专题02二次函数的应用（期中复习讲义）九年级数学上学期浙教版

专题02二次函数的应用（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律动点面积问题掌握用含自变量（如动点横坐标）的式子表示图形边长、高；学会根据面积公式列二次函数表达式，求面积最值。高频中档题，解答题为主，常结合矩形、三角形、梯形，易因动点运动轨迹分析错误、面积公式误用出错。增长率问题掌握增长率公式（y=a(1+x)n，a为初始量，x为增长率，n为次数）；学会根据题干信息确定a、n，列函数式求解增长率或最终量。基础偏中档题，选择/填空/解答题小问，易因混淆“增长率”与“降低率”图形切割问题掌握切割后剩余/拼接图形的边长、周长与原图形的关系；学会列二次函数表达式（如面积、周长函数），求最值或符合条件的参数。中档题，解答题为主，常结合矩形、正方形切割（如剪去四角小正方形折无盖盒），易因图形关系分析不清晰出错。抛物线轨迹运动——喷水问题掌握建立平面直角坐标系的方法（如以喷水起点为原点，水平为x轴）；学会根据抛物线顶点、落点等关键点，用待定系数法求解析式，解决“最大高度”“喷水距离”问题。高频中档题，解答题为主，背景贴近生活，易因坐标系建立不当或关键点坐标确定错误出错。围墙栅栏问题掌握“一边靠墙”时栅栏长度与矩形长、宽的关系（如栅栏总长=2宽+长）；学会列面积函数表达式，求最大面积及对应边长。高频基础应用题，解答题为主，易因忽略“靠墙边无需栅栏”导致边长关系写错，影响函数表达式。折叠与展开问题掌握折叠后图形的全等关系、对应边/角相等；学会用勾股定理或相似关系表示未知量，列二次函数式求最值或长度。中档偏难题，解答题为主，常结合矩形、正方形折叠（如折叠顶点到对边），易因折叠后对应点找错、几何定理误用出错。桥梁隧道问题掌握桥梁（如抛物线形拱桥）、隧道顶部的抛物线模型建立方法；学会根据“拱高”“跨度”求解析式，解决“某高度处的水平宽度”问题。中档题，解答题为主，易因坐标系建立（如以跨度中点为原点）或关键点坐标（如拱顶、端点）确定错误出错。抛物线轨迹运动——抛球问题掌握以抛球点为原点（或地面为x轴）建立坐标系的方法；学会根据抛球高度、时间/水平距离的关系列函数式，求最大高度、落地时间/距离。高频中档题，解答题为主，易因“时间”“水平距离”作为自变量的区分不清晰，导致函数变量混淆出错。销售问题掌握“利润=（售价成本）×销量”的关系，及售价与销量的联动变化（如售价涨1元，销量减n件）；学会列利润二次函数式，求最大利润及对应售价。必考高频题，解答题核心，占分比高，易因销量与售价的变化关系分析错误、利润公式列错出错。分段函数问题掌握分段函数中不同区间的函数表达式（如不同销量对应不同折扣，不同时间段对应不同收费）；学会根据自变量取值范围选择对应表达式，解决最值、求值问题。中档偏难题，解答题为主，易因分段点判断错误、不同区间表达式混淆（如忽略自变量取值边界）出错。匀变速直线运动问题（跨学科问题）掌握物理中匀变速直线运动公式；学会结合题干物理量（如速度、位移），列二次函数式求解时间、位移最值。低频偏难题，解答题小问，跨数学与物理，易因物理公式记忆错误、物理量单位不统一出错。其他问题掌握题干中“费用”“材料”与变量（如长度、数量）的关系；学会列二次函数式（如总费用、材料用量函数），求最省方案。中档题，解答题为主，题型灵活，易因题干信息提取不完整、变量关系梳理不清出错。知识点01用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，理清题意；2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。【注意】自变量的取决范围。题型一动点面积问题解｜题｜技｜巧1.建坐标系：以固定边为坐标轴，设动点坐标（如设动点P(x,y)，其中y用二次函数表示）；2.面积表达：用“割补法”（如分割成直角三角形、矩形）或公式法（如三角形面积=1/2×底×高）列面积函数，转化为二次函数；3.求最值：根据二次项系数判断开口方向，利用顶点式（y=a(xh)²+k）求面积最值，注意自变量x的取值范围（动点运动区间）。【典例1】如图，在△BEF中，∠BFE=90°，EF=BF=2，正方形ABCD的边BC与BF在同一条直线上，AB=2，将△BEF沿BC平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，△BEF与正方形ABCD重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断△BEF在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象．【详解】解：当0≤x≤2时，△BEF向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为y=12x当2<x<4时，重合部分是一个四边形，面积等于△BEF的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：y=12×2×2−综上，选项A的图象符合题意，故选：A．【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在边BC上移动（不与点B，C重合），连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．由BE=x，CF=y，且△AEF为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可．【详解】解：如图，连接AF．∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，∴AB=CD=2，AD=BC=3，∵BE=x，CF=y，则CE=BC−BE=3−x，DF=CD−CF=2−y，∴AE2=BE2又∵△AEF为直角三角形，∴AE2+E整理得y=−1该函数图象是开口向下、顶点坐标是32∵点E在边BC上移动（不与点B，C重合），∴该函数图象不包含原点和x轴的交点，故选：B．【变式2】如图，在△BEF中，∠BFE=90∘，EF=BF=2，正方形ABCD的边BC与BF在同一条直线上，AB=2，将△BEF沿BC平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x,△BEF与正方形ABCD重合部分的面积为y，则y关于A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断△BEF在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象．【详解】解：设点B平移的距离为x，△BEF与正方形ABCD重合部分的面积为y．①∴当0≤x≤2时，如图1，BB′=x②当2<x≤4时，如图2，CG=CB′=x−2，EF=2∴y=12CG+EF综上，y=1由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：A．题型二增长率问题解｜题｜技｜巧1.牢记公式：若初始量为a，平均增长率（下降率）为x，经过n次变化后量为b，则：◦增长：a(1+x)ⁿ=b（x>0）；◦下降：a(1x)ⁿ=b（0<x<1）；2.解方程：整理为一元二次方程，舍去负根（增长率不能为负，下降率小于1）；3.验实际意义：结果需符合实际（如增长率不能过大）。【典例1】某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y=2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%【答案】34%【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把x=3代入解析式y=2x2+4x+4【详解】解：根据题意得：二次函数y=2x2+bx+c经过1,10∴2+b+c=108+2b+c=20解得b=4c=4∴二次函数解析式为y=2x当x=3时，y=2×9+4×3+4=18+12+4=34，∴第三年的增长率为34%，故答案为：34%．【变式1】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是．【答案】y=200【分析】由题意知，8月份生产玩具2001+x万只，9月份生产该玩具2001+x2【详解】解：由题意知，8月份生产玩具2001+x万只，9月份生产该玩具200依题意得，y=2001+x故答案为：y=2001+x【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式．【变式2】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为200元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为128元，求每次降价的百分率．【答案】(1)y=200(2)20%【分析】（1）利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可找出y与x（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为128元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）∵每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）∴依题意得：y=2001−x∴y与x之间的函数关系式为y=2001−x（2）依题意得：2001−x解得：x1=0.2=20%，∴每次降价的百分率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．题型三图形切割问题解｜题｜技｜巧1.设变量：设切割部分的边长为x（如剪去的小正方形边长）；2.表边长：用x表示剩余图形的边长（如无盖长方体的长=原长2x，宽=原宽2x，高=x）；列函数：根据面积/容积公式列二次函数，求最值（注意x>0且原边长2x>0）【典例1】如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去直角三角形（图中阴影部分）．设AE=BF=CG=DH=xcm，四边形EFGH的面积为ycm2，则y关于x【答案】y=2【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意表示出AH=DG=CF=EB=2−xcm，然后用正方形ABCD【详解】解：∵一张正方形纸板的边长为2cm，∴AB=BC=CD=AD=2cm，设AE=BF=CG=DH=xcm∴AH=DG=CF=EB=2−xcm∴y=2×2−4×1故答案为：y=2x【变式1】如图，四边形ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材，当AM的长x为m【答案】1【分析】本题考查了二次函数与图形面积的计算，理解题意，得到截取面板的面积为S=2x−1【详解】解：∵截取的两块面板均为正方形，AM=xm，则BM=AB−AM=2−xm，设截取面板的面积为∴S=x∵2>0，∴当x=1时，S的值最小，最小为2，故答案为：1．题型四抛物线轨迹运动——喷水问题解｜题｜技｜巧1.建坐标系：通常以抛出点/喷口为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴；2.定解析式：设抛物线为y=ax²+bx+c（或顶点式y=a(xh)²+k），代入已知点（如起点、最高点、落地点）求参数；3.求关键量：◦最大高度：顶点纵坐标（k）；◦射程：y=0时x的正根（落地点横坐标）。【典例1】（2023·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为【答案】9【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为y=ax−ℎ2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x=0【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax−ℎ由题意可知抛物线的顶点坐标为1,3，与x轴的一个交点为3,0，∴0=a×3−1解得：a=−3∴抛物线的解析式为：y=−3当x=0时，y=−3∴水管的高度为94故答案为：94【变式1】某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分OA所在直线为y轴，垂直于OA的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴36cm，距y轴12(1)直接写出点P的坐标__________；(2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分OA的距离为123+12cm【答案】(1)12,36(2)24cm【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键：（1）根据点到坐标轴的距离，写出点P的坐标即可；（2）根据题意得到抛物线与x轴的交点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，求出抛物线与y轴的交点即可得出结果。【详解】（1）解：∵点P距x轴36cm，距y轴12cm，且点P在第一象限，∴P12,36故答案为：12,36；（2）解：由题意得，设抛物线解析式为y=ax−122+36∴0=a123+12−12因此y=−1当x=0时，y=24，∴水龙头直立部分OA的长度为24cm．【变式2】小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置OP竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式y=−0.1x−4(1)求喷头P与地面的距离OP；(2)已知身高1.6m的小红现直立在距离喷水装置OP3m的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿BA方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点【答案】(1)0.4m(2)离点B3m远【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​．（1）令x=0，求出y即得答案；（2）计算当y=1.6，求出x，再用结果减去3即得答案．【详解】（1）当x=0时，y=−0.1×0−4答：喷头P与地面的距离OP为0.4m．（2）将y=1.6代入y=−0.1x−42+2解得x1=2（舍），6−3=3m，答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B3m远．题型五围墙栅栏问题解｜题｜技｜巧1.设变量：设与墙垂直的边长为x，与墙平行的边长为y；2.找关系：栅栏总长L=2x+y（或x+2y，依墙的位置定），故y=L2x；3.列面积函数：面积S=x・y=x(L2x)=2x²+Lx，求最大值（x>0且y=L2x>0）。【典例1】某工厂计划利用一块长为10米、宽为6米的矩形空地搭建一个矩形蔬菜大棚，大棚一边靠墙（墙足够长，可利用的墙长不超过8米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为16米．设大棚垂直于墙的一边长为x米，大棚的面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】S=−2x2【分析】本题考查二次函数的应用，解一元一次不等式组，解题的关键是根据题意构建二次函数模型．根据题意利用矩形的面积公式，列出面积S关于x的函数解析式，再根据平行于墙的长大于0，不超过8米建立一元一次不等式组求解．【详解】解：设大棚垂直于墙的一边长为x米，由题意得：S=16−2x∴S与x之间的函数关系式为S=−2x由题意得：16−2x>016−2x≤8解得4≤x≤6，∴自变量取值范围是4≤x≤6．【变式1】张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地ABCD用90m的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地ABCD的边缘除边AD外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设BC=x(1)求矩形田地ABCD的面积的最大值．(2)若矩形田地ABCD的面积不小于150m2，求【答案】(1)矩形田地ABCD的面积的最大值为270(2)当矩形田地ABCD的面积不小于150m2时，BC【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键．（1）由矩形的性质得GE=BE，AG=2GE，AB=CD=2AG，再由篱笆总长90m可得AB+CD+BC+EF+GH+JI=90m，进而可用含x的代数式表示出AG、AB，再根据矩形的面积公式可得二次函数S矩形ABCD（2）令−65x−152+270=150【详解】（1）根据题意可得矩形AGIJ，矩形JIHD，矩形GEFH，矩形BCFE的面积相等，∴GE=BE，AG=2GE，

∴AB=CD=2AG，∵BC=xm，∴GH=EF=xm，∵AB+CD+BC+EF+GH+JI=90m，∴2AG+2AG+AG+3BC=90，∴AG=18−3∴AB=2AG=36−6∴S矩形ABCD∵AB=36−6解得x<30，∴0<x<30，∴当x=15时，S矩形ABCD最大，最大值为270答：矩形田地ABCD的面积的最大值为270m（2）根据（1）可得S矩形ABCD令−6解得x1=5，∵−6∴二次函数S矩形ABCD=−6∴当x<15时，S矩形ABCD随x的增大而增大；当x>15时，S∴当5≤x≤25时，S矩形ABCD∴当矩形田地ABCD的面积不小于150m2时，BC的取值范围为【变式2】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m(2)羊圈的面积能达到650m(3)当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)能围成一个面积为640m2的羊圈，长和宽分别是20m，32m或16m，(2)不能围成一个面积为650m(3)AB为18米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是648m【分析】本题考查一元二次方程解决应用题及二次函数解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．（1）假设能围成，设AB=xm，根据面积列式方程求解即可得到答案；（2）假设能围成，设AB=xm，根据面积列式方程求解即可得到答案；（3）设面积为y表示出y与x出解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案；【详解】（1）解：假设能围成一个面积为640m2的羊圈，设x(70+2−2x)=640，解得：x1=20，答：能围成一个面积为640m2的羊圈，长和宽分别是20m，32m或16m，（2）解：假设能围成一个面积为650m2的羊圈，设x(70+2−2x)=650，整理得：x2∵△=36∴方程无解，∴不能围成一个面积为650m答：不能围成一个面积为650m（3）解：设面积为y，由题意可得，y=x(72−2x)=−2x∵−2<0，∴当x=18时，y最大，ymax∴AB为18米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是648m题型六折叠与展开问题解｜题｜技｜巧1.用折叠性质：折叠后“对应边相等、对应角相等”（如折叠点A到A'，则OA=OA'，PA=PA'）；2.设未知数：设折叠后重合的线段长度为x（如折痕上的点到顶点的距离）；3.列方程：在折叠形成的直角三角形中，用勾股定理列方程（常含二次项），求解后结合二次函数求最值。【典例1】在一次劳动课中，老师准备了一些长为40cm、宽为20cm的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为xcm的正方形，再在中间裁掉一块正方形BCFE(1)求制作的无盖纸盒的底面的边AB的长；(2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：cm3）与x（单位：cm）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y【答案】(1)10cm(2)y=−20x2+200x，当【分析】本题考查了列代数式、长方体的展开图、二次函数解析式和求函数值：（1）根据BC=DE及裁剪后的图形关系即可求解；（2）根据长方体的体积公式表示出y，再求值即可．【详解】（1）解：如图为两个无盖纸盒的展开图：由图可知，BE=BC=20−2xcm故AB=1故边AB的长为10cm；（2）解：根据题意，可知无盖纸盒的长宽高分别为：10cm,20−2x∴y=10×20−2x∴当x=5时，y=−20×5【变式1】综合与实践：利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子四边形ABCD是边长为30cm设计方案一：如图①，将正方形硬纸片ABCD的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形MNQP的包装盒（如图②所示）．（1）设MG=acm，MP=________cm，（用含a的代数式表示）；若底面积MNQP为162cm2，则MG设计方案二：如图③，将正方形硬纸板ABCD切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形MNQP的包装盒，设GF=xcm（2）请直接写出线段BF的长________cm（用含x的代数式表示）；（3）求长方体盒子的侧面积S(cm【答案】（1）15−a，6；（2）30−2x2【分析】（1）设MG=acm，则MN=30−2acm，MP=30−2a（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得EF=2xcm，即得（3）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出PF=2BF=152−x，再根据矩形的面积公式求出【详解】解：（1）设MG=acm，则MN=30−2acm，∵底面积MNQP为162cm∴MN⋅MP=30−2a解得：a1=6，∵MN=30−2a∴a<15，∴MG=6cm，MP=9cm．故答案为：15−a，6．（2）∵将正方形硬纸板ABCD切去四个全等的等腰直角三角形，GF=xcm，∴GE=GF=xcm．∴EF=2∴BF=1故答案为：30−2（3）由题意可知△BPF为等腰直角三角形，长方体盒子的侧面为4个全等的矩形，∴PF=2∴S矩形GFPH∴S=4S∵2x<30∴0<x<152∵−4<0，∴当x=15答：长方体盒子的侧面积的最大值为450cm【点睛】本题考查折纸长方体．熟练掌握折纸性质，矩形和正方形性质，长方体展开图性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的实际应用，是解题关键．题型七桥梁隧道问题解｜题｜技｜巧1.建坐标系：以抛物线顶点为原点（或拱脚连线中点为原点），对称轴为y轴；◦例：顶点在(0,h)，拱脚在(±a,0)，解析式为y=kx²+h；2.求参数：代入拱脚坐标求k，确定解析式；3.算实际量：代入高度y求x（宽度=2|x|），或代入宽度x求y（高度）。【典例1】一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．(1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式；(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？【答案】(1)y=−(2)船的宽度须不超过10米【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键．（1）根据题意得D0,4，B10,0，所以可设抛物线的解析式为y=ax（2）令y=3，得到方程−1【详解】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为0,4，抛物线与x轴的交点B的坐标为10,0，设抛物线的解析式为y=ax将B10,0代入解析式，得100a+4=0解得a=−1抛物线的解析式为y=−1（2）解：令y=3，则−1解得x=±5，∴船的宽度须不超过5×2=10米．【变式1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4(1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式．(2)水面下降1m【答案】(1)y=−(2)2【分析】本题考查了平面直角坐标系、二次函数解决实际问题：（1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式；（2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出增加的宽度【详解】（1）以拱顶为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系则抛物线的顶点在原点，设其解析式为y=a当拱顶离水面2m时，水面宽4m即当y=−2时，x=±2将2,−2代入解析式y=ax2解得：a=−所以函数解析式为：y=−（2）当水面下降1m时，此时拱顶离水面3m，即y=−3代入解析式y=−12解得：x=±此时水面宽度为2原水面宽4m所以水面宽度增加：2【变式2】黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资292030.68万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=−9(2)点A、B的坐标分别为：5−533【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数和二次函数图象的性质，解决此题的关键是正确计算；（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；（2）根据题目令函数值为6，得到方程，解方程即可得到答案；【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标P5,9可设抛物线的函数表达式为y=ax−5∵O0,0∴25a=−9，解得：a=−9∴抛物线的函数表达式为y=−9（2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6，∴−9解得：x1∴点A、B的坐标分别为：5−533题型八抛物线轨迹运动——抛球问题【典例1】在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（m）与飞出的水平距离x（m）满足y=−1(1)这次传球的出手高度是__________m，篮球飞行的最大高度是__________m；(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6m处，他的最大摸高是3m，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？【答案】(1)209(2)不能，前进5m或后退1m【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）对于出手高度，令x=0代入函数求y值；求最大高度，将二次函数化为顶点式来确定．（2）先求x=6时的y值，与3比较判断能否接到；若不能，令y=3，解出x的值，再与6比较确定前进或后退的距离．【详解】（1）解：令x=0，代入y=−1y=−1将y=−1y=−1∴篮球飞行的最大高度是4m．故答案依次为：209；4（2）解：当x=6时，y=−=−=∵329∴他在原地不能接到球．令y=3，则−1两边同乘9得：−xx2(x−1)(x−7)=0，解得x1=1，∴他应该后退7−6=1m能接到球或他应该前进6−1=5m能接到球．【变式1】在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度OA为85米，球在运动过程中的最高点离水平地面125米，此时距离球脱手处的水平距离为(1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式．(2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于8米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由．【答案】(1)y=−(2)小康这次的成绩不能得到满分，理由见解析【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据题意可设抛物线顶点式为y=ax−22+125（2）将x=8代入抛物线解析式中，可得−245<0【详解】（1）解：由题意可设y=ax−2将A0,85∴a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：小康这次的成绩不能得到满分．理由：当x=8时，y=−1∴小康投掷实心球的成绩小于8米，∴小康这次的成绩不能得到满分．【变式2】掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度ym与水平距离xm之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是2m，当水平距离为5(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4m【答案】(1)y=−(2)得不到满分；理由见解析【分析】本题考查二次函数的实际应用：（1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点0,2的坐标即可求解；（2）令y=0，求出落地点坐标即可与12.4m进行比较，从而作出判断．【详解】（1）解：由题可知抛物线的顶点为5,4，故可设y关于x的函数表达式为y=ax−5把起始点0,2代入表达式，得2=25a+4，解得a=−∴y=−2（2）解：该男生在此项考试中得不到满分．理由如下：令y=0，即0=−2解得x1∵12.07<12.4,∴该男生在此项考试中得不到满分．题型九销售问题解｜题｜技｜巧1.设变量：设单价涨（降）x元，或设新单价为x元；2.表销量：单价涨x元，销量减mx件（m为已知系数），即销量=原销量mx；3.列利润函数：利润W=(原单价+x成本)×(原销量mx)，转化为二次函数求最大值（x≥0且销量≥0）。【典例1】2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．王叔叔在翻身路做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y=−2x+140(x>40)．(1)若设利润为w元，请求出w与x的函数关系式．(2)若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)w=−2(2)当销售单价定为48元时获得最大利润352元【分析】本题考查了二次函数的实际应用（利润问题），解题的关键是根据利润公式建立函数关系式，再结合二次函数的性质和销售量的限制条件求解最值．（1）根据“利润=（单价进价）×销售量”，结合已知的进价、单价与销售量的函数关系，推导利润与单价的函数关系式；（2）先根据“销售量不少于44件”的条件求出x的取值范围；再将利润函数化为顶点式，结合二次函数的增减性，在取值范围内求最大利润及对应的销售单价．【详解】（1）解：由题：w=（x−40)(−2x+140)=−2x（2）解：由题：−2x+140≥44，∴x≤48，∵w=−2x∴x顶∵a=−2<0，∴当x≤48时，w随x的增大而增大，∴当x=48时，w最大，且最大为w=(48−40)×(−2×48+140)=352，答：当销售单价定为48元时获得最大利润352元．【变式1】2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元，根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件．(1)若商家决定降价销售，设每件降价x元x≥0，请直接写出每日销量y(件)与x(元)的函数关系式；(2)在（1）条件下，每件降价多少元时商家每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)y=200+20x(2)每件降价52【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．（1）根据“若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件”直接列式即可；（2）先根据总利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质作答即可．【详解】（1）由题意可知，每日销量y(件)与x(元)的函数关系式为：y=200+20x；（2）设每天获得的利润为W元，由题意得：W=(50−x−35)(200+20x)=−20(x−5∴当x=5答：每件降价52【变式2】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x>40），请你用x的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）．(2)在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)1000−10x(2)当单价为65元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为12250元．【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键．（1）先算出涨价(x−40)元，再根据条件化简即可．（2）根据（1）中数据列出二次函数解析式，配方求最值即可．【详解】（1）解：涨价(x−40)元，则少售出10(x−40)件，则销量为600−10(x−40)=(1000−10x)件，故答案为：1000−10x．（2）设总利润为w元，由题意可得w=(x−30)(1000−10x)，=−10x=−10(x=−10(x−65)当x=65时，w取得最大值12250，答：当单价为65元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为12250元．【变式3】某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．(1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价提高x元，求该商品销售利润y与x之间的函数关系式；(2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？【答案】(1)y=−2(2)每个毛绒玩具售价应定为50元【分析】本题主要考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据“毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个”可直接列出函数关系式；（2）由（1）及利润、售价及成本的等量关系式可列方程进行求解；【详解】（1）解：由题意得：y=40+x−30∴该商品销售利润y与x之间的函数关系式为y=−2x（2）解：由（1）可得：−2x解得：x1∵尽可能让利于顾客，∴x=10，40+10=50元，答：每个毛绒玩具售价应定为50元．题型十分段函数问题解｜题｜技｜巧1.找分段点：确定二次函数的适用区间（如x≥a时用二次函数，x<a时用一次函数）；2.分区间列函数：明确各段自变量范围，分别写出解析式；3.求最值/取值：在各段内分别求二次函数最值，再比较整体最值；代入时先判断自变量属于哪一段。【典例1】雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味．云南玉龙雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量y（单位：张）与门票的售价x（单位：元/张）的函数关系如图所示，已知门票售价不低于50元，不高于300元．(1)求y关于x的函数关系式；(2)求这一天玉龙雪山景区销售门票获得的总收入W的最大值．【答案】(1)y=(2)最大值为元【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）分50≤x≤200和200<x≤300两段，待定系数法求出函数解析式即可；（2）分50≤x≤200和200<x≤300两种情况，分别列出二次函数和一次函数关系式，求最值即可．【详解】（1）解：当50≤x≤200时，设y关于x的函数关系式为y=kx+bk≠0将50,17000，100,12000分别代入y=kx+b，得17000=50k+b12000=100k+b解得k=−100b=22000当50≤x≤200时，y关于x的函数关系式为y=−100x+22000；由图象可知，当200<x≤300时，y关于x的函数关系式为y=2000．综上所述，y关于x的函数关系式为y=−100x+22000（2）当50≤x≤200时，W=x−100x+22000∴当x=110时，W有最大值，最大值为．当200<x≤300时，W=2000x，∵2000>0，∴W随x的增大而增大，∴当x=300时，W有最大值，最大值为．∴600000<1210000，∴这一天玉龙雪山景区销售门票获得的总收入W的最大值为元．【变式1】图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段AB表示距离水平面（x轴）高度为20m的平台（点A在y轴上），滑道BC可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到y轴的距离是4m，点C到水平面的距离为5m，滑道CD可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到y轴的距离是25m，到水平面的距离是9m(1)求滑道BC的函数解析式及自变量x的取值范围；(2)求滑道CD的函数解析式及自变量x的取值范围；(3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面8m时，所滑过的水平距离为（直接写出所有可能的结果）．【答案】(1)y=(2)y=−(3)6m或16.5m或25.5m【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的应用；（1）根据题意得出点B坐标，利用待定系数法求出滑道BC的函数解析式，再求出点C坐标，可得自变量x的取值范围；（2）根据题意得出顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出滑道CD的函数解析式，然后再求出点D坐标，可得自变量x的取值范围；（3）分两种情况：①在滑道BC上时，②在滑道CD上时，分别求出y=8时对应的x的值，再进一步计算即可．【详解】（1）解：设滑道BC的函数解析式为y=k∵点B到y轴的距离是4m，距离水平面（x轴）高度为20m，∴B4,20代入得20=k∴k=80，∴滑道BC的函数解析式为y=80当y=5时，即5=80解得：x=16，∴C16,5∴自变量x的取值范围是4≤x≤16；（2）∵最高点到y轴的距离是25m，到水平面的距离是9m∴顶点坐标为25,9，∴设滑道CD的函数解析式为y=ax−25把C16,5代入得：5=a解得：a=−∴滑道CD的函数解析式为y=−4令y=0，即−4解得：x1=38.5，∴D38.5,0∴自变量x的取值范围是16≤x≤38.5；（3）分两种情况：①在滑道BC上时，令y=8，即8=80解得：x=10，∴滑过的水平距离为10−4=6m；②在滑道CD上时，令y=8，即−4解得：x1=20.5，x2此时滑过的水平距离为20.5−4=16.5m或29.5−4=25.5m，综上，滑过的水平距离为6m或16.5m或25.5m，故答案为：6m或16.5m或25.5m．题型十一匀变速直线运动问题（跨学科问题）解｜题｜技｜巧1.明确物理量：区分v₀（初速度，如0）、a（如重力加速度g=9.8m/s²，方向向下为负）；2.统一单位：确保时间（s）、速度（m/s）、位移（m）单位一致；3.用函数性质：求位移最大值（顶点横坐标为时间，纵坐标为最大位移），或求位移为0的时间（落地时间）。【典例1】一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（

）A．该重物在t=0.3秒时，速度为3米/秒B．该重物在0~0.2秒时间段内下降的距离与在0.2~0.4秒时间段内下降的距离相同C．时间每增加1秒，该重物的速度增加10米/秒D．当t=2秒时，该重物下降距离为20米【答案】B【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式．先求出一次函数的解析式，再求出t=0.3秒的速度，可以判断A；分别求出重物在0~0.2秒时间内下降的距离与在0.2~0.4秒时间段内下降的距离，可判断B；根据（A）中求得的函数表达式，可判断C；先求出函数表达式，再求出t=2时的函数值，可判断D．【详解】解：设直线的解析式为v=kt，则0.4k=4，解得：k=10，所以直线的解析式为v=10t，所以当t=0.3秒时，v=10×0.3=3米/秒，故A正确，但不符合；该重物在0~0.2秒时间段内下降的距离为0.2米，在0.2~0.4秒时间段内下降的距离为0.8−0.2=0.6，故B错误，符合；直线的解析式为v=10t，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加10米/秒，故C正确，但不符合；设距离（s）与时间（t）的函数解析式为y=ax因为当x=0.2时，y=0.2，所以0.2=0.22a所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为y=5x当t=2秒时，y=5×22=20故选：B．【变式1】（2025·浙江温州·二模）如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在O处开始减速，此时白球在黑球前面20cm处保持2cms的速度匀速运动．小聪测量黑球减速后运动距离y运动时间t01234…运动距离y07.51419.524…探究发现，y与t之间的数量关系可以用二次函数来描述．(1)求y关于t的函数关系式．(2)当t=5时，求两球之间的距离．(3)黑球能否追上白球？若能，求出追上时t的值；若不能，求出它们之间的最短距离．【答案】(1)y=−(2)2.5(3)不能；2【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析数，二次函数与一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）利用待定系数法即可求解；（2）表示出两球的路程表达式，代数求值即可；（3）利用一元二次方程根的判别式可得方程根的情况，利用二次函数顶点表达式即可求出最值．【详解】（1）解：设y=at2+bt+c，将点0,0，2,14得4a+2b=1416a+4b=24解得a=−1∴y=−1（2）解：令S表示两球之间的距离由题意可得，S=20+2t−−S=1当t=5时，S=2.5；（3）解：由（2）可知，当S=0时，12Δ=−6所以无解．∴两球不会相遇．S=1∵a=1∴抛物线顶点为最低点，∴当t=6时，S有最短距离为2．【变式2】综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒，从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过150km/h车速x030456090105120150制动距离y07.813.0519.234.243.0552.875探究任务：(1)已知该款新型汽车的制动距离ym和车速xkm/h之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：122=144，152(2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；(3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方28m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由．【答案】(1)y=(2)该款汽车开始刹车时的速度为80km/h；(3)有碰撞危险，理由见解析．【分析】本题考查二次函数的应用．求函数关系是计算相对复杂，需要细心，关键是理解并应用得到的函数解析式．（1）观察函数图象可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的数据代入，即可求得函数表达式；（2）取y=28.8，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的x的值即可；（3）取x=60，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离y的值，进而计算出制动非安全距离与所给的25m比较即可得到是否有碰撞危险．【详解】（1）解：函数图象如图所示，根据图象可得该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（km/h）之间为二次函数，设y=ax把30，7.8，7.8=900a+30b19.2=3600a+60b解得a=1∴该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（km/h）之间的函数关系式为y=1（2）解：当y=40时，可得40=1解得x1故该款汽车开始刹车时的速度为100km/h；（3）解：有碰撞危险，理由如下：当x=60时，y=19.2，19.2+60故有碰撞危险，建议司机降低车速保持安全距离．题型十二其他问题【典例1】冬季蔬菜大棚内某天的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）满足函数关系式T=−0.1t2+2.4t+5①蔬菜大棚内当天的温度T可以是16℃；②蔬菜大棚内当天的温度T的最大值为20℃；③蔬菜大棚内当天的温度T不低于19℃的时长为4h其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，T=−0.1t2+2.4t+5=−0.1(t−12)2+19.4，故当t=12时，T有最大值为19.4，且当【详解】解：由题意得，T=−0.1t∴当t=12时，T有最大值为19.4，且当t<12时，T随t的增大而增大，故②错误．∵0≤t≤24，且当x=0时，y=5，∴蔬菜大棚内当天的温度T可以是16°令T=19，∴19=−0.1(t−12)∴t=10或t=14．∵T=−0.1(t−12)∴蔬菜大棚内当天的温度T不低于19°C的时长为：综上，正确的有①③，共2个．故选：C．【变式1】【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对X、Y两种药物在注射后几小时内的微量元素E的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题．数据获取：待测量对象注射X药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（80∼120mg/dL），无较大幅度变化时停止记录，得到注射X药物后几小时内的微量元素E的浓度变化y1（单位：mg/dL）与时间x（单位：【初步探究】(1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素E可能是（）A．50mg/dL B．100mg/dL【问题解决】已知AB段微量元素E的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为y1(2)求AB段抛物线的函数解析式；(3)该测量对象注射X药物后多久时，微量元素E的浓度达到最大值，最大值是多少？【拓展应用】信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素E的浓度的最大值比注射X药物高40%，且达到最大值的时间比注射X药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素E的浓度变化曲线y2仍是抛物线且经过点信息2：注射X,Y药物后，微量元素F的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过A点的射线y=kx−2+90x≥2（其中k>0）．若注射药物生效后（x≥2），微量元素E的浓度高于微量元素F的浓度时为药物有效时间，记X药物的有效时间为t1，药物的有效时间为t2，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素F的浓度函数中的k(4)请帮助综合实践小组的同学求出注射Y药物后的微量元素E的浓度函数y2，并直接写出当t1t【答案】(1)B(2)y(3)该测量对象注射X药物后4h时，微量元素E的浓度达到最大值，最大值是150mg/dL(4)y2=−【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键．（1）观察图象即可判断；（2）利用待定系数法即可求解；（3）利用二次函数的性质即可求解；（4）由题意得，当x=4+1=5时，y2取得最大值，最大值为150×1+40%=210，设抛物线y2的解析式为y2=ax−52+210，利用待定系数法求出y【详解】（1）解：观察图象推断，正常情况下人体的微量元素E可能是100mg/dL．故选：B．（2）解：由图象可得，A2,90，C代入A2,90和C5,135到y1解得：b=120c=−90∴AB段抛物线的函数解析式为y1（3）解：由（2）得，y1∵−15<0，∴当x=4时，y1答：该测量对象注射X药物后4h时，微量元素E的浓度达到最大值，最大值是150mg/dL．（4）解：由题意得，当x=4+1=5时，y2取得最大值，最大值为150×∴抛物线y2的顶点为5,210设函数y2的解析式为y代入A2,90得，9a+210=90解得：a=−40∴函数y2的解析式为y联立y=−15x解得：x=2y=90或x=6−∴t联立y=−40解得：x=2y=90或x=8−∴t∵t∴4−解得：k=240∴综上所述，y2=−40【变式2】请根据以下素材，完成探究任务．飞行汽车背景飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力．建模某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B．此时点B距离地面0.4千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到抛物线y=ax2+2xa<0直线任务（1）若仪表监测到水平飞行时间为0.08小时，此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求a和b的值；（2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.49千米．水平飞行了t0.08≤t≤0.1小时到达点C后降落，求b【答案】（1）a=−0.9、b=4.4；（2）3.88≤b≤4.68【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键．（1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求出B2,0.4，C10,0.4，分别代入y=ax（2）根据对称轴为最高点A的横坐标求出a=−10049，得出抛物线y=−10049x2+2x，令y=0.4，求出B0.7,0.4,C【详解】解：（1）由题意得，水平飞行时的距离为：100×0.08=8km，∵10−8=2，∴B2,0.4，C把B2,0.4代入y=ax2+2xa<0把C10,0.4代入y=−0.4x+b中得0.4=−0.4×10+b，解得b=4.4（2）∵飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.49千米，∴抛物线对称轴为直线x=0.49，∴−2∴a=−100∴抛物线解析式为y=−100在y=−10049x解得x=0.7或x=0.28，∴B0.7,0.4将C0.7+100t,0.4代入直线y=−0.4x+b．得：0.4=−0.4∴t=b−0.68∵0.08≤t≤0.1，∴0.08≤b−0.68∴3.88≤b≤4.68．【变式3】打水漂是孩子们喜爱的一种游戏，通过掷扁形瓦片或石片使其在水面上连续弹跳，比拼距离和弹跳次数．在一次投掷中，小明把水漂从离水面1.6米高的A处向对岸投掷，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，弹起的最大高度均减少到上一次弹起最大高度的14．如图所示，以水面为x轴，以小明脚站立地为原点，建立平面直角坐标系．投掷后水漂在距原点4米处与水面相切后弹起，弹起高度为0.4(1)求第一次飞跃水面时抛物线的解析式．(2)求第二次飞跃水面时抛物线的解析式；若河两岸相距9米，则小明此次投掷水漂能否到对岸？【答案】(1)y=(2)y=1【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．（1）根据题意可得第一次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为4,0，把解析式设为顶点式，再代入点A坐标求解即可；（2）根据题意和（1）所求可得第二次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为8,0，则第二次飞跃水面时抛物线解析式为y=110x−8【详解】（1）解：∵投掷后水漂在距原点4米处与水面相切后弹起，∴第一次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为4,0，设第一次飞跃水面时抛物线的解析式为y=ax−4把A0,1.6代入得1.6=a0−42∴第一次飞跃水面时抛物线的解析式为y=1在y=110x−42中，当y=1∴0≤x≤6；（2）解：由（1）可得B6,0.4∵水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，∴第二次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为6+6−4,0，即∴第二次飞跃水面时抛物线解析式为y=1在y=110x−82中，当y=1∴若河两岸相距9米，则小明此次投掷水漂能到对岸．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2324九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB=8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC=1mA．9m B．647m C．8.7【答案】B【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所建坐标系及图形特点，结合AB=8，可得OA=OB=4，设抛物线的解析式为y=ax+4x−4，根据题意可求出点D的坐标为−3,4，代入y=ax+4x−4，即可求出抛物线解析式，令x=0，求出【详解】解：∵AB=8，∴OA=OB=4，∴点A−4,0，B设抛物线的解析式为：y=ax+4∵AC=1，∴OC=OA−AC=3，∵CD=4，∴点D−3,4∴4=a−3+4解得：a=−4∴抛物线的解析式为：y=−4当x=0时，y=−4∴门高OE为647故选：B．2．（2425九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−15x2+3.5A．3.5m B．4m C．4.5【答案】C【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题实际作出取舍，然后加上3即可得出答案．【详解】解：由题意可得，当y=3.05时，有：3.05=−整理得：x2解得：x1=−1.5（舍），∴他与篮底的距离l=3+1.5=4.5（米），故选：C．3．（2425九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为1m的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为45m，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是m2【答案】192【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．分析题意，可设该饲养室的宽为x，用x表示饲养室的长，利用矩形的面积=长×宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为45m，三处各留1m宽的门，根据图形可知则总长为48m，设该饲养室的宽为xm，则饲养室的长为48−3xm，面积S=x48−3x；观察可知面积S是x的二次函数，结合二次函数的性质，将S=x48−3x【详解】解：可建墙体的总长为45m，三处各留1m宽的门，根据图形可知则总长为48m．设该饲养室的宽为xm，则长为48−3xm该饲养室的面积S=x48−3x由二次函数的性质可知当x=8时，S取最大值，最大值为192．故答案为：192．4．（2425九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了元．【答案】5【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．【详解】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，w=x−40∴当x=55时，w取得最大值，此时w=4500，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元．答：每顶头盔降了5元，故答案为：5．5．（2425九年级上·浙江绍兴·期中）某书店销售儿童书刊，每套进价为30元，当每套售价为70元时，一天可销售出20套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价0.5元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？(3)书店每天盈利能达到1500元吗？请说明理由．【答案】(1)y=−2x(2)20元；(3)不可以，理由见解析．【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．（1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售20+x（2）求解方程−2x（3）根据y=−2x【详解】（1）解：设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售20+x由题意得：y=70−x−30（2）解：当y=1200时，−2整理得：x−152解得：x1但为了尽快减少库存，所以只取x=20，答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；（3）解：不可以，理由如下：y=−2x则当x=15时，y取得最大值1250，即书店的盈利不可以达到1500元．6．（2425九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场．(1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积；(2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？【答案】(1)28(2)9【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键．（1）根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）设小明围成的养鸡场的长为xm，则宽为12×(18+4−2x)m，围成的养鸡场面积为ym【详解】（1）解：根据题意得4×[(18−4)÷2]=28(m答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为28m（2）解：设小明围成的养鸡场的长为xm，则宽为12×(18+4−2x)m，围成的养鸡场面积为根据题意得，y=x[1∴小明围成的养鸡场的最大面积为1214∴1214答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大947．（2425九年级上·浙江金华·期中）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：ℎ=20t−5t(1)小球最高离地面多少米？(2)小球从飞出到落地需要多少时间？【答案】(1)小球飞行的最大高度是20m；(2)小球从飞出到落地需要4s．【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式是解题关键．（1）把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值；（2）当ℎ=0时，求得t=4，即可得到小球从飞出到落地需要的时间【详解】（1）解：ℎ=20t−5t∵a=−5<0，∴当t=2时，h有最大值，最大值为20，∴小球飞行的最大高度是20m；（2）解：当ℎ=0时，得20t−5t解得：t=4或0，答：小球从飞出到落地需要4s．8．（2425九年级上·浙江杭州·期中）某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．(1)求月利润为7000元时，每件衬衫的售价；(2)求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】(1)每件衬衫的售价90元(2)每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．（1）设每件衬衫的售价上涨x元，则200−2x60−40+x=7000且60+x≤105（即（2）由y=200−2x【详解】（1）解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得：200−2x60−40+x=7000且60+x≤105（即解得：x1∴60+x=60+30=90，答：每件衬衫的售价90元（2）解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元，则y=200−2x∴a=−2<0，开口向下，∵x≤45，∴当x=40时，y有最大值，最大值为y=7200；此时每件衬衫的售价为40+60=100（元），答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元．期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=3米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少个时，网球能落入桶内．【答案】5【分析】本题考查了抛物线的问题，解题的关键是需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．【详解】解：以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），M0,3，B2,0，C1,0设抛物线的解析式为y=ax∵抛物线过点M和点B，∴k=3∴k=3，a=−3∴抛物线解析式为：y=−3∴当x=1时，y=9当x=32时，∴P1,94设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得，2116解得：43∵m为整数，∴m的最小整数值为：5，∴竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球可以落入桶内．故答案为：5．2．（2425九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，AB为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），Rt△CDE为小斜坡，且BC=40m，CD=0.1m，FG为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），DF=0.2m，FG=0.2m．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为40m，当发射口抬高1米即BB′=1m【答案】0.5991.209≤B【分析】本题考查的是二次函数应用，建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．待定系数法求出函数表达式：y=−0.1x2+4x；当x=40.1时，y=−0.1x2+4x+1=0.599；而点F、G的坐标分别为：40.3,0、40.5,0，将点F的坐标代入【详解】解：以点B为原点，建立如下直角坐标系，由题意得，点B0,0、C40,0设抛物线的表达式为：y=axx−40将点20,40代入上式得：40=20a×（20−40），则a=−0.1，则抛物线的表达式为：y=−0.1x当BB′=1m当x=40.1时，y=−0.1x设抛物线的表达式为：y=−0.1x而点F、G的坐标分别为：40.3,0、将点F的坐标代入y=−0.1x2+4x+c解得：c=1.209；将点G的坐标代入y=−0.1x2+4x+c解得：c=2.205，即1.