第二十章解直角三角形（知识清单）（挖空版）数学北京版九年级上册

第二十章解直角三角形知识点01

锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的，也叫做∠B的，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的，也是∠A的，直角C所对的边AB记为c，叫做．锐角三角函数：锐角A的都是∠A的三角函数．（其中：＜∠A＜）知识点02特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°知识点03解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形．在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即和．设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：勾股定理）．②锐角之间的关系：．③边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=sinB=，cosB=知识点04

解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边（a，b）斜边，一直角边（如c，a）一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边（如∠A，b）锐角、对边（如∠A，a）斜边、锐角（如c，∠A）【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).知识点05

解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为关系是解决实际应用问题的关键．解这类问题的一般过程是：（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型．（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形．（4）得出数学问题的答案并是否符合实际意义，得出实际问题的解．知识点06

解直角三角形的应用坡度坡角坡度、坡角坡度：坡面的和的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h坡角：与的夹角α叫做坡角.【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=，坡角越大，坡度知识点07解直角三角形应用仰角俯角问题仰角、俯角视角：与的夹角叫做视角．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.知识点08解直角三角形应用方位角问题（1）方位角：从某点的指北方向线按转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是，，．（2）方向角：方向线与线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示30°，45°，80°，60°．特别如：东南方向指的是，东北方向指的是，西南方向指的是，西北方向指的是．注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图．2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为或来解．3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解．一..锐角三角函数概念1.正弦、余弦、正切的定义错误：正弦、余弦、正切的定义混淆注意：正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边；1．（2425九年级上·山东济南·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，A．a=csinA B．a=b2.正弦、余弦、正切定义的本质错误：对正弦、余弦、正切中线段的比理解不深刻注意：正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.2．（2324九年级上·广东清远·阶段练习）把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦值（

A．不变 B．缩小为原来的1C．扩大为原来的2倍 D．不能确定3网格中的锐角三角函数值错误：不会依托网格的特点构造直角三角形注意：这是一类重要的常考题型，解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.A． B． C． D．二..特殊角的三角函数值1.特殊角的三角函数值的运算错误：记错特殊角三角函数值注意：有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.4．（2425九年级上·山东滨州·期末）计算：3tan30°-2.特殊角的三角函数值的混合运算错误：忘记零指数幂、负整数指数幂的计算公式而导致与特殊角的三角函数值的混合运算致错注意：熟记零指数幂、负整数指数幂的计算公式及绝对值的化简法则同时关注运算顺序5．（2025·山东济南·模拟预测）计算：12-解直角三角形1解直角三角形错误：忽视三角函数是在直角三角形中进行定义的注意：题目若没有直角三角形，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.6．（2425八年级上·福建漳州·期末）四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则tanα的值为2.作垂线解斜三角形错误：不能充分依托已知条件构造恰当的直角三角形注意：解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.解直角三角形的实际应用1.仰角、俯角的概念错误：不能在实际问题中准确的确定仰角、俯角都是视线与水平线的夹角。注意：正确理解仰角、俯角的概念，准确在图形中标记仰角和俯角。

2.方向角的概念错误：不能在实际问题中准确的确定方向角和方位角。注意：正确理解方向角的概念，将解直角三角形的相关知识有机结合，9.某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向．3.坡角、坡比的概念错误：不能在应用问题中准确的确定坡角、坡比的实际意义。注意：正确理解坡角、坡比的概念，将解直角三角形的相关知识有机结合10．（2425九年级上·山东威海·期末）如图，∠ACB=90°，斜坡AB的坡度i=1:3，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M1．（2324九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥

A．cosC=CDAC B．cosC= B．3 C． D．A． B． C． D．A． B． C． D． A． B． C． D．计算：7.计算8-8．（2324八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠A．6 B． C． D．

12.（2425九年级上·山东烟台·期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树CD的高度．在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、D、B三点在同一直线上，若AB=83+8米，则这棵树13．（2425九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，14．（2425九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，