2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量基本定理及坐标表示

第29页（共29页）2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量基本定理及坐标表示一．选择题（共8小题）1．若O、A、B、C为空间四点，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OC→共线 B．OA→C．OB→，OC→共线 D．O，A，B，2．已知a→=（﹣3，2，5），b→=（1，5，﹣1），则a→•A．（0，34，10） B．（﹣3，19，7） C．44 D．233．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OG→=xOA→+yOB→+zOC→A．（14，14，14） B．（34，3C．（13，13，13） D．（23，4．在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量AB→=(4，A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）5．若点A（1，2，3），点B（4，﹣1，0），且AC→=2CBA．（3，0，1） B．（2，1，2） C．(32，-6．已知a→=(λ+1，0，2)，b→A．2，12 B．-13，12 C．﹣37．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若CA→=a→，CB→A．a→+b→-c→ B．a→8．已知空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→A．12a→-2C．12a→+二．多选题（共4小题）（多选）9．设a→A．若a→⊥b→，B．则a→，b→C．对空间任一向量p→，总存在有序实数组（x，y，z），使pD．则a→+b→，（多选）10．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若空间向量a→，b→，满足|aB．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥C．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=13OA→+D．若向量a→+b→，b→+c→，（多选）11．以下四个命题中正确的是（）A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a→，b→，c→}为空间向量的一组基底，则{a→+b→C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP→=2OA→-2OB→+OC→，则PD．向量a→，b→，（多选）12．设{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若x→=A．{a→，b→，x→} B．{x→，y→，z→} C．{b→，c→，z→} 三．填空题（共4小题）13．H：x﹣y+z＝2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则为L的方向向量．14．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x，y，z，使向量BM→=xAB→+yAD→+zAA1→，则x+215．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AC1→=（2，2，1），则B1D→16．（理）设a→=(1，3，-2)，b→=(2，m+1，n四．解答题（共4小题）17．已知空间直角坐标系中，A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．（1）若AP→=2PB（2）求三角形ABC的面积．18．已知空间向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2，b3），定义两个空间向量a→与b→之间的距离为d（a→，b→）=（1）若a→=（1，2，3），b→=（4，1，1），c→=（112，12，0），证明：d（a→，b→）+d（（2）已知c→=（c1，c2，c①证明：若∃λ＞0，使b→-a→=λ（c→-b→），则d（a→，b→）+d②若d（a→，b→）+d（b→，c→）＝d（a→，c→），是否一定∃λ＞019．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．（1）求线段AC1的长；（2）若AB→=a→，AD→=b20．如图，四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE＝BE，CF＝2DF，设DA→=a→（1）以{a→，（2）若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，且|DA→|=4，|DB→

2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DCACAADD二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDCDBCBCD一．选择题（共8小题）1．若O、A、B、C为空间四点，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OC→共线 B．OA→C．OB→，OC→共线 D．O，A，B，【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】转化思想；空间向量及应用．【答案】D【分析】向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，可得：向量OA→，【解答】解：∵向量OA→，OB→，∴向量OA→，OB→，因此O，A，B，C四点共面，故选：D．【点评】本题考查了空间向量基底、向量共线与共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知a→=（﹣3，2，5），b→=（1，5，﹣1），则a→•A．（0，34，10） B．（﹣3，19，7） C．44 D．23【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据已知条件，结合空间向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：∵a→=（﹣3，2，5），b→=（1，∴a→+3b→=(-3，2∴a→故选：C．【点评】本题主要考查空间向量的数量积公式，属于基础题．3．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OG→=xOA→+yOB→+zOC→A．（14，14，14） B．（34，3C．（13，13，13） D．（23，【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；待定系数法．【答案】A【分析】由题意推出OG→，使得它用OA→，OB→，OC→，来表示，从而求出x，【解答】解：∵OG→=3=34OA→+34•23[12（AB→+AC=1而OG→=xOA→+yOB→+zOC→，∴x=故选：A．【点评】本题考查空间向量的加减法，考查待定系数法，是基础题．4．在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量AB→=(4，A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）【考点】空间向量运算的坐标表示；空间中的点的坐标．【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据空间向量的坐标表示，求出点的坐标，再求出线段AB的中点坐标．【解答】解：空间直角坐标系O﹣xzy中，点A（3，﹣1，0），所以OA→=（3，﹣1，又向量AB→=(4，所以OB→=OA→+AB→=（7，9，﹣6），即点所以线段AB的中点坐标为（3+72，-1+92，0-62），即（5，故选：C．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与线段中点坐标公式，是基础题．5．若点A（1，2，3），点B（4，﹣1，0），且AC→=2CBA．（3，0，1） B．（2，1，2） C．(32，-【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据题意，设C（x，y，z），由空间向量的坐标计算公式可得关于x、y、z的方程组，解可得x、y、z的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设C（x，y，z），则AC→=（x﹣1，y﹣2，z﹣3），CB→=（4﹣x，﹣1﹣又由AC→=2CB→，则x-1=2(4-x)y-2=2(-1-故选：A．【点评】本题考查空间向量的坐标计算，注意空间向量的坐标计算公式，属于基础题．6．已知a→=(λ+1，0，2)，b→A．2，12 B．-13，12 C．﹣3【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题．【答案】A【分析】直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．【解答】解：因为a→=(λ+1，0，所以2μ﹣1＝0，解得μ=12，λ+16=22λ，解得所以λ与μ的值可以是：2，12或﹣3故选：A．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若CA→=a→，CB→A．a→+b→-c→ B．a→【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题．【答案】D【分析】将向量A1B→分解成A1A→+AB→，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将A【解答】解：A=-CC=-c故选：D．【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，解题的关键是利用向量的三角形法则，属于基础题．8．已知空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→A．12a→-2C．12a→+【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】数形结合；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用OA→，OB→，OC→【解答】解：如图空间四边形OABC中OA→∵点M在OA上，且OM＝3MA，∴OM→=34OA∴ON→=1∴MN=1=-3故选：D．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．设a→A．若a→⊥b→，B．则a→，b→C．对空间任一向量p→，总存在有序实数组（x，y，z），使pD．则a→+b→，【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学抽象．【答案】BCD【分析】根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，能求出结果．【解答】解：a→对于A，若a→⊥b→，b→⊥c→，则a对于B，由基底的定义和性质得a→，b→，对于C，根据空间向量基本定理得：对空间任一向量p→，总存在有序实数组（x，y，z），使p→=对于D，假设a→+b→，b→+有b→+c→则存在实数λ，μ，使得a→+b→=λ（b→∴（1﹣μ）a→+（1﹣λ）b→-（λ+a→，b∴假设错误，∴a→+b→，b∴a→+b→，b→故选：BCD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间向量的基底的概念、空间向量基本定理等基础知识，是基础题．（多选）10．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若空间向量a→，b→，满足|aB．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥C．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→=13OA→+D．若向量a→+b→，b→+c→，【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；平面向量的概念与平面向量的模．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学抽象．【答案】CD【分析】根据空间向量的相关概念和运算直接分析求解即可．【解答】解：对于A，模长相等，但方向不一定相同，则a→=b对于B，因为空间中垂直于同一直线的两直线不一定平行，所以B错误；对于C，由平面的向量可知OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，则A，B，C三点不共线．由空间中平面的向量表示可得A，B，C，D对于D，若向量a→+b→，b→+c→，c→+a→是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量d→，存在唯一的实数组（x，y，z故选：CD．【点评】本题考查空间向量的概念和相关运算，属于中档题．（多选）11．以下四个命题中正确的是（）A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a→，b→，c→}为空间向量的一组基底，则{a→+b→C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP→=2OA→-2OB→+OC→，则PD．向量a→，b→，【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维．【答案】BC【分析】根据空间向量的定义，对选项中的命题真假性判断即可．【解答】解：对于A，空间的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示，所以选项A错误；对于B，假设{a→+b→，b→+c→，c→+a→}不构成空间向量的一组基底，则a→+b→=x（b→+c→）+y所以1-x=01-y=0-x-y=0，方程组无解，即x、y、z不存在，所以假设不成立，即对于C，因为OP→=2OA→-2OB→+OC→，所以OP→-OC→=2（OA→-OB→），即CP对于D，因为向量是可以平行移动的，所以向量a→，b→，c→故选：BC．【点评】本题考查了空间向量的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．（多选）12．设{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若x→=A．{a→，b→，x→} B．{x→，y→，z→} C．{b→，c→，z→} 【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】分别判断各组向量是否共面，即可得出结论．【解答】解：因为x→=a→+b→，所以向量a→，b→，x假设x→，y→，z→共面，则存在λ，μ∈R，使得z→=即c→+a→=λ（a→+b→）+μ（b→+c所以λ=1所以假设不成立，即x→，y→，z所以{x→，y→，z同理可得{b→，c→，z→}，{x→，y故选：BCD．【点评】本题考查了空间向量共面的判定问题，是基础题．三．填空题（共4小题）13．H：x﹣y+z＝2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则（2，﹣1，﹣3）为L的方向向量．【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】根据所给的平面的方程，写出平面的一个法向量，设出直线的一个方向向量，根据两个向量之间的关系得到两个向量的数量积等于0，求出未知数，得到要求的直线的方向向量．【解答】解：∵x﹣y+z＝2为坐标空间中一平面∴平面的一个法向量是n设直线L的方向向量为d∵L在H上，∴d→与平面H的法向量n故d∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，∴OP故OP解得b＝﹣1，c＝﹣3故答案为：（2，﹣1，﹣3）【点评】本题考查空间向量运算的坐标表示，本题解题的关键是写出平面的法向量，然后根据两个向量之间的关系得到结论．14．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x，y，z，使向量BM→=xAB→+yAD→+zAA1→，则x+2【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相等向量和相反向量的定义即可得出BM→=-12AB→+12AD→+A【解答】解：BM=A=-1又BM→∴x=-∴x+2故答案为：72【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，空间向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．15．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AC1→=（2，2，1），则B1D→的坐标为（﹣2【考点】空间向量运算的坐标表示；空间中的点的坐标．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象；运算求解．【答案】（﹣2，2，﹣1）．【分析】利用长方体的特征，结合已知向量，转化求解即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AC1→=（2，2，1），可知AB＝AD＝2，AA则B1D→=-AB→故答案为：（﹣2，2，﹣1）．【点评】本题考查空间向量的应用，向量坐标的求法，是基础题．16．（理）设a→=(1，3，-2)，b→=(2，m+1，n【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】a→∥b→，由存在实数k使得b→【解答】解：∵a→∥b→，∴存在实数k使得b→则2=km+1=3kn-1=-2k，解得则实数m﹣n＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．已知空间直角坐标系中，A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．（1）若AP→=2PB（2）求三角形ABC的面积．【考点】空间向量运算的坐标表示；空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；解三角形；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）p（-13，73【分析】（1）直接利用向量的共线求出点P的坐标；（2）利用向量的夹角公式和向量的模及三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）设点P（x，y，z），由于AP→=2PB→，所以（x﹣1，y﹣1，z﹣1）＝2（﹣1﹣x．3﹣y，整理得：p（-1（2）由于A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．所以|AB→|=3故cosA=AB→⋅AC→|AB→故S△【点评】本题考查的知识要点：空间向量的坐标的求法，向量的模，向量的夹角，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．已知空间向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2，b3），定义两个空间向量a→与b→之间的距离为d（a→，b→）=（1）若a→=（1，2，3），b→=（4，1，1），c→=（112，12，0），证明：d（a→，b→）+d（（2）已知c→=（c1，c2，c①证明：若∃λ＞0，使b→-a→=λ（c→-b→），则d（a→，b→）+d②若d（a→，b→）+d（b→，c→）＝d（a→，c→），是否一定∃λ＞0【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】空间向量及应用．【答案】（1）∵a→=(1，2，∴d(a→，b∴d(（2）①∵∃λ＞0，使b→∴∃λ＞0，使得（b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3）＝λ（c1﹣b1，c2﹣b2，c3﹣b3），即∃λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（ci﹣bi），其中i＝1，2，3，∴bi﹣ai与ci﹣bi（i＝1，2，3）同为非负数或同为负数．∴d(即d(②不存在λ＞0，使得b→【分析】（1）利用新定义分别计算：d(a→，b（2）①由于∃λ＞0，使b→-a→=λ(c→-b→)，可得∃λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（c因此bi﹣ai与ci﹣bi（i＝1，2，3）同为非负数或同为负数．代入去掉绝对值符号即可证明．②不一定∃λ＞0，使得b→-a→=λ(c→-b→)．举反例如下：取a→=(1，1，1)，b→=(1，2，1)，c→=(2，2【解答】证明：（1）∵a→=(1，2，∴d(a→，b∴d(（2）①∵∃λ＞0，使b→∴∃λ＞0，使得（b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3）＝λ（c1﹣b1，c2﹣b2，c3﹣b3），即∃λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（ci﹣bi），其中i＝1，2，3，∴bi﹣ai与ci﹣bi（i＝1，2，3）同为非负数或同为负数．∴d(即d(②不一定∃λ＞0，使得b→反例如下：取a→=(1，1，d(a→，b→)=1∵b→-a∴不存在λ＞0，使得b→【点评】本题考查了新定义距离、向量的线性运算法则、绝对值的意义，属于难题．19．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．（1）求线段AC1的长；（2）若AB→=a→，AD→=b【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）6；（2）A1【分析】（1）易得AC1→（2）设A1B→=x(【解答】解：（1）根据题意，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．因为AC所以A|AC1→所以|A所以线段AC1的长为6．（2）因为A1设A1B→根据a→，b→，c所以A1【点评】本题考查利用向量求线段的长，考查向量不共面的证明，考查用基底向量表示空间向量，属中档题．20．如图，四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE＝BE，CF＝2DF，设DA→=a→（1）以{a→，（2）若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，且|DA→|=4，|DB→【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）FE→（2）|FE【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接计算；（2）利用基底法，结合向量数量积的运算律求模长．【解答】解：（1）由已知CF＝2DF得DC→则FE→（2）由（1）得FE→所以|=1所以|FE【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．

考点卡片1．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．2．空间中的点的坐标【知识点的认识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（x13．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-32分析：利用共线向量的条件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．4．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【知识点的认识】1．空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，2．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→3．空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以点O为原点，分别以e1→，e2→，e3其中，点O叫做原点，向量e1→，e24．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p→，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→=p→，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解题方法点拨】1．基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→+2．空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．3．用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．5．空间向量基本定理及空间向量的基底【知识点的认识】空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→【命题方向】﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底．6．空间向量基底表示空间向量【知识点的认识】1．空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，2．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→﹣基底表示：任何空间向量v→都可以表示为基底向量的线性组合：v→=c1b→1+c2b﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c1，c2，c3．【命题方向】﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量．7．空间向