2026年高考数学复习热搜题速递之椭圆

第37页（共37页）2026年高考数学复习热搜题速递之椭圆一．选择题（共6小题）1．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若A．x23+y22=1 BC．x212+y282．已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|A．13 B．12 C．9 D．63．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得A．(13，23C．(23，1)4．已知椭圆C：x2a2+y24=A．13 B．12 C．22 5．设F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=3aA．12 B．23 C．34 6．设F1（﹣4，0）、F2（4，0）为定点，动点M满足|MF1|+|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段二．多选题（共6小题）（多选）7．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x2a2+y2b2=1(a＞A．对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R B．椭圆x2a2C．椭圆x2a2D．对于椭圆x2a2+y（多选）8．已知F1、F2是椭圆x29+y2b2=1(0＜b＜3)的左、右焦点，T（﹣3，2），椭圆上（异于顶点）的点PA．直线PT必定与椭圆相切 B．三角形TPF1与三角形TPF2面积之和为定值6 C．三角形TF1F2与三角形PF1F2面积之和为定值6 D．点F1、F2到直线PT的距离相等（多选）9．已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆CA．|PF1|+|PF2|＝4 B．存在点P满足∠F1PF2＝90° C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为-9D．若△F1PF2的面积为27，则点P的横坐标为±4（多选）10．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，A．椭圆C的离心率为12B．△PF2F1的周长为4 C．若∠F2PF1＝90°，则△PF2F1的面积为3 D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60°（多选）11．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2 B．对直线l上任意点P，PA→•PB→C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为433D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2（多选）12．已知椭圆C：x24+y28=1内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于AA．椭圆的焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0） B．椭圆C的长轴长为42 C．直线l的方程为x+y﹣3＝0 D．|AB|=三．填空题（共4小题）13．设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B14．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P15．点P为椭圆x225+y216=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1上的动点，则|PM|+|PN|16．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF→=2FD→，则C的离心率为四．解答题（共4小题）17．已知曲线C：x24+y29=1（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．18．设椭圆x2a2+y23=1（a＞3）的右焦点为F（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．19．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（32，﹣1（1）求E的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT→=TH20．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，﹣3），右焦点为F，且|（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OC→=OF→，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段

2026年高考数学复习热搜题速递之椭圆（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案ACDCCD二．多选题（共6小题）题号789101112答案ACABCDADADBCD一．选择题（共6小题）1．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若A．x23+y22=1 BC．x212+y28【考点】椭圆的几何特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】A【分析】利用△AF1B的周长为43，求出a=3，根据离心率为33，可得c＝1，求出【解答】解：∵△AF1B的周长为43，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝43，∴a=3∵离心率为33∴ca=33，∴b=a∴椭圆C的方程为x23故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2．已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|A．13 B．12 C．9 D．6【考点】椭圆的几何特征；基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1所以|MF1|•|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9所以|MF1|•|MF2|的最大值为9．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．3．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得A．(13，23C．(23，1)【考点】求椭圆的离心率．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】D【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2＝F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞1当e=12时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e＞13且e≠12时也存在2个满足条件的等腰△F这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（13，12）∪（12故选：D．【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．4．已知椭圆C：x2a2+y24=A．13 B．12 C．22 【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆C：x2a2+y2可得a2﹣4＝4，解得a＝22，∵c＝2，∴e=c故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．5．设F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=3aA．12 B．23 C．34 【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题．【答案】C【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|＝|F2F1|，根据P为直线x=3【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|＝|F2F1|∵P为直线x=3∴2(∴e故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．6．设F1（﹣4，0）、F2（4，0）为定点，动点M满足|MF1|+|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【考点】椭圆的定义．【专题】向量与圆锥曲线．【答案】D【分析】首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上，从而得到结论．【解答】解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，∵|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|+|MF2|＝8，∴点M在线段F1F2上．故选：D．【点评】本题考查轨迹的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．多选题（共6小题）（多选）7．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x2a2+y2b2=1(a＞A．对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R B．椭圆x2a2C．椭圆x2a2D．对于椭圆x2a2+y【考点】椭圆的几何特征；命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】AC【分析】对于曲线上任意取一点，由题意可以判断选项A，由椭圆方程中变量有范围限制，进而可以确定选项BC，再利用导数可以判断出选项D．【解答】解：选项A：圆的方程为：x2所以圆上任意一点曲率半径为R4(x2+y2R4)3选项B，C：当a＞b＞0时，xx02a4+因为x02∈[0，a2]，所以x02a4+所以R=a2b2(x所以曲半径的最大值为a2b，最小值为故B错误，C正确；选项D：R=a2b令f（a）=14a-8f'(a∴R在（1，+∞）上随a增大而增大，D错误．故选：AC．【点评】本题考查了新概念，曲线任意点的曲率，应用导数研究变化趋势，属于难题．（多选）8．已知F1、F2是椭圆x29+y2b2=1(0＜b＜3)的左、右焦点，T（﹣3，2），椭圆上（异于顶点）的点PA．直线PT必定与椭圆相切 B．三角形TPF1与三角形TPF2面积之和为定值6 C．三角形TF1F2与三角形PF1F2面积之和为定值6 D．点F1、F2到直线PT的距离相等【考点】椭圆的几何特征．【专题】证明题；综合题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】AB【分析】根据题意，结合过椭圆上一点的切线的性质和结论，以及三角形面积公式，逐一判断即可．【解答】解：为方便解题，现补充以下两个结论：结论1：F1、F2是椭圆的两个焦点，若点P是椭圆上异于顶点的任一点，则点P处的切线平分∠F1PF2的外角．证明：如图，设椭圆x2a2+y2b则过椭圆上一点P（acosθ，bsinθ）的切线为xcosθa因此切线的斜率k=-bcosθasinθ，因此tan∠PMF2＝﹣k因为kPF1=bsinθacosθ+c=tan∠PF所以tan∠MPF2＝﹣tan（∠PMF2+∠PF2M）=-tan同理tan∠MPN＝tan（∠PMF2+∠PF1M）=b因此∠MPF2＝∠MPN，即点P处的切线平分∠F1PF2的外角．结论2：PA、PB为椭圆的两条切线，切点为A、B，则PF2平分∠AF2B．证明：如图，作F1关于AP的对称点F1′，F2关于PB的对称点F2′，由结论1易知F1、B、F2′三点共线，F1′、A、F2三点共线．因为PF1′＝PF1，PF2′＝PF2，且F1F2′＝BF1+BF2′＝BF1+BF2＝2a，F1′F2＝AF1′+AF2＝AF1+AF2＝2a，所以△PF2F1′与△PF2′F1全等，因此∠PF2′B＝∠PF2A，又因为△PBF2′与△PBF2全等，因此∠PF2′B＝∠PF2B，所以∠PF2A＝∠PF2B，因此PF2平分∠AF2B．对于本题，结合题意，作出如下图形，其中A为椭圆x29+y2b2=1(0＜b＜3)的左顶点，F1关于AT的对称点F因为∠TF2F1＝∠TF2P，且TA与椭圆相切，所以结合以上两个结论，易知直线PT必定与椭圆相切，又因为点P异于椭圆的定点，所以F2F1与TP不平行，因此点F1、F2到直线PT的距离不相等，故A正确，D错误；结合结论2的证明过程，易知△TF1F2′与△TF1′F2全等，△TPF2′与△TPF2全等，因此S△TPF1+S△TPF2=S故三角形TPF1与三角形TPF2面积之和为定值6，故B正确；对于C，假设b2＝4，c2＝5，设P（x0，y0），则椭圆过点P的切线为：x0因切线过点T（﹣3，2），所以-x0即x0=32y0﹣联立x0=32y0-3x02则y0＝2或y0＝0（舍），故S△TF1F2+S△PF1F2=12|F1F2|•|即三角形TF1F2与三角形PF1F2面积之和不为定值6，故C错误；故选：AB．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，两个结论证明是解题的关键，考查数形结合思想，属于难题．（多选）9．已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆CA．|PF1|+|PF2|＝4 B．存在点P满足∠F1PF2＝90° C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为-9D．若△F1PF2的面积为27，则点P的横坐标为±4【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】CD【分析】先由椭圆方程求出椭圆的左右焦点坐标以及左右顶点的坐标，利用椭圆的定义即可判断选项A；根据∠F1PF2＝90°，可得点P满足的轨迹方程，再与椭圆方程联立整理求解，即可判断选项B；设出点P的坐标，代入椭圆方程，再利用斜率公式即可判断选项C；求出三角形PF1F2的面积，即可求出点P的纵坐标，从而求出点P的横坐标，即可判断选项D．【解答】解：由椭圆方程可得：a＝4，c=7，F1（-7，0），F2（7，0），A1（﹣4，0），A2（4，对于A，由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝8，故A错误；对于B，若∠F1PF2＝90°，则点P在圆：x2+y2＝7上，联立椭圆方程可得方程组无解，故B错误；对于C，设点P的坐标为（m，n），则m2直线PA1与直线PA2的斜率之积为nm-4对于D，三角形PF1F2的面积为S=12⋅2c⋅h=27，解得y代入椭圆方程可得x＝±435，故故选：CD．【点评】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，涉及到向量的坐标运算以及三角形的面积的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．（多选）10．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，A．椭圆C的离心率为12B．△PF2F1的周长为4 C．若∠F2PF1＝90°，则△PF2F1的面积为3 D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60°【考点】椭圆上的点与焦点的距离．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】对A，根据题意可得a+c＝3，a﹣c＝1即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据张角的最大值判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．【解答】解：对A，由题意a+c＝3，a﹣c＝1，故a＝2，c＝1，离心率为ca=1对B，△PF2F1的周长为2a+2c＝6，故B错误；对C，由A知a＝2，c＝1，则张角∠F2PF1的最大值为60°，故C错误；对D，由余弦定理|=(|PF1|+|PF2|)2-2|P解得cos∠F2PF1=12，故∠故选：AD．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．（多选）11．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2 B．对直线l上任意点P，PA→•PB→C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为433D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2【考点】椭圆相关动点轨迹．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】对于A：由e=ca=1-b2a2=2对于B：根据题意推出点P在圆x2+y2＝3b2上，进而可得当A，B恰为切点时，PA→•PB→=-1对于C：由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|＝2a，则d﹣AF2＝d+AF1﹣2a，只需d+AF1最小值，即可判断C是否正确；对于D：由对角线为蒙日圆的直径，对角线为蒙日圆的直径，设边长为x，y，利用基本不等式，可判断D是否正确．【解答】解：对于A：因为点Q（a，b）在蒙日圆上，所以方程为x2+y2＝a2+b2，又e=ca=1-b2a2=2对于B：因为l过定点P（b，a），而又P满足蒙日圆方程，所以点P在圆x2+y2＝3b2上，当A，B恰为切点时，PA→•PB→=0对于C：由A在椭圆上，得|AF1|+|AF2|＝2a，所以d﹣AF2＝d﹣（2a﹣AF1）＝d+AF1﹣2a，当F1A⊥l时，d+AF1有最小值，由上可得c2＝a2﹣b2＝2b2﹣b2＝b2，即点F1到直线l的距离d=|-bc所以|d﹣AF2|min=433b﹣2a对于D：当矩形四边形与椭圆C相切时，它为蒙日圆的内接矩形，对角线为蒙日圆的直径，设边长为x，y，则x2+y2＝（2r）2＝4r2＝12b2，所以S矩形＝xy≤x2+y22故选：AD．【点评】本题考查椭圆的方程，最值，向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．（多选）12．已知椭圆C：x24+y28=1内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于AA．椭圆的焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0） B．椭圆C的长轴长为42 C．直线l的方程为x+y﹣3＝0 D．|AB|=【考点】椭圆的几何特征．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】由题意方程求得a、c判断A与B；利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程判断C；联立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D．【解答】解：由C：x24+y28=1，得椭圆焦点在y轴上，且a2＝则a＝22，b＝2，c=a∴椭圆的焦点坐标为（0，2），（0，﹣2），长轴长为2a＝42，故A错误，B正确；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x124两式作差可得：(x∵M（1，2）为线段AB的中点，∴x1+x2＝2，y1+y2＝4，则y1∴直线l的方程为y﹣2＝﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3＝0，故C正确；联立x24+y28=1x+y-则x1∴|AB|=1+(-1)2故选：BCD．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．三．填空题（共4小题）13．设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B【考点】椭圆的几何特征．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|．∴|AF1|＝2|AF2|．设|AF2|＝n，则|AF1|＝2n，|F1F2|=3n∴e=c【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．14．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】由“asin∠PF1F2=csin∠PF2F1”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：|PF2|【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：|则由已知得：a|即：a|PF1|＝c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解得：x由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则a(整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜-2-1或e＞2-故椭圆的离心率：e∈(故答案为：(2【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．15．点P为椭圆x225+y216=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1上的动点，则|PM|+|PN|的取值范围是【考点】椭圆的定义．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】由题设知椭圆x225+y216的左右焦点分别是两圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1的圆心，由此能求出【解答】解：依题意，椭圆x225+y216=1的焦点分别是两圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）所以（|PM|+|PN|）max＝2×5+3＝13，（|PM|+|PN|）min＝2×5﹣3＝7，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]故答案为：[7，13]．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．16．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF→=2FD→，则C的离心率为【考点】椭圆的几何特征．【专题】压轴题；数形结合．【答案】见试题解答内容【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|＝2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出ca【解答】解：如图，|BF作DD1⊥y轴于点D1，则由BF→=2FD→，得即xD=又由|BF|＝2|FD|，得a=2a-3c2a，a2＝法二：设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则B（0设D（m，n），BF→=（c，﹣b），FD→=（m﹣由BF→=2FD→，可得（c，﹣b）＝2（m﹣解得m=32c，n=-b所以9c24故答案为：33【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．四．解答题（共4小题）17．已知曲线C：x24+y29=1（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】直线与椭圆的综合．【专题】坐标系和参数方程．【答案】（Ⅰ）x=2cosθy=3sinθ，（θ为参数），2x+y（Ⅱ）最大值为2255，最小值为【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x＝2cosθ、y＝3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：x24+y29=1，可令x＝2cos故曲线C的参数方程为x=2cosθy对于直线l：x=2+由①得：t＝x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6＝0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为d=则|PA|=d当sin（θ+α）＝﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为225当sin（θ+α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为25【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．18．设椭圆x2a2+y23=1（a＞3）的右焦点为F（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．【考点】椭圆的几何特征．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】（1）x2（2）k=-64或k【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入1|OF|+1（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得BF→⋅HF→=(1-x1，-y1)⋅(1，-yH)=0，整理得到M的坐标与【解答】解：（1）由1|得1a即a+∴a[a2﹣（a2﹣3）]＝3a（a2﹣3），解得a＝2．∴椭圆方程为x2（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA＝∠MAO，∴x0＝1，再设H（0，yH），联立y=k(x-2)x24+y23=1，得（3+4k2）xΔ＝（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＝144＞0．由根与系数的关系得2x∴x1=8MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=-1k（x﹣x令x＝0，得yH＝（k+1k）x0﹣2∵BF⊥HF，∴BF→即1﹣x1+y1yH＝1-8k2-63+4k2-12k3+4k2整理得：x0=9+20k212(k2∴k=-64或k【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．19．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（32，﹣1（1）求E的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT→=TH【考点】椭圆与平面向量．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】（1）x2（2）由A(0，①若过点P（1，﹣2）的直线斜率不存在，直线x＝1．代入x2可得M（1，-263），N(1，263)，将y=-263代入y=23x-2，可得T(-6+3②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立kx-y-(k+2)=0x23+y24=1，得（3k2+4）x2﹣6故有x1+xx1y2+x2y1＝x1（kx2﹣k﹣2）+x2（kx1﹣k﹣2）＝kx1x2﹣kx1﹣2x1+kx1x2﹣kx2﹣2x2＝2kx1x2﹣（k+2）（x1+x2）＝2k•3k(4+k)3k=-∴x1y2联立y=y1KN→=（x2，y2KH→=（3y1+6﹣x1，y1又（y2+2）（3y1+6﹣x1）﹣x2（y1+2）＝﹣2（x1+x2）+6（y1+y2）﹣x1y2﹣x2y1+3y1y2+12＝﹣2×6k(2+k)3k2+4+6×-8(2+k)3k2+4-＝﹣2×6k(2+k)3k2+4+6×-8(2+k)∴H，N，K三点共线，故直线HN过点（0，﹣2），综上，可得直线HN过定点（0，﹣2）．【分析】（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），将A，B两点坐标代入即可求解；（2）由A(0，-2)，B(32，-1)可得线段AB：y=23x-2，①若过P（1，﹣2）的直线的斜率不存在，直线为x＝1，代入椭圆方程，根据MT→=TH→即可求解；②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立kx【解答】解：（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），将A(0，-解得m=13，n故E的方程为x2（2）由A(0，①若过点P（1，﹣2）的直线斜率不存在，直线x＝1．代入x2可得M（1，-263），N(1，263)，将y=-263代入y=23x-2，可得T(-6+3②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立kx-y-(k+2)=0x23+y24=1，得（3k2+4）x2﹣6故有x1+xx1y2+x2y1＝x1（kx2﹣k﹣2）+x2（kx1﹣k﹣2）＝kx1x2﹣kx1﹣2x1+kx1x2﹣kx2﹣2x2＝2kx1x2﹣（k+2）（x1+x2）＝2k•3k(4+k)3k=-∴x1y2联立y=y1KN→=（x2，y2KH→=（3y1+6﹣x1，y1又（y2+2）（3y1+6﹣x1）﹣x2（y1+2）＝﹣2（x1+x2）+6（y1+y2）﹣x1y2﹣x2y1+3y1y2+12＝﹣2×6k(2+k)3k2+4+6×-8(2+k)3k2+4-＝﹣2×6k(2+k)3k2+4+6×-8(2+k)∴H，N，K三点共线，故直线HN过点（0，﹣2），综上，可得直线HN过定点（0，﹣2）．【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．20．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，﹣3），右焦点为F，且|（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OC→=OF→，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段【考点】直线与椭圆的综合．【专题】综合题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）y=12x﹣3或y＝x﹣【分析】（Ⅰ）根据可得c＝b＝3，由a2＝b2+c2，可得a2＝18，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y＝kx﹣3，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b＝3，记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，由a2＝b2+c2，可得a2＝18，∴椭圆的方程为x2（Ⅱ）：∵直线AB与C为圆心的圆相切于点P，∴AB⊥CP，根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y＝kx﹣3，由方程组y=kx-3x218+y29=1，消去y可得（2k2+1）x2﹣依题意可得点B的坐标为（12k2k∵P为线段AB的中点，点A的坐标为（0，﹣3），∴点P的坐标为（6k2k由3OC→=OF→，可得点C的坐标为（故直线CP的斜率为-3∵AB⊥CP，∴k•32k整理可得2k2﹣3k+1＝0，解得k=12或k＝∴直线AB的方程为y=12x﹣3或y＝x﹣【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当x＝技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．3．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e=ca（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴