第三章圆的基本性质（举一反三讲义）数学浙教版九年级上册

第三章圆的基本性质（举一反三讲义）全章题型归纳 【浙教版】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 9【题型1圆的相关概念及性质】 9【题型2图形的旋转】 11【题型3垂径定理及其应用】 15【题型4圆心角、弧、弦的关系】 20【题型5圆周角定理】 25【题型6圆内接四边形的性质】 30【题型7点和圆的位置关系】 35【题型8正多边形】 38【题型9弧长的计算】 43【题型10扇形面积的计算】 49【题型11圆锥的侧面积】 53【拔尖篇】 56【题型12圆与函数的综合】 56【题型13圆与格点作图】 66【题型14圆中的最值问题】 72【题型15隐圆问题】 77【题型16圆中的多结论问题】 84知识点1圆的定义及表示方法1.定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”．（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．确定一个圆需要两个要素圆心：确定圆的位置，圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的特性（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．知识点2圆的有关概念弦与直径连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．2.弧、半圆、劣弧、优弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（3）弧3.等圆与等弧能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．同圆或等圆的半径相等.知识点3垂直于弦的直径1.圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．2.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．③AM③AM=⑤A①CD是直径②CD⊥AB如图，④A⇒3.垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．①①CD是直径如上图，②AM=（AB不是直径）③CD⊥AB⑤A④A⇒由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．知识点4弧、弦、圆心角圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角．圆的旋转对称性将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心．圆心角及其所对的弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．如图，①如图，①∠AOB=∠C⇒②A③AB=推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，如上图，②AB⇒①∠AOB=∠C③AB=如上图，③AB=CD如上图，③AB=CD⇒①∠AOB=∠C②AB=由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”．知识点5圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，∠ABC=1圆周角定理的推论（1）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，AC=BD⇒（2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB=90°；∠ACB=90°（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．圆周角与圆心角的区别圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个联系两边都与圆相交知识点6圆内接多边形圆内接多边形的定义（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．知识点7点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为点知识点8三角形的外接圆1.圆的确定经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤：如图，（1）连接AB，BC；（2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O；（3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求．2.三角形的外接圆（1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点．（3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．（4）三角形的外心的位置类型锐角三角形直角三角形钝角三角形图示位置外心在三角形内部外心是斜边的中点外心在三角形外部知识点9正多边形及有关概念1.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．2.圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆．3.与正多边形有关的概念（1）中心，即正多边形的外接圆的圆心；（2）半径，即正多边形的外接圆的半径；（3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角；（4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离．知识点10正多边形的有关计算设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则（1）每个内角为(n−2)⋅180°n；每个中心角为（2）半径、边长、边心距的关系为R（3）周长l=na；面积以正六边形为例：知识点11正多边形的画法画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法：1.用量角器等分特点：（1）可以画出任意正多边形；（2）边数很大时，容易产生较大误差．步骤：（1）用量角器画一个等于360°n的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的（2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点；（3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形．2.用尺规等分特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确．画正六边形的步骤：（1）作直径AD；（2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E；（3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF．知识点12弧长公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR360，即πR180知识点13扇形及扇形的面积公式1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是πR2360，于是圆心角为知识点14圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．3.圆锥的基本特征（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．（2）圆锥的母线长都相等．（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．4.圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=πrl．全面积就是它的侧面积与它的【培优篇】【题型1圆的相关概念及性质】【例1】如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（

）A．25° B．30° C．50° D．60°【答案】A【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形内角和定理，等边对等角等知识，由平行线的性质得出∠C的度数，由等边对等角得出∠AOC的度数，由角的和差得出∠AOB的度数，然后由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：∵AC∥OB，∠BOC=50°，∴∠C=∠BOC=50°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=50°，∴∠AOC=80°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=130°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=1故选：A．【变式11】如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】B【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．【详解】解：弦为AB、CE、BC．故选：B．【变式12】如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，求证：OE=OF．【答案】见解析【分析】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．连接OA，OB，得到OA=OB，∠OBA=∠OAB，可以证明△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到【详解】证明：连接OA，OB，∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，又∵AE=BF，∴△OAE≌∴OE=OF．【变式13】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在⊙A上，则⊙A与数轴正半轴的交点E表示的数为．【答案】2【分析】本题主要查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，实数与数轴．连接AC，根据正方形的性质可得BC=AB=2，∠ABC=90°，再由勾股定理可得AC=22【详解】解：如图，连接AC，∵正方形ABCD的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，∴BC=AB=2，∠ABC=90°，∴AC=A∵点C在上，∴⊙A的半径为22∴⊙A与数轴正半轴的交点E表示的数为22故答案为：2【题型2图形的旋转】【例2】（2425九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（

）A．将甲绕点O顺时针旋转90°．B．将乙绕点O逆时针旋转90°．C．将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°．D．将甲先向下平移至点O和F重合，再绕点F逆时针旋转90°．【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°，图形甲和图形乙重合．【详解】解：A、将甲绕点O顺时针旋转90°，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意；B、将乙绕点O逆时针旋转90°，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意；C、将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°，图形甲和图形乙重合，符合题意；D、将甲先向下平移至点O和F重合，再绕点F逆时针旋转90°，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意．故选：C．【变式21】（2025·陕西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AC=2，M为AC边的中点．将△ABC绕点M旋转一定角度得到△A′B′C′，点A，B，CA．2 B．3 C．1 D．1【答案】C【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，由旋转的性质可得AM=A′M，∠C′【详解】解：由旋转的性质得AM=A∵M为AC边的中点，∴AM=CM=1∴A′∴∠MA∴∠AMA∴△AMA∴AA故选：C．【变式22】（2021九年级上·陕西西安·阶段练习）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．【答案】340【分析】先证四边形BGDH为平行四边形，再证BG=BH，然后由勾股定理求BＧ，四边形BGDH的周长=4BH即可．【详解】由题意得矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A=90∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积=BG⋅AB=BH⋅BE，∴BG=BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH=DH=DG=BG．设BH=DH=x，则AH=11−x．在Rt△ABH中，由勾股定理得7解得x=∴BG=85∴四边形BGDH的周长=4BG=340【点睛】本题考查四边形的周长问题，关键是证四边形BGDH为菱形，用勾股定理求BH，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，会用勾股定理解决问题．【变式23】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均为格点．请仅用无刻度直尺完成下列画图，并保留画图痕迹（画图结果用实线表示画图过程用虚线表示）．(1)将△ABC绕点O旋转180°，得到△DEF，画出△DEF．(2)作△ABC的边AB上的高CH．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查作图——旋转变换，作图——三角形高的画法；菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据旋转变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接可得；（2）将点A上移3格，然后往右移2格，得到点G，借助网格可求得AC=BC=AG=BG，那么四边形ACBG是菱形，连接CG交AB于点H，那么AB⊥CG，CH为所作．【详解】（1）解：分别画出A,B,C关于点O的对称点D,E,F，然后顺次连接，下图为所作：（2）解：将点A上移3格，然后往右移2格，得到点G，连接AG,BG，借助网格，可知AC=22+32=13∴AC=BC=AG=BG，∴四边形ACBG是菱形，∴AB⊥CG，连接CG交AB于点H，下图CH为所作：【题型3垂径定理及其应用】【例3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，交AB于点E，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D=30°，AB=43，则⊙O的半径为【答案】4【分析】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形、垂径定理，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，由垂径定理求出BE，从而求出OB即可．【详解】解：如图，设OC交AB于点E．∵∠D=30°，∴∠BOC=2∠D=60°，∵OC⊥AB，AB=43∴∠OBE=30°，BE=1∴OE=1∵OE∴12∴OB=4（负值舍去），∴⊙O的半径长为4．故答案为：4．【变式31】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．(1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC；(2)如图2，若AB=6，CD=8，DF是圆的直径，连接CF，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可；（2）连接FC，首先得到∠AED=∠DCF=90°，然后得到∠ADB=∠CDF，推出AB=CF，得到【详解】（1）证明：∵∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直径，∵AC⊥BD，∴AB=∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC；（2）解：如图2，连接FC，∵DF是⊙O的直径，∴∠DCF=90°，∵AC⊥BD，∴∠AED=∠DCF=90°，∵∠DAE=∠F，∴∠ADB=∠CDF，∴AB=∴CF=AB=6，∵CD=8，∴DF=C∴⊙O的半径是5．【点睛】此题考查了垂径定理的推论，90°角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【变式32】（2025·江西九江·三模）如图，AB是⊙O的直径，四边形AFDE是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．(1)在图1中，点F与点O重合，请作出AD的中点G．(2)在图2中，请作出AD的中点H．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识的性质是作图的关键．（1）连接OE并延长交⊙O于G，连接AD交OE于M，则根据平行四边形的对角线互相平分可得到AM=MD，根据平分弦（不是直径）的直径且垂直于弦,平分弦所对的两条弧可得OG平分AD；（2）由（1）可作AD的中点H，由中位线定理的圆周角定理定理得到ON⊥AD，同（1）理．【详解】（1）解：如图1，点G即为AD的中点；（2）解：如图2，点H即AD的中点．【变式33】（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离L=40m，弓形的高度S=10(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱桥线上的对应点E、F的距离均应不小于2m．某日，测得拱顶C点高出水面15m．现有一艘货轮露出水面部分的高度为13.2m，AB=14【答案】(1)25(2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．（1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OM、OQ，利用垂径定理可得MP=12MN=20m，设OQ=OM=xm（2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OE、EF，连接OC交EF于点G，由题意得四边形ABFE是矩形，则有EF=AB=14m，利用垂径定理得到EG=12EF=7m，进而利用勾股定理求出OG【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OM、OQ，由题意得，OQ⊥MN，MN=L=40m，PQ=S=10∴MP=1设OQ=OM=xm，则OP=OQ−PQ=∵在Rt△OPM中，O∴x−10解得：x=25，∴桥拱圆弧所在圆的半径为25m（2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OE、EF，连接OC交EF于点G，由题意得，四边形ABFE是矩形，∴EF=AB=14m∵OC⊥EF，∴EG=1由（1）得，OE=OC=25m∴OG=O∴CG=OC−OG=25−24=1m要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过15−1−2=12m∵13.2>12，∴需要提前增加货物，由题意得，至少需要增加13.2−120.1答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨．【题型4圆心角、弧、弦的关系】【例4】（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，M为劣弧AC上一点，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，翻折后点M恰好与圆心O重合，则∠B的大小等于（

）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】C【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接OC，OM，由等边三角形的判定方法得△AMO为等边三角形，结合圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC，OM，∵OC=OA，∴AO由翻折得：AM⌢∴AM=AO=MO，∴△AMO为等边三角形，∴∠AOM=60°，∴∠MOC=∠AOM=60°，∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=120°，∴∠B=1故选：C．【变式41】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上位于直径AB同侧的两点，且AD=BC，连接(1)求证：△ABD≌△BAC；(2)连接OC，若OC⊥BD，求∠ABD的度数．【答案】(1)见解析(2)30°【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．（1）根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB=∠ACB=90°，再根据已知易得：AD=BC，然后证明Rt△ABD≌（2）利用（1）的结论可得：∠DAC+∠CAB+∠ABD=90°，再根据垂径定理可得：CD=BC，从而可得【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵AD=∴AD=BC，∵AB=AB，∴Rt△ABD≌（2）解：如图：∵∠ADB=90°，∴∠DAC+∠CAB+∠ABD=90°，∵OC⊥BD，∴CD=∵AD=∴AD=∴∠DAC=∠CAB=∠ABD，∴∠ABD=30°．【变式42】（2025·青海西宁·中考真题）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点(1)求证：∠AOE=∠AOF；(2)求证：四边形AMON是菱形；(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)25【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：（1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；（2）先证明四边形AMON为平行四边形，等积法推出OM=ON，即可得证；（3）垂径定理结合勾股定理求出OG的长，设OM=AM=x，在Rt△AGM【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴AB=∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，∴AE=∴AE=∴∠AOE=∠AOF；（2）证明：∵AM∥OF，∴四边形AMON为平行四边形，∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，∴AG=1∵AB=AC，∴AG=AH，∵S四边形∴OM=ON，∴四边形AMON为菱形；（3）∵AB=16，∴AG=1在Rt△AOG中，由勾股定理，得：OG=由（2）知：四边形AMON为菱形，∴设OM=AM=x，则：MG=OM−OG=x−6，在Rt△AGM中，由勾股定理，得：x解得x=25∴OM=25【变式43】如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与A、C重合），连接DO并延长交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若△CDG的周长记为C1，△ABC的周长记为C2，则C1

【答案】1【分析】此题考查了折叠的性质，圆周定理，等边三角形的性质，连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，由折叠性质可知：AD=FD，则∠CAF=∠HFA，从而有AC=HF，通过弧度和差可得CH=【详解】如图，连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，

由折叠性质可知：AD=FD，∴∠CAF=∠HFA，∵∠CAH=∠HFC，∴∠CAH+∠CAF=∠HFC+∠HFA，即∠HAF=∠CFA，∴AC=∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB，∴AC=∴BC=HF，∴CH=∴∠HFC=∠BCF，∴CG=GF，设AC=a，∴△CDG的周长C1△ABC的周长C2∴C1故答案为：13【题型5圆周角定理】【例5】（2025·山东青岛·二模）如图，AB，DE是⊙O的直径，C是AE的中点，连接AC，CE，BE，BD，BC，若∠A=62°，则∠D的度数为（

）A．34° B．31° C．30° D．24°【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接OC，先利用圆周角定理可得∠BOC=124°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO=62°，从而可得∠AOC=56°，从而可得∠AOC=∠COE=56°，进而可得∠BOE=68°，最后根据圆周角定理进行计算即可解答．【详解】解：连接OC，∵∠A=62°，∴∠BOC=2∠A=124°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=62°，∴∠AOC=180°−∠A−∠ACO=56°，∵C是AE⏜∴AC∴∠AOC=∠COE=56°，∴∠BOE=∠BOC−∠COE=68°，∴∠D=1故选：A．【变式51】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，且AC平分∠BAO，D是⊙O上一点，连接CD，BD．若∠ACB=20°，则∠D的度数为．【答案】35°/35度【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键．如图：连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠OAB，根据角平分线的定义求出∠CAB，再根据圆周角定理解答即可．【详解】解：如图，连接OB，由圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB=40°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1∵AC平分∠BAO，∴∠CAB=1∵BC⏜∴∠D=∠CAB=35°，故答案为：35°．【变式52】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的直线CE，交OF于点E，其中OC⊥CE．(1)求证：EC=ED；(2)若OA=8，EF=6，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，等边对等角，熟练进行等量代换是解题的关键．（1）由OC⊥CE，即∠OCE=∠OCA+∠ACE=90°，由OC=OA得∠OCA=∠A，再结合OD⊥AB，通过等量代换得出∠ACE=∠CDE，即可证明EC=ED；（2）由AB为⊙O的直径，得∠ACB=90°，结合（1）中∠DCE=∠CDE，通过导角证明∠F=∠ECF，推出EC=EF，再用勾股定理依次解Rt△OCE和Rt【详解】（1）证明：如图，连接OC，∵OC⊥CE，∴∠OCE=∠OCA+∠ACE=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠A，∴∠A+∠ACE=90°，∵OD⊥AB，∴∠A+∠ODA=90°，又∵∠CDE=∠ODA，∴∠A+∠CDE=90°，∴∠ACE=∠CDE，∴EC=ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACF=∠DCE+∠ECF=90°，∠CDE+∠F=90°，由（1）得∠DCE=∠CDE，∴∠F=∠ECF，∴EC=EF，∵EF=6，∴EC=DE=6，∴在Rt△OCE中，OE=∴OD=OE−DE=10−6=4，∴在Rt△AOD中，AD=【变式53】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．(1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC；(2)如图2，若AB=6，CD=8，DF是圆的直径，连接CF，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可；（2）连接FC，首先得到∠AED=∠DCF=90°，然后得到∠ADB=∠CDF，推出AB=CF，得到【详解】（1）证明：∵∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直径，∵AC⊥BD，∴AB=∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC；（2）解：如图2，连接FC，∵DF是⊙O的直径，∴∠DCF=90°，∵AC⊥BD，∴∠AED=∠DCF=90°，∵∠DAE=∠F，∴∠ADB=∠CDF，∴AB=∴CF=AB=6，∵CD=8，∴DF=C∴⊙O的半径是5．【点睛】此题考查了垂径定理的推论，90°角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【题型6圆内接四边形的性质】【例6】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BEC=20°，得到∠ABC=90°−∠BAC=70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案.【详解】解：如图，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BEC=20°，∴∠CAB=∠BEC=20°∴∠ABC=90°−∠BAC=70°∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°−∠ABC=110°，故选：B【变式61】如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1:2:4，则∠D=．【答案】72°/72度【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出∠CDH，再根据平角的定义求解．【详解】解：如图，延长ED到H，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=∠BAD+∠BCD=180°，∴∠FBC+∠HDC=∠EAB+∠GCD=180°，∵∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1:2:4，∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度数之比为1:2:4:3，∵∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH=360°，∴∠CDH=360°×3∴∠ADC=180°−∠CDH=72°．故答案为：72°．【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．【变式62】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分∠BDE．(1)求证：CA=CB；(2)若点B为CAD的中点，DE=2，CE=6时，求【答案】(1)见解析(2)AD=6【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明∠ABC=∠EDC，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC，即可证明CA=CB；（2）过点C作CH⊥BD于H，设AD=x，则AE=AD+DE=x+2，由角平分线的性质得到CH=CE=6，证明Rt△ACE≌Rt△BCHHL，得到BH=AE=x+2，证明Rt△CDE≌Rt△CDH，得到DH=DE=2【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC+∠EDC=180°，∴∠ABC=∠EDC，∵CD平分∠BDE，∴∠EDC=∠BDC，∴∠ABC=∠BDC，又∵∠BDC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC，∴CA=CB；（2）解；如图所示，过点C作CH⊥BD于H，DE=2，设AD=x，则AE=AD+DE=x+2，∵CD平分∠BDE，CE⊥AD，CH⊥BD，∴CH=CE=6，又∵CA=CB，∴Rt△ACE≌∴BH=AE=x+2，同理可证明Rt△CDE≌∴DH=DE=2，∴BD=BH+DH=x+4，∵点B为CAD的中点，∴BC=∴BC=BD=x+4，在Rt△HBC中，由勾股定理得C∴62解得x=6，∴AD=6．【变式63】（2025·安徽六安·三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE并延长交BA延长线于点F．(1)求证：AF=BC；(2)若BC=2，求EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，角平分线定义，圆内接四边形性质判断相关角度关系，由AD=CD得到（2）连接AE，如图所示，由（1）知AF=BC=2，∠ADF=∠CDB，进而确定AE=CB，得到AE=CB=2，再由直径所对的圆周角是直角，在Rt【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=∠ADC=90°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴AD∴AD=CD，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDF=90°=∠ADC，∴∠ADF=∠CDB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠FAD=∠BCD，∴△DAF≌△DCBASA∴AF=BC；（2）解：连接AE，如图所示：由（1）知AF=BC=2，∠ADF=∠CDB，∴AE=CB∵BE是⊙O的直径，∴∠EAF=90°，在Rt△AEF中，由勾股定理得EF=2【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、弦与弧的关系、角平分线定义、圆内接四边形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握相关几何性质与判定，熟记圆的相关性质是解决问题的关键．【题型7点和圆的位置关系】【例7】矩形ABCD中，AB＝8，BC=35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PDA．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．【答案】C【详解】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP∴AP=2，∴根据勾股定理得出，r=PD=(35PC=PB∵PB=6＜r，PC=9＞r∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．【点睛】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断【变式71】（2425九年级上·广东江门·期末）如图，在⊙O中，弦MN的长为23，点A在⊙O上，MN⊥OA,∠ANM=30°．若⊙O所在的平面内有一点P，且OP=2，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【答案】A【分析】设OA与MN交于点D，圆周角定理得到∠AOM=60°，勾股定理求出OM的长，进而判断OP与OM的大小关系，即可得出结论．【详解】解：设OA与MN交于点D，∵MN⊥OA,∠ANM=30°，∴MD=ND=12MN=∴OD=1∴OD=1，∴OM=2，∵OP=2，∴OP=OM，∴点P在⊙O上．故选A．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，判断点与圆的位置关系，解题的关键是求出半径的长．【变式72】点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是．【答案】6.5cm或2.5cm【分析】分点P在⊙O外和⊙O内两种情况分析；设⊙O的半径为xcm，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设⊙O的半径为xcm当点P在⊙O外时，根据题意得：4+2x=9∴x=2.5cm当点P在⊙O内时，根据题意得：2x=9+4∴x=6.5cm故答案为：6.5cm或2.5cm．【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．【变式73】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【答案】A【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．由勾股定理可求得AB的长，进而得到AD的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为AD和AC长度之间时，B、C、D三点中只有点D在⊙A内，据此即可解答．【详解】∵在Rt△ABC中，BC=3，AC=4∴AB=A∵D为AB的中点，∴AD=1

由上图可知，当⊙A的半径r=AD=52时，点D在当⊙A的半径r=AC=4时，点C在⊙A上，点D在圆内，当⊙A的半径r=AB=5时，点B在⊙A上，点C、D在圆内，当⊙A的半径满足52<r≤4时，点D在当⊙A的半径满足4<r≤5时，点C、D在⊙A内，当⊙A的半径满足r>5时，点B、C、D在⊙A内，∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是52故选：A【题型8正多边形】【例8】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是．【答案】1,3【分析】过点P作PF⊥OA，垂足为F，计算PF，OF的长度即可.【详解】如图，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵正六边形OABCDE的边长是2，∴OA=2，∠OPA=60°，∴OP=2，∠OPF=30°，∴OF=1，PF=3，∴点P的坐标为（1，3），故答案为：（1，3）.【点睛】本题考查了正六边形的计算，熟练掌握正六边形的边长等于外接圆的半径，中心角为60°是解题的关键.【变式81】（2025·河南濮阳·二模）如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，点C在⊙O上，∠ACB=30°，则n=（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得∠AOB=60°，再根据正边形的边数“n=360°÷中心角”，即可求出n的值，求出中心角的度数是解题的关键．【详解】解：∵∠ACB=1∴∠AOB=60°，∴n=360°÷60°=6，故选：B．如图，正五边形【变式82】（2425九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目：(1)如图①，在⊙O内，作任意两条直径AB、CD，顺次连接A、C、B、D，则画出了⊙O的一个内接矩形，请说明理由；(2)如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法）【答案】(1)理由见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定；（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠ACB=90°，即可得证；（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接【详解】（1）解：∵AB,CD是直径，∴∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠ACB=90°，∴四边形ACBD是矩形；（2）解：如图所示，连接AC，BD并延长交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∴AC=∴∠ABC=∠DAB，AD=∴AF=BF，∠CAB=∠DBA，∴EA=EB，即E在AB的垂直平分线上，∵AC=∴∠ABC=∠DAB，∴FA=FB，即点F在AB的垂直平分线上，∴EF垂直平分AB，∴GA=GB，HA=HB，GH经过AB的中点，∴GH是⊙O的直径，∴∠GBH=∠GAH=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=∠AHB=90°，∴四边形AHBG是矩形，又∵GA=GB，∴四边形AHBG是正方形．【变式83】（2425九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图；(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF．(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH．(3)图②中正八边形ABCDEFGH的面积为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)32【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定；（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图，正六边形（2）圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°，根据正方形对角线能形成45°角，以此确定H、B、D、F，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可．（3）根据网格，先计算S△ABO【详解】（1）解：如图所示，如图①，正六边形ABCDEF即为所求；（2）如图所示，如图②，正八边形ABCDEFGH即为所求．（3）解：如图所示，过点B作BM⊥AO，∵∠AOB=∴△MOB是等腰直角三角形，∴OM=BM=∴S∴图②中正八边形ABCDEFGH的面积为8S故答案为：322【题型9弧长的计算】【例9】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线A．5π B．4π C．72【答案】C【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接AC，先根据平行线的性质求出∠CBD=∠ADB=35°，∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB=70°，根据弧长公式求出结果即可．【详解】解：连接AC，如图所示：∵l1∴∠CBD=∠ADB=35°，根据作图可知：AB=AC=AD，∴∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°，∵l1∴∠DAC=∠ACB=70°，∴CD的长为70π×9180故选：C．【变式91】（2025·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E．(1)如图1，连接DE，求∠ADE的度数；(2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=6，求DE的长．【答案】(1)135°(2)1【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBCSSS，得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性质得到∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解．【详解】（1）解：连接OD，∵CA=CB,OA=OB,OC=OC，∴△OAC≌△OBCSSS∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵OA=OD=OE，∴∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°∴x+x+y+y+90°=360°，∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；（2）解：连接OD，∵∠AOC=90°，D为AC中点，∴OD=AD=1∴OD=OA=AD=3，∴△ADO为等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=90°−60°=30°，∴DE的长为：30π×3180【变式92】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF．(1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数；(2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；(3)当∠EOF=150°时，求EMF的长．【答案】(1)45°(2)6(3)5π3或【分析】（1）根据题意证明出四边形EOFD是正方形，得到∠EOF=90°，然后利用圆周角定理求解即可；（2）首先证明出△OEM是等边三角形，如图所示，连接EF交BD于点G，求出MG=OG=12EM=1，EG=（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．【详解】（1）∵正方形ABCD的边长为5．∴AD=CD=5∵当AE=3时∴ED=DF=2∵OE=OF=2∴ED=DF=OE=OF∴四边形EOFD是菱形∵∠EDF=90°∴四边形EOFD是正方形∴∠EOF=90°∴∠EMF=1（2）∵四边形OEMF为菱形∴EM=MF=OE=OF∵扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，∴OE=OM=EM=2∴△OEM是等边三角形如图所示，连接EF交BD于点G∴EF⊥BD∴∠MEG=∴MG=OG=∴EG=∵∠EDG=45°∴△EGD是等腰直角三角形∴EG=DG=∴ED=E（3）如图所示，当EMF是劣弧时，∵∠EOF=150°，半径OE=2∴EMF=如图所示，当EMF是优弧时，∵∠EOF=150°，半径OE=2∴360°−150°=210°∴EMF=综上所述，EMF的长为5π3或7π【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【变式93】（2025·四川凉山·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°，若BC=22，则BC的长为【答案】π【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接OB,OC，根据三角形的内角和定理，求出∠A的度数，圆周角定理求出∠COB的度数，易得△OCB为等腰直角三角形，进而求出OB,OC的长，再根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：连接OB,OC，则：OB=OC，在△ABC中，∠ABC=65°,∠ACB=70°，∴∠A=180°−60°−75°=45°，∵△ABC内接于⊙O，∴∠COB=2∠A=90°，∴△OCB为等腰直角三角形，∴OC=OB=2∴BC的长为90π180故答案为：π．【题型10扇形面积的计算】【例10】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形ABCD中，AB=42，AD=2，以AB为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（

A．4π−8 B．2π−4 C．43π−8【答案】B【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设CD与半圆O交于点E，F，过点O作OM⊥CD于点M，则OM=AD=2，OE=12AB=12×42=22，根据垂径定理可得EF=2EM，∠FOM=∠EOM【详解】解：如图，设CD与半圆O交于点E，F，过点O作OM⊥CD于点M，则OM=AD=2，OE=1∴EF=2EM，∠FOM=∠EOM，∴EM=O∴OM=EM，EF=2EM=4，∴△EOM是等腰直角三角形，∴∠FOM=∠EOM=45°，∴∠EOF=90°，∴图中阴影部分的面积是S扇形故选：B．【变式101】（2425九年级上·广东韶关·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，把△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C′处，则ACA．16π B．12π C．8π D．4π【答案】A【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出BC=4cm，AC=43cm【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8cm∴BC=4cm，AC=4SS===16πcm故选：A．【变式102】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23，点C在OB上，且OC=AC．延长CB到D，使CD=CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为（结果保留π【答案】3【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含30°三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用S阴影【详解】解：过A作AH⊥OD于∵∠AOB=30°，OA=23∴AH=1∵OC=AC，∴∠OAC=∠AOB=30°，∴∠ACB=30°+30°=60°，∴∠CAH=30°，∴AC=2CH，设CH长度为x，则AC=2x，在△ACH中，由勾股定理得：x解得：x=±1，∵x>0，∴x=1，则CH=1，AC=2，∴CD=CA=OC=2，∴===33故答案为：33【变式103】（2425九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，点O､B的坐标分别为0,0､3,0，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得△OA(1)画出△OA′B(2)求旋转过程中点B所经过路径BB(3)求线段OA在旋转过程中扫过的平面图形的面积【答案】(1)图见详解，A(2)3(3)5π【分析】本题主要考查旋转的性质，网格的性质，弧长公式和扇形面积公式，解题的关键是掌握旋转的性质，（1）根据旋转的性质画出旋转后的图形，结合网格的性质写出点坐标即可；（2）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用弧长公式求解即可；（3）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用扇形公式求解即可．【详解】（1）解：如图，则A′（2）解：由图可知OB=3,∠BOB则旋转过程中点B所经过路径BB′的长度（3）解：由图可知OA=2则线段OA在旋转过程中扫过的平面图形的面积90π×2【题型11圆锥的侧面积】【例11】综合与实践主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．在制作好的生日帽中，AB=6cm，l=6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点【答案】6【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵l=6cm，r=3∴n=360×3∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为180°，如图所示．∴∠A∵PA∴PC=1∴在Rt△A′∴彩带长度的最小值为2A【变式111】（2025·浙江温州·二模）如图，圆锥的底面半径OB=5，高OA=12，该圆锥的侧面积是（

）A．60π B．85π C．65π【答案】C【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可．【详解】解：圆锥的母线AC的长=5∴这个圆锥的侧面积=1故选：C．【变式112】（2025·江苏徐州·二模）圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是°．【答案】144【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．设其侧面展开扇形的圆心角为n度，则nπl【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为n度，由题知，nπ×5解得n=144，∴其侧面展开扇形的圆心角为144°．故答案为：144．【变式113】在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸片重叠部分三层，且每层为(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2【答案】(1)能，见解析(2)5π【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；（2）求出扇形弧长为7.2πcm，则圆心角为7.2π÷6×180°π【详解】（1）解：如图所示：∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为14则围成的圆锥形的侧面积=1−2×∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为180度，如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：πd=π×6=6πcm该侧面展开图的圆心角为6π÷6×180°由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．（2）如果抽象地将母线长为6cm，开口圆直径为7.2cm的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为圆心角为7.2π÷6×180°滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为216°，又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，∴滤纸重叠部分每层面积=25π−【拔尖篇】【题型12圆与函数的综合】【例12】（2526九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的坐标分别为−2,0、0,4，过点M的直线与⊙M的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接AE、OD、BD．已知(1)⊙M的直径为________，点M的坐标为________；(2)求直线DF所对应的函数表达式；(3)已知点P是x轴上的一个动点，当∠PEA=∠OBD时，线段OP的长度为多少？【答案】(1)25，(2)y=(3)3【分析】（1）连接AB，求出AB，可得⊙M的直径，根据M为中点，可得点M坐标；（2）连接OM，在证OM2+FM2（3）设Em,12m+52，由M−1,2，EM=5，可得E−3,1，D【详解】（1）解：连接AB，如图：∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∵点A、点B的坐标分别为−2,0、0,4，∴AB=2∴⊙M的直径为25∵M为AB中点，∴M−1,2故答案为：25，M（2）解：连接OM，∵∠ODF=45°，∴∠OMF=2∠ODF=90°，∴OM设Ft,0∵O0,0，∴5+t+1解得：t=−5，∴F−5,0设直线DF所对应的函数表达式为y=kx+b，将M−1,2，F−k+b=2−5k+b=0解得k=1∴直线DF所对应的函数表达式y=1（3）解：设Em,∵M−1,2，EM=∴m+12+解得：m=1，m=−3，∴E−3,1，D∵∠FDO=45°，∠EOD=90°，∴∠DEO=45°，∵OD=∴∠OBD=45°，∵∠PEA=∠OBD，∴∠PEA=45°，∵∠PAE=180°−∠EAO，∠EAO+∠ODF=180°，∴∠PAE=45°，①当点P在点A左侧时，如图，连接OE,PE，∴∠EPA=90°，∴点E和点P横坐标相同，∵E−3,1∴P−3,0∴OP=3；②当点P在点A右侧时，∵∠PEA=45°,∠EAO=135°，∴∠PEA+∠EAO=180°，∴PE∥x轴，与点P在综上所述：OP的长度为3．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，解题的关键是分类讨论思想的应用．【变式121】（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在正方形ABCD中，AB=m，以B为圆心，AB为半径作弧AC，F为弧AC上一动点，作矩形DEFG，E、G在正方形ABCD的边上，设EF=x，矩形DEFG的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为2,8，则m=．【答案】10【分析】先证明四边形ABGE，四边形EGCD都是矩形，结合以B为圆心，AB为半径作弧AC，F为弧AC上一动点，得BF=m，BH=2mx−x2，HC=m−2mx−x2，y=xm−2mx−x2，因为点【详解】解：延长EF，交BC于点H，连接BF，如图，∵四边形EFGD为矩形，四边形ABCD为正方形，∴EG⊥BC，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∴四边形ABGE，四边形EGCD都是矩形，∴EG=AB=m，FG=HC，∵EF=x，∴GH=m−x，∵以B为圆心，AB为半径作弧AC，F为弧AC上一动点，∴BF=AB=m，∴BH=∴HC=FG=BC−BH=m−2mx−∴y=EF⋅FG=xm−∵点P的坐标为2,8，∴2m−∴m−4=4m−4∴m=10或m=2，经检验，m=10是原方程的根，m=2不合题意，舍去，∴m=10.故答案为：10【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【变式122】已知反比例函数y=kxx>0与正方形ABCO交于点M，N2,4，连接ON，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点

(1)求反比例函数的解析式；(2)①求扇形DOE的半径；②点M是否在圆弧DE上？________（填“在”或“不在”）；(3)比较阴影部分S3与S【答案】(1)y=(2)①扇形DOE的半径为25(3)S【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质，扇形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）利用待定系数法求解即可；（2）①由反比例函数y=kxx>0与正方形ABCO交于点M，N2,4，可得OC=4，CN=2，根据勾股定理求出ON，即可求解；②根据正方形的性质得到B4,4，进而得到点M的横坐标为4（3）根据S1+S【详解】（1）解：∵反比例函数y=kxx>0与正方形ABCO交于点M∴将N2,4代入y=kx解得：k=8，∴反比例函数的解析式为：y=8（2）①∵反比例函数y=kxx>0与正方形ABCO交于点M∴OC=4，CN=2，在Rt△CON中，ON=∴扇形DOE的半径为25②点M在圆弧DE上，理由：∵OC=4，四边形ABCO是正方形，∴BC=OC=OA=AB=4，∴B4,4∴点M的横坐标为4，设M4,a，代入y=得：a=8∴M4,2∴AM=2，连接AM，如图，则在Rt△AOM中，OM=又∵扇形DOE的半径为25∴点M在圆弧DE上；（3）S1=1=1=5π−8−SS=4×4−=8−S∵8−S∴S3【变式123】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线y=kx交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y=x向上平移m（m>0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.【答案】(1)y=(2)m=4−2或(3)10【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）由题意得平移后的直线解析式为y=x+m，如图所示，设直线y=x+m与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可；（2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可．【详解】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上，∴a=1，∴点A的坐标为（1，1），∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得1=k∴k=1，∴反比例函数解析式为y=1（2）解：由题意得平移后的直线解析式为y=x+m，如图所示，设直线y=x+m与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，∴点H的坐标为（0，m）∴OH=m，∵点C（2，2），∴CE=OE=2，OC=−2∴∠COE=45°，∴∠DOH=45°，同理可证∠BOE=45°，∴∠BOC=90°，即OC⊥AB，∵直线y=x+m与直线AB平行，∴OC与直线y=x+m垂直，又∵直线y=x+m与圆C相切于点C，∴CD与直线y=x+m垂直，∴C、O、D三点共线，∵圆C的半径为1，∴OD=OC−CD=22∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，∴∠DHO=45°，∴DH=OD=22∴OH=D∴m=4−2同理当切点D在圆O上方时可以求得m=4+2综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，m=4−2或m=4+（3）解：如图所示，连接PB，PC，BC，由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，∴点B的坐标为（1，1），∵Q是AP的中点，∴OQ是△APB的中位线，∴OQ=1∴要想OQ最大，则PB最大，∵PB≤PC+BC，∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，∵点C（2，2），点B（1，1），∴BC=−1+2∴PB∴O【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键．【题型13圆与格点作图】【例13】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中作弦AB的圆心角．(2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键．（1）连接OA,OB即可；（2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可．【详解】（1）如图，∠AOB即为所求，（2）如图，∠ACB,∠AEB,∠ADB,∠AFB即为所求，【变式131】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．(2)在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．【答案】(1)见解析（答案不唯一）(2)见解析（答案不唯一）【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质．（1）取格点D，连接AD,BD，根据AB=AB得到（2）取格点E，连接AE,CE，根据圆内接四边形对角互补即可得到∠AEC+∠ABC=180°．【详解】（1）解：如图，点∠ADB即为所求：（2）解：如图，∠AEC即为所求：【变式132】（2425九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在6×6的正方形网格中，A，B，C为⊙O与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，先画出圆心O，再在⊙O上画点D，使AD⊥AB；(2)在图2中，先画AB的中点E，再画弦AF=BC．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析【分析】（1）取圆与格线的交点D，连接BD,CD,AD，然后作BC的垂直平分线交BD于点O，即可；（2）连接AO并延长交圆于H，连接BH，DH，AD，由圆的对称性与圆周角定理可得四边形ABHD为矩形，取AD，BH与格线的交点M,N,G，可得四边形ANGM，ABNM为平行四边形，连接AG,MN，交于点I，连接OI并延长交圆O于点S，则由中位线的性质可得OI∥AM，可得OI⊥AB，可得E是AB的中点，取圆与格线的交点J，连接AJ并延长交格线于K，连接CK交⊙O于F，则四边形ABCK为平行四边形，可得AB∥CK，则∠BAC=∠ACF，连接【详解】（1）解：如图，点O，点D即为所求；；理由如下：∵∠BCD=90°，∴BD为直径，∴弦BC的垂直平分线与BD的交点为圆心O，连接AD，∴∠BAD=90°，∴AB⊥AD；（2）解：如图，点E即为所求．理由如下：由作图可得：AH,BD为直径，∴∠DAB=∠ABH=∠BHD=90°，∴四边形ABHD为矩形，∴AM∥∵AN∥∴四边形ANGM为平行四边形，∴IM=IN，IA=IG，∵四边形ABHD为矩形，∴AD∥BH，∴∠ADO=∠HBO，∠DMO=∠BGO，∴△DMO≌△BGO，∴OM=OG，∴OI是△GAM的中位线，∴OI∥∴IO⊥AB，∴E为AB的中点；如图，弦AF即为所求，理由如下：由作图可得：AK=BC，AK∥∴四边形ABCK是平行四边形，∴AB∥∴∠BAC=∠ACK，∴BC⏜∴BC=AF．【点睛】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置，圆周角定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键．【变式133】（2425九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，并在AB⏜上作点D，使AD=AC(2)在图②中，⊙O经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，点D是⊙O和网格线的交点，连接AB，BD，请在AD上作点E，使BE平分∠ABD，并在BC上作点F，使得CF∥BD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；（1）连接AN,BC交于点O，则O即为圆心，取3×5的格点M，连接CM，则CM⊥AN，连接AD，根据垂径定理即可得出AD=AC；（2）根据网格的特点取AD的中点P，连接OP并延长交⊙O于点Q，连接BQ交AD于点E，根据垂径定理可得AQ⏜=DQ连接DC并延交网格线于点H，则DC=CH，连接BH交网格线于点G，则BG=GH，连接CG交BC⏜于点F，则CF【详解】（1）如图，连接AN,BC交于点O，则O即为圆心，取3×5的格点M，连接CM，则CM⊥AN，连接AD，则AD=AC；（2）如图，根据网格的特点取AD的中点P，连接OP并延长交⊙O于点Q，连接BQ交AD于点E，根据垂径定理可得AQ⏜=DQ连接DC并延长交网格线于点H，则DC=CH，连接BH交网格线于点G，则BG=GH，连接CG交BC⏜于点F，则CF理由如下，根据网格的特点取AD的中点P，连接OP并延长交⊙O于点Q，连接BQ交AD于点E，根据垂径定理可得AQ⏜=DQ根据CH=CD,GB=GH，则GC是△HBD的中位线，则CF∥【题型14圆中的最值问题】【例14】如图，⊙O半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（

）A．5−1 B．1 C．2−1 【答案】A【分析】连接