专题244垂径定理（举一反三讲义）数学沪科版九年级下册

专题24.4垂径定理（举一反三讲义） 【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用垂径定理判断正误】 2【题型2利用垂径定理求角度】 4【题型3利用垂径定理求线段长度】 8【题型4利用垂径定理求面积】 12【题型5利用垂径定理求坐标】 15【题型6利用垂径定理求平行弦问题】 20【题型7利用垂径定理求同心圆问题】 24【题型8利用垂径定理求整点个数】 28【题型9垂径定理的实际应用】 32【题型10利用垂径定求最值】 36知识点垂径定理1.垂径定理③AM=BM⑤③AM=⑤A①CD是直径②CD⊥AB如图，④A⇒2.拓展平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．①①CD是直径如上图，②AM=（AB不是直径）③CD⊥AB⑤A④A⇒由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．【题型1利用垂径定理判断正误】【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝12CE 【答案】B【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．【详解】解：∵直径AB⊥弦CD∴CE＝DE故选B.【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．【变式11】（2425九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（）A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧【答案】A【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；D、平分弦(不是直径)的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；故选：A．【变式12】（2025·河南新乡·三模）如图，A、B在⊙O上，连接OA，OB，AB．∠AOB的平分线交AB于点C，交⊙O于点D，连接AD，A．AC=BC B．OD⊥AB C．OC=CD D．AD=BD【答案】C【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可．【详解】解：∵∠AOB的平分线交AB于点C，OD是半径，∴∠AOD=∠BOD，AD=BD，AC=BC，OD⊥AB，故A、B、D正确；选项C不能证明，故选：C．【变式13】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（

）A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2ACC．AC＝AB•AD D．AC＜AB•AD【答案】B【分析】过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，根据垂径定理及三角形三边的关系求解判断即可．【详解】解：过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，如图所示：则∠OMA＝90°，AM＝DM，∴AN＞AM＝12AD∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴∠OMA＝∠CON＝90°，∴CN＞OC＝12AB∴AB+AD＜2（CN+AN）＝2AC，故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2利用垂径定理求角度】【例2】已知⊙O的半径为2，弦AB、AC长分别为22和23，则A．30° B．45° C．15°或75° D．30°或45°【答案】C【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：过点O作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，

∴OA=2，AE=12AC=∴OE=OA2∴OE=12OA∴∠OAE=30°，∠OAD=45°，∴∠BAC=∠OAD−∠OAE=15°；当两弦在圆心的两侧，如图，

∴OA=2，AE=12AC=∴OE=OA2∴OE=12OA∴∠OAE=30°，∠OAD=45°，∴∠BAC=∠OAD+∠OAE=75°．∠BAC的度数为15°或75°．故选C．【点睛】本题考查垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．利用分类讨论的思想并正确的画出图形和作出辅助线是解题关键．【变式21】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE，∠COB=52°，则∠DCO的度数为（）

A．52° B．50° C．48° D．38°【答案】D【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论．证明∠CEO=90°，利用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵AB是直径，CE=ED，∴AB⊥CD，∴∠CEO=90°，∴∠DCO=90°−52°=38°，故选：D．【变式22】（2425九年级下·湖南娄底·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB，则∠BOC的度数为（

）

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接BC，利用全等三角形的性质证明△OBC是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图，连接BC，设AB交OC于K．

∵OC⊥AB，∴AK=BK，∵AC∥OB，∴∠A=∠OBK，∵∠AKC=∠BKC，∴△AKC≌△BKOASA∴OK=KC，∵BK⊥OC，∴BO=BC，∵OB=OC，∴OB=OC=BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC=60°，故选：C．【变式23】如图，已知⊙O的两弦AB、CD相交于E，且点A为CD的中点，若∠OBA=32°，则∠CEA的度数为．【答案】58°/58度【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接OA交CD于点F，则由垂径定理得OA⊥CD，由OA=OB得∠OAB=∠OBA=32°，再根据直角三角形两锐角互余可求值．【详解】解：连接OA交CD于点F，如图，∵点A为CD的中点，∴OA⊥CD，∴∠FAE+∠AEF=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=32°，∴∠AEF=90°−∠FAE=90°−32°=58°,即∠CEA=58°，故答案为：58°．【题型3利用垂径定理求线段长度】【例3】（2425九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，⊙P经过点O0,0，交y轴于点A，若P−10,−8，弦OA长为（A．8 B．10 C．16 D．20【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．过P点作PH⊥OA于H点，根据垂径定理得OH=BH，然后利用P点坐标得到OH=8，从而得到OA=16．【详解】解：过P点作PH⊥OA于H点，如图，则OH=AH，∵P−10,−8∴OH=8，∴OA=2OH=16．故选：C．【变式31】（2425九年级上·贵州遵义·期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB=4，OC=1，则⊙O最长的弦长是（

）A．23 B．10 C．17 D．【答案】D【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出OB的长，再求圆的直径即可．【详解】在⊙O中，OC⊥AB，∴AC=BC=1在Rt△OCB中，OB=∴⊙O的直径为2OB=25即⊙O最长的弦长是25故选：D．【变式32】（2025·湖南长沙·三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC=6，则OD的长为（A．33 B．3 C．23【答案】B【分析】通过连接OB，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出OD与BC的关系来求解．【详解】解：连接OB，∵OC⊥AB，OA=OB∴AD=BD，∠ADO=90°．∠∵BC∥OA，∴∠又∵OA=OB=OC，∴∠∴△OBC是等边三角形，∴OC=BC=6∵OC⊥AB，△OBC是等边三角形，∴OD=1故选：B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键．【变式33】（2425九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在⊙O上，点B在⊙O内，∠B和∠C均为直角，AB=2，BC=6，CD=4，则⊙O的半径为（

）

A．5 B．32 C．25 【答案】C【分析】过点O作OE⊥CD于点E，延长AB,EO，二线交于点F，得到四边形BCEF是矩形，设OF=x则OE=6−x，连接OA,OC，利用勾股定理解答即可．【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E，延长AB,EO，二线交于点F，∵∠B和∠C均为直角，∴四边形BCEF是矩形，∴∠F=90°，BC=EF，BF=CE，∵AB=2，BC=6，CD=4，∴EF=6，BF=CE=12CD=2设OF=x则OE=6−x，连接OA,OC，∴OA∵OA=OC，∴AF∴42解得x=2，∴OA=A故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．【题型4利用垂径定理求面积】【例4】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是．

【答案】2【分析】如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，作OM⊥EF于M，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=1，∠AOB=60°，∠COD=90°，∠EOF=120°，【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，

∴OA=OB=OC=OD=OE=OF=1，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，△COD是等腰直角三角形，∴AB=OA=1，CD=O∵∠EOF=120°，OE=OF，∴∠OFE=30°，FM=1∴OM=1由勾股定理得FM=O∴EF=3∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，3，2，∵12∴该三角形是以1，∴面积为1×2故答案为：22【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．正确求解线段长度是解题的关键．【变式41】（2425九年级上·陕西渭南·期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，OB，若BD=8cm，AE=2cm，则A．10cm2 B．20cm2 C．【答案】A【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得BE=12BD=4cm，再根据圆的性质可得OE=OB−2，再根据勾股定理列方程求得【详解】解：∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，∴BE=1∵OE=OA−AE=OB−AE=OB−2，OB∴OB2=∴OC=OB=5cm∴△OBC的面积是12故选：A．【变式42】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED=2，则矩形ABCD的面积等于（

）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】D【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接OC，过OH⊥BC于H，则CH=BH，可证明四边形CDOH是矩形得CH=OD=3，则BC=6，再利用勾股定理求得CD，进而利用矩形性质求解即可．【详解】解：连接OC，过OH⊥BC于H，则CH=BH=12BC∵矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，ED=2，∴OD=OE−ED=3，∠CDO=∠DCH=∠OHC=90°，∴四边形CDOH是矩形，∴CH=OD=3，则BC=2CH=6，在Rt△CDO中，CD=∴矩形ABCD的面积等于4×6=24，故选：D．【变式43】已知△ABC的三个顶点都在圆O上，点O到AB的距离为3，AB=8且CA=CB，则△ABC的面积=．【答案】32或8【分析】本题考查了垂径定理以及等腰三角形的性质，据此得CC′⊥AB，AD=12【详解】解：如图所示：连接CC′交AD

因为CA=CB，所以CC′⊥AB，AD=12因为点O到AB的距离为3，所以OD=3，当点C在劣弧AB上时，则AO=ACD=5−3=2，所以△ABC的面积=1当点C在优弧AB上时，即为点C′则AO=A那么C′所以△ABC的面积=1综上：△ABC的面积为32或8，故答案为：32或8．【题型5利用垂径定理求坐标】【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点M0,−2，N0,−8，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为（A．−5,−4 B．−4,−6 C．−6,−4 D．−4,−5【答案】D【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接AM，过点A作AE⊥MN于点E，AF⊥x轴于点F，可得四边形AFOE是矩形，得出AE=OF，AF=OE，利用M0,−2，N0,−8，可得OM=2，ON=8，MN=ON−OM=6，利用垂径定理可得ME，则可得OE，利用勾股定理可得【详解】解：如图，连接AM，过点A作AE⊥MN于点E，AF⊥x轴于点F，又∵∠FON=90°，∴四边形AFOE是矩形，∴AE=OF，AF=OE，∵M0,−2，N∴OM=2，ON=8，∴MN=ON−OM=6，∵AE⊥MN，∴EM=EN=1∴AF=OE=OM+EM=5，∵⊙A的半径为5，∴AM=5，∴AE=A∴OF=4，∴A−4,−5故选：D．【变式51】（2425九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙A经过点B0,−1，C0,−7，则点A的坐标为【答案】4,−4【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，根据垂径定理得到CH=BH=12BC，由B0,−1，C0,−7，可得OB=1，OC=7，BC=6【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，∴CH=BH=12∵B0,−1，C∴OB=1，OC=7，∴BC=OC−OB=7−1=6，∴CH=BH=3，∴OH=OB+BH=1+3=4，∵AC=5，∴AH=A∴A的坐标为4,−4，故答案为：4,−4．【变式52】（2425九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是【答案】3+23/【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点D的坐标是解题的关键．作PC⊥x轴于点，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，由于OC=3，PC=a，得到点D的坐标为3,3，则△OCD，△PED为等腰直角三角形，根据垂径定理得到AE=BE=12AB=3，根据勾股定理得到【详解】解：如图，作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，∵⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，∴OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴点D的坐标为3,3，∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴△PED为等腰直角三角形，AE=BE=1∵PB=3，∴PE=P∴PD=2∴PC=CD+PD=3+23∴a=3+23故答案为：3+23【变式53】（2425九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A，C分别在y轴，x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为0,8，则圆心M的坐标为（

）A．−4,5 B．−5,4 C．−4,4 D．−4,3【答案】A【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，点A的坐标为0,8，所以AD=BD=12AB=4，DM=8−R，在Rt【详解】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM，设⊙M的半径为R．∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥∴DE⊥CO，∴DE是⊙M直径的一部分；∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为0,8，∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8−R；∴AD=BD=4（垂径定理）；在Rt△ADM根据勾股定理可得AM∴R2解得：R=5．∴M−4,5故选：A．【题型6利用垂径定理求平行弦问题】【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N，可知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2−BN2，解得ON的值，在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=OD2−DM2，解得OM的值，计算ON−OM即可；②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N由题意知OM⊥CD，CM=MD=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=∴MN=ON−OM=1②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB由题意知PN⊥AB，EP=PF=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=∴NP=ON+OP=7∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故选D．【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．【变式61】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=_____．【答案】3【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，则EH=FH=12EF∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四边形ABCD是矩形，∴四边形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案为：32【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式62】（2425九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知⊙O的半径为13，弦AB平行于弦CD，CD=10，AB=24，【答案】7或17【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到AB和CD的距离，据此可得答案．【详解】解：如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OE⊥AB于点E，并延长EO，交CD于F点．分别连接AO、CO．∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵CD=10，∴AE=1在Rt△AEO中，由勾股定理得OE=在Rt△CFO中，由勾股定理得OE=∴EF=OE+OF=5+12=17，∴AB和CD之间的距离为17；如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时，同理可得：OF=12，∴EF=OF−OE=7，∴AB和CD之间的距离为7；综上所述，AB和CD之间的距离为7或17．故答案为：7或17．【变式63】（2425九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，⊙O的半径为3，弦MN=23,Rt△ABC的直角顶点B在弦MN上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在⊙O上，且嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，∠C的度数是30°．”淇淇说：“连接OA，当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离为2．”A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误【答案】A【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接OB，可证明△AOB是等边三角形，据此求出∠A的度数，进一步可求出∠C的度数；过点O作OD⊥MN于D，连接OM，利用垂径定理和勾股定理求出OD的长即可求出当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离，据此可得答案．【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接OB，∵OA=OB=AB=3，∴△AOB是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°；同理可得当点B与点N重合时，∠C=30°，故嘉嘉的说法正确；如图所示，过点O作OD⊥MN于D，连接OM，∴DM=1∴OD=O∵MN∥OA，∴点B到OA的距离为6，故淇淇说法错误，故选：A．【题型7利用垂径定理求同心圆问题】【例7】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE则r2解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式71】如图，两个圆都以点O为圆心．求证：AC=BD．【答案】过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理可得EC=ED，EA=EB，即可得到结果．【详解】过点O作OE⊥AB于E，在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED．在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB．∴AC=BD．【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．【变式72】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是．【答案】16【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，∴S矩形APND=12S∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长∴S△AOD=12S矩形APND=14∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=故S△AOD的最大值为4∴S矩形ABCD的最大值为4÷14故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．【变式73】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米【答案】(1)6;(2)45【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个；（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出．【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111，到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111到第6天得禽流感病鸡数为+11111=＞80000所以，到第6天所有鸡都会被感染；（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2．在Rt△OCE中，AE=OA∴AC=AECE=25∵AC=BD，∴AC+BD=45答：这条公路在该免疫区内有（45【题型8利用垂径定理求整点个数】【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是，⊙C上的整数点有个．【答案】312【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【详解】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=12∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，∴AO=BO=4，∠AOC=90°，由勾股定理得：CO=AC∴ON=53=2，OM=5+3=8，即A（4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，2），同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（4，6），R（4，6），W（3，7），E（3，7），T（3，1），S（3，1），U（5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．【变式81】如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB=16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP【详解】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB则AP由勾股定理得：OP则6≤OP<10，∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9共4个，故选：C．【变式82】如图，直径为10的⊙O内有一点P，且OP=3，则经过P点的所有弦中长度为整数的有条．

【答案】4【分析】过点P的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可．【详解】过点P作直径AB，作弦CD⊥AB，

则AB=10是过点P的最长的弦，CD=8是过点P的最短的弦，∴长度为整数的弦长还有9，∵过点P且长度为9的弦有2条，∴经过P点的所有弦中长度为整数的有4条．故答案是4．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，知道直径是圆中最长的弦，过点P与圆垂直的弦是最短的弦是解题的关键．【变式83】如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A13，0，直线y=kx−3k+4k≠0与⊙O交于B、C两点，则弦【答案】4【分析】根据直线y=kx−3k+4必过点D(3,4)，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，最长弦CB是圆的直径，得出弦CB的取值范围，再根据弦BC的长为整数，即可得出答案．【详解】解：∵当x=3时，y=kx−3k+4=3k−3k+4=4∴直线y=kx−3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，最长弦CB是⊙O是直径，当弦CB最短时，连接OB，OD，则OD⊥BC，∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=3∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0)，∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=O∴BC=2BD=24，∴BC的长的最小值为24；当弦CB最长时，则CB=2OA=2×13=26，∴24≤CB≤26∵弦BC的长为整数∴BC=24或25或26（其中是25的有两条），∴弦BC的长为整数的有4条，故答案为：4．【点睛】此题考查的是垂径定理，一次函数图象，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短、最长时的值．【题型9垂径定理的实际应用】【例9】（2425九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD=7cm，则截面圆中弦AB的长为（

A．4cm B．46cm C．221【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得AC=BC=12AB【详解】解：连接OA，由题意得：OC⊥AB，∴AC=BC=1∵OA=OD=5cm∴OC=OD−CD=7−5=2(cm)在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC=∴AB=2AC=221∴截面圆中弦AB的长为221故选：C．【变式91】我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=2寸，AB=8寸（注：1尺=10寸），则可得直径CD的长为尺．”【答案】1【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出AE的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：如图所示，连接OA，∵AB⊥CD，∴由垂径定理知，点E是AB的中点，∴AE=1设半径为r寸，则OE=r−2在Rt△AEC中，由勾股定理得，O∴r2解得：r=5，

∴CD=2r=10，即圆的直径为10寸，即为1尺．故答案为：1．【变式92】（2425九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，AB=32cm，锅盖直径为40cm，则锅盖最低点C到【答案】8【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．设圆的圆心为O，连接AB,OA,OC，OC交AB于点D，根据垂径定理得到AD=12AB=16【详解】解：如图，设圆的圆心为O，连接AB,OA,OC，OC交AB于点D，根据题意得OA=OC=20cm，OC⊥AB∵AB=32cm∴AD=1∴OD=O∴CD=OC−OD=20−12=8cm锅盖最低点C到AB的距离是8cm，故答案为：8．【变式93】（2425九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，AB是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D是AB的中点，则AB长度的近似值l=AB+CD2OA．若CD=2，AB=8，则A．8.8 B．8.7 C．8.6 D．8.5【答案】A【分析】连接OC，由C是弦AB的中点，根据垂径定理得到OC⊥AB，AC=12AB=4；由D是AB的中点，根据垂径定理得到OD⊥AB；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设OA=x，则OC=OD−CD=x−2，后根据勾股定理得到x本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【详解】解：连接OC，∵点C是弦AB的中点，∴OC⊥AB，AC=1∵D是AB的中点，∴OD⊥AB；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设OA=x，则OC=OD−CD=x−2，∴x2解得x=5；∴OA=5，∴l=8+2故选：A．【题型10利用垂径定理求最值】【例10】如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时