专题01有理数（期中复习讲义）（原卷版）

专题01有理数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义基础必考点，常出现在选择题中有理数的分类能根据有理数的概念区分有理数的分类高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π数轴可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题期中必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查相反数重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0；期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大；绝对值能根据绝对值的概念与性质求解期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查；有理数的大小比较能用不同的方法进行有理数的大小比较基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较知识点01正数与负数正数：像3.5，2020，6.7，45负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的；0既不是正数，也不是负数.1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略；2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度；3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的（1）就是一个正数.知识点02具有相反意义的量1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量.（1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的；（2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量；（3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等；（4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等.2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示.知识点03有理数的概念与分类我们把能够写成分数形式nm1.有理数只包括整数和分数；2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数；3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，π2，−拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数.（1）纯循环小数化分数从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.4等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：0.4=（2）混循环小数化分数如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．5、有理数的分类补充：有理数的分类原则标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一；分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则；分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0.知识点04数轴1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；（3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；（4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.2.数轴的画法（1）画一条直线（通常画成水平位置）；（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；（3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；（4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示.（1）正数可以用数轴上原点右边的点表示；（2）负数可以用数轴上原点左边的点表示；（3）0用原点表示.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础.知识点05绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”.1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小；3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0.4.绝对值的性质正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即5.绝对值的非负性对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0.（1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0；（2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数.知识点06相反数1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.（1）0的相反数是0；（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）.2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；（2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数.3相反数的性质任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．4.相反数的特征若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数.（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可；（2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！知识点07有理数的大小比较1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.有理数大小关系的传递性对于有理数a、b、c，若a＞b，且b＞c，那么a＞c；若a＜b，且b＜c，那么a＜c；题型一正数和负数解｜题｜技｜巧记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数；【典例2】（2425七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数．(1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日；(2)小李这四天走的步数一共是多少？【变式1】（2425七年级下·云南昆明·期中）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如：粮库把运进吨粮食记为“”，则“”表示（

）A．盈利吨粮食 B．运出吨粮食 C．亏损吨粮食 D．运出吨粮食【变式2】（2425七年级上·北京·期中）下列不具有相反意义的量的是（）A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水题型二有理数的概念与分类解｜题｜技｜巧有理数的分类里记住三种类型：1.有理数只包括整数和分数；2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数；3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，【典例1】（2425七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可）正有理数集合：{

…}；负有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；负整数集合：{

…}；有理数集合：{

…}．【典例2】（2425七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里．整数集合：

；负有理数集合：

；正分数集合：

；非负整数集合：

．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个A．5个 B．4个 C．3个 D．2个题型三数轴的三要素及其画法解｜题｜技｜巧数轴三要素：原点、单位长度、正方向。【典例1】（2425七年级上·云南昭通·期中）下列数轴正确的是（

）

B．

D．

【典例2】下列关于数轴的说法正确的是（

）A．规定直线上向左的方向为正方向B．所有数轴上的单位长度一定相等C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线【变式1】下列有关数轴的说法：（1）在画数轴时，原点位置可以任意确定；（2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向；（3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取；（4）数轴上的点只能表示整数．其中正确的有个．【变式2】补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，．【变式3】请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数：

题型四利用数轴表示有理数的大小解｜题｜技｜巧利用数轴比较有理数的大小时，要注意在数轴右边的数字要大于左边的数字；注意数字所带的符号，正负号千万不能弄错了；【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来．【典例2】（1）在数轴上把下列各数表示出来；（2）用“”连接各数．(1)画出数轴，在数轴上画出表示各数的点；(2)用“”号把它们连接起来．题型五数轴上两点之间的距离解｜题｜技｜巧数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论；【典例2】已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（

）A． B． C． D．【变式1】在数轴上，距原点距离为2的点是．【变式2】（2425七年级下·黑龙江绥化·期中）已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为．【变式3】已知数轴上A，B两点之间的距离是2个单位长度，点A到原点O的距离是3个单位长度，那么点B对应的数是多少？题型六数轴上点的平移解｜题｜技｜巧数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可；【典例1】（2526七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（

）A．3 B． C．3或 D．5或【典例2】在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（

）A． B． C．5 D．【变式1】数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是．【变式2】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．(1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数；(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？(3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数．(1)试确定数，；(2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数；题型七数轴上整点覆盖问题解｜题｜技｜巧数轴上的整点覆盖问题，可以分两种情况，一种是起点是整点的，另一种是非整点起点的；【典例1】如图，整数在数轴上所对应的点的位置被“”盖住了，则表示的整数是（

）A． B． C． D．【典例2】如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数之和为．

【变式2】如图，下面的4个数中哪一个数所表示的点被数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖（

）

A．2 B．1 C． D．【变式3】【教材呈现】下面是华师版七年级上册数学教材第38页的“第6题”内容．6.求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：

你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？【阅读材料】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖．9月20日

星期三

晴我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．我自编了如下这个问题：如图，数轴上的点，分别表示有理数，．①求，两点之间的距离．②点为数轴上一点，且点到，两点的距离相等，请你求出点所表示的数．【解答问题】请同学们阅读完日记之后：(2)回答聪聪同学自编的两个问题．题型八数轴上的规律探究A．2020 B．2021 C．2022 D．2023A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025题型九相反数解｜题｜技｜巧牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0；【典例1】下列两个数中，互为相反数的是（

）【典例2】下列各组数中，互为相反数的是（

）．【变式2】一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是．【变式3】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．(1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为___________；(2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为___________；(3)若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．题型十绝对值非负性解｜题｜技｜巧绝对值的非负性要注意：（1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0；（2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数.A．3 B． C． D．2【典例2】若a为有理数，则下列说法正确的是（

）题型十一绝对值的几何意义解｜题｜技｜巧绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展：1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小；A． B． C． D．回答下列问题：(1)数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是；(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为；(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；题型十二绝对值的其他应用【典例1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数．(2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由．【典例2】（2425六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果根据信息回答问题：(1)你认为几号零件的大小最符合标准？【变式1】有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）：，，，，，，，．(1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？(2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？【变式2】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）．一号球二号球三号球四号球五号球六号球0.10.20(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．【变式3】某仓库管理员连续7次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次(1)在这7次进库、出库前，仓库管理员结算仓库有219台冰箱．那么在这7次进库、出库后，仓库存有冰箱多少台？(2)若每台冰箱进库或出库的搬运费均为10元，则这7次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？题型十三有理数的大小比较解｜题｜技｜巧先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数；【典例1】比较下列两数大小，结论不正确的是（

）【典例2】下列说法中正确的是（

）①绝对值最小的有理数是0；

②数轴上原点两侧的数互为相反数；③负数的相反数大于自身

④两个数相互比较绝对值大的反而小．A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④(1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置；(2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来；正数：．正整数：．整数：．(1)小星检查后发现有些数字放错了位置，请你在上述表格的横线处填写正确的归类．(2)将上述所有数字比较大小，并用“＜”连接．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．2024的相反数是（）2．下列说法正确的是（

）A．一个有理数不是正数就是负数B．一个有理数不是整数就是分数C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类D．以上说法都正确3．（2526七年级上·湖南衡阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（）4．（2526七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（

）A．3 B． C．3或 D．5或6．数轴上有两个点、，点表示的数为，点表示的数是，两个点之间的距离为9，则．8．（2526六年级上·全国·期中）把下列各数填在相应的集合里∶(1)正整数集合{…}；(2)整数集合{…}；(3)正分数集合{