题｜技｜巧将复杂数字或式子转化为因式乘积形式，优先凑整或产生公因数。通过提取公因式或应用公式简化运算，注意观察数字特征灵活处理。【答案】199【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，正确理解用平方差公式因式分解是解题的关键．用平方差公式因式分解化简计算即可．故答案为：199．A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．∴能被2022，2023，2024整除，故选B．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】3.98．【分析】直接提取公因式1.99，即可得答案．【详解】1.992+1.99×0.01=1.99×（1.99+0.01）=1.99×2=3.98.故答案为：3.98．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式3】利用因式分解计算：【分析】本题考查因式分解的应用，掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．题型七在实数范围内因式分解解｜题｜技｜巧【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．利用平方差公式因式分解即可．【分析】本题主要考查了分解因式，对于第一空直接利用平方差公式分解因式，对于第二空先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可．【分析】本题考查了因式分解，掌握掌握因式分解的常用方法是解题的关键．先提取公因数2，再由平方差公式因式分解即可．【变式3】在实数范围内分解因式：【分析】本题考查了因式分解中的换元法以及十字相乘法、平方差公式的综合运用．将四次多项式转化为二次多项式，随后对二次多项式分别运用十字相乘法分解，解题的关键是对于能继续用平方差公式分解的部分进一步分解，最终完成高次多项式的因式分解．（1）首先使用换元法转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原，最后运用平方差公式进行求解即可．（2）首先使用换元转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原进行求解即可．期中基础通关练（测试时间：10分钟）【答案】D【分析】本题考查了因式分解提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：故选：D．【答案】C【分析】本题考查了公式法因式分解．利用完全平方公式和平方差公式进行解答．故选：C．3．（2025·云南楚雄·三模）下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（

）【答案】A【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果故选：A【答案】【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解．故答案为：．【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式；【答案】7．（2425八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解：【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键．（1）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解．（2）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解．（3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．（4）先计算整式的乘法进行计算，再利用完全平方公式即可求解．8．（2425七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算：【答案】(1)1600(2)9（1）运用完全平方公式进行计算即可；（2）运用平方差公式进行计算即可．．期中重难突破练（测试时间：10分钟）9．（2425八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）下列因式分解结果正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查了因式分解，将各式因式分解后进行判断即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，故选：D．【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长．正方形的面积等于边长的平方，因此需将给定的面积表达式因式分解为完全平方形式，求得边长后乘以4得到周长．选项A为边长，非周长，不符合题意，选项D符合计算结果，符合题意，故选：D．A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数【答案】A【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解．∵a、b、c是三角形的三边长，故选：A．A．44 B．800 C．2200 D．8800【答案】D【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．故选：D．【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式．先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解．14．（2425七年级下·山东聊城·阶段练习）因式分解：【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，熟练运用乘法公式是解题的关键．（1）提公因式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可；（3）先提公因式，再利用平方差公式，进行因式分解即可；（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可．15．（2425七年级下·山东济南·期中）实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于两个建筑的占地面积(图中阴影)展开了讨论．数据采集：两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．数据应用：(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；(2)这两个建筑物的占地面积的差是【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，完全平方公式因式分解的应用，掌握长方形的面积计算公式和偶次方的非负性质是解题的关键．（1）利用长方形面积公式，根据大长方形的面积空白长方形的面积计算回字形福建土楼的占地面积，直接计算阴影部分的面积得到山西大院的占地面积即可；．答：这两个建筑物的占地面积的差是．【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案；（2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出最小值；【详解】（1）解：由材料中的解法可知，（2）解：由材料中的解法可知，∵c为正整数，【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式，平方差公式，平方非负性的应用，，三角形的三边关系等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）17．（2122八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：根据以上材料，解答下列问题．(2)(3)12【分析】本题考查因式分解的应用．（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；（2）配方后即可得出多项式的最值；（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可．(1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）．【答案】(1)是(2)是4的倍数．说明见解析(3)【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键；（3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解．∴36是“智慧数”；故答案为：是；（2）解：是4的倍数．理由如下：【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用以及多项式乘以多项式，熟练掌握相关公式及方法是解题关键．（1）根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值；然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可；（2）根据作差法比较M与N的大小即可．小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：【答案】(1)③【分析】本题主要考查了完全平方式和因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键：故答案为：③；21．（2425八年级上·山东烟台·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．观察猜想：请根据此图填空说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解：请依次解决下列问题：(1)将“观察猜想”，“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容；【分析】本题考查了因式分解、整式的乘法与图形面积，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．（1）观察猜想：根据三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积即可得①和②；说理验证：根据提取公因式的方法分解因式即可得③④⑤⑥；【详解】（1）解：观察猜想：∵三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积，22．（2425八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．【问题解决】①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？【分析】本题考查了配方法的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键．（3）①利用三角形的面积公式求出S关于t的代数式即可；②利用配方法求出最大值即可．23．（2425八年级上·山东济南·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示