2026年高考数学一轮复习专题2.3 幂函数与二次函数（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题2.3幂函数与二次函数(举一反三讲义)【全国通用】【题型1幂函数的定义】 【题型2比较幂值的大小】 【题型3幂函数图象的判断及应用】 【题型4幂函数的图象与性质的综合应用】 【题型5求二次函数的值域或最值】 【题型6二次函数的图象问题】 1【题型7二次函数的单调性问题】 【题型8二次函数的恒成立问题】 1、幂函数与二次函数(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质(2)熟练掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性与最值等)次函数的图象与性质.知识点1幂函数的解题技巧1.幂函数的解析式幂函数的形式是y=x“(a∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.知识点2二次函数的解题技巧1.二次函数解析式的求法(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值，选用顶点式.(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.2.二次函数的图象问题(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.3.二次函数的单调性与最值闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.4.二次函数的恒成立问题不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.【题型1幂函数的定义】【例1】(25-26高一上·全国·课后作业)下列函数中，属于幂函数的是()A.y=(2x)²B.y=√xC.D【解题思路】由幂函数的定义即可求解.【解答过程】形如y=xα(a为常数且α∈R)为幂函数，要求底数为变量且系数为1,对比选项仅有B:符合要求.【变式1-1】(2025高三·全国·专题练习)下列函数既是幂函数又是奇函数的是()A.y=x³B.y=x²C.y=x³+1【解题思路】结合函数奇偶性的性质以及幂函数的定义与性质分别检验各选项即可.且定义域为R,满足f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)为奇函数，故A正确；y=√x的定义域为(0,+∞),不关于原点对称，所以y=√x为非奇非偶函数，故D错误，个数为()A.0【解题思路】利用幂函数定义直接判断作答.函数y=2x²,y=(x+1)²都是二次所以所给函数中幂函数的个数是1.【变式1-3】(24-25高一上·上海·期中)下列函数是幂函数且在(0,+∞)上是减函数的是()A.y=x²B.C.y=2x-1【答案】D【解题思路】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得.对于C,函数y=2x-¹不是幂函数，C不是；【题型2比较幂值的大小】A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a【解题思路】根据幂函数单调性分析判断即可.【解答过程】因为y=x⁰.2在R上单调递增，所以2⁰.2>0.40.2,即a>b,又因为0.40.2=(0.4²)0.1=0.16⁰.1,又且y=x⁰.1在[0,+∞]上单调递增，所以0.16⁰.1>0.150.1,b>c,所以a>b>c.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】利用幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【解答过程】因为a、b∈(0,1)U(1,+∞)且c>0,因为幂函数y=xc在(0,+∞)上为增函数，若a>b>1,则aC>bc,即“a>b>1”→“ac>bC”,若aC>bC,则a>b且a、b∈所以，“a>b>1”是“aC>bC”的充分不必要条件.【变式2-2】(24-25高一上·安徽·期中)幂函数f(x)=(m²-m-1)xm²+2m-5在区间(0,+∞)上单调递增，A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【解题思路】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可.【解答过程】由函数f(x)=(m²-m-1)xm²+2m-5是幂函数，可得m²-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数，故f(x)=x³.又a+b>0,所以a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),则f(a)+f(b)>0.【变式2-3】(2025-湖北孝感·模拟预测)已知f(x)为奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2x-x²,当x>2时，A.-f(-√26)>f(2⁰.3)>f(3⁰.3)B.f(2⁰.3)>f(3⁰.3)>C.-f(-√26>f(3⁰.3)>f(2⁰.3)D.f(30.3)>f(2⁰.3)>-f(-√26)【答案】A【解题思路】利用题给条件求得f(x)在[1,3]上单调性，利用f(x)为奇函数求得-f(-√26),f(1)的大小关系，再利用幂函数性质比较30.3,20.3的大小关系，进而得到f(3⁰.3),f(2⁰.3),-f(-√26)三者间的大小关系.【解答过程】因为当0≤x≤2时，f(x)=2x-x²,则f(x)在(2,3)上单调递减，在[3,+∞]上单调递增.则f(1)>f(2⁰.3)>f(3⁰.3)【题型3幂函数图象的判断及应用】【例3】(24-25高一上·浙江杭州·期末)如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为()【解题思路】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.【解答过程】对于A,定义域为(-∞,0)U(0,+c),当x<0时，,不符合题意；【解题思路】结合图象及幂函数的性质判断即可.【解答过程】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为(0,+c),且图象呈现上凸趋势，则指数α的值满足0<α<1,排除选项AD;又y=x³=³x2的定义域为R,y=x=x³的定义域为[0,+o],故y=x4符合题意.图所示，则()【解答过程】因为函数y=xq的定因为函的图象关于y轴对称，又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，第一象限内的图象，则α₁,α2,α₃依次可以是()【答案】A【解题思路】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到α₁>1>α₂>0>α₃,即可得答案.且α>0时y=xα在第一象限递增，且递增速度以α=1为界点，α<0时y=xα在第一象限递减，【题型4幂函数的图象与性质的综合应用】A.奇函数B.偶函数【答案】A【解题思路】根据已知求出α=-1,从而函根据奇偶性定义以及反比例函数得到答案.,解得α=-1,A.(-∞,3)B.(7,+∞)C.[3,7]D.[-∞,【解题思路】根据吗函数的定义和图象与性质可得f(x)=x²,进而求出g(x),结合二次函数在区间上单调性求出参数n即可.【解答过程】由幂函数的定义知，m²-3m+1=1,所以g(x)=x²+(4-2n)x,其图象为开解得n≤3或n≥7,即实数n的取值范围为(-∞,3)U[7,+∞).,则下列说法正确的是()C.f(x)在(0,+∞)上为增函数D.f(x)【解题思路】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.因为x³>0,所以x>0,对于A:因为f(x)的定义域为(0,+∞),不关于原点对称，所以f(x)既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误；对于D:因所以x³>0,所以f(x)>0,f(x)的值域为(0,+c),故D错误.0成立，则下列说法正确的是()A.m=2B.m=2或m=-1【解题思路】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到m的值，再根据奇偶性定义可得到结果.【解答过程】解：因为f(x)=(m²-m-1)xm是幂函数，所以m²-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以m=-1,故A,B错误；,定义域为(-∞,0)U(0,+∞),定义域关于原点对称，【题型5求二次函数的值域或最值】A.[7,+∞]B.(7,+∞)C.(-∞,7)D.[-∞,【答案】D【解题思路】利用配方法可求出原函数的值域.故函数y=-x²-4x+3(x∈R)的值域为(-为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有()A.最大值5B.最大值C.最小值5D.最小值【解题思路】由二次函数的性质求解即可.【解答过程】由题意可得：6=m²-m,解得m₁=3,m最大值是()【解题思路】根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边(能取到对称轴的前提下)距离因为值域为[1,10],所以要取到最小值1,必须取到对称轴，值相等，则实数b的取值范围是()A.b≤0B.b≥1或b≤0C.-1≤b≤0D.b≥-1【解题思路】根据题意，由二次函数的最值可得f(x)max=b²,然后由条件列出不等式，即可得到结果.令t=f(x),则f(f(x)【题型6二次函数的图象问题】象可能是()【答案】D【解题思路】判断出a,c的符号后可得正确的选项.【解答过程】因为a>b>c,a+b+c=0,故a+a+a>a+b+c=0即a>0,BC中图象开口向下，不符合a>0,而A中图象过原点，与c<0矛盾，A.abc>0B.b=2aC.3a+c<0D.b²<4ac【解题思路】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、函数值、零点个数逐项判断即可.由图象可知，当x=-1时，函数值小于0,即y=a-b+c=a+2a+c=3a+c<0,∵抛物线与x轴有两个交点，∴b²-4a【变式6-2】(24-25高一上福建福州·阶段练习)不等式cx²+ax+b>0的解集则函数【答案】B【解题思路】根据不等式的解集得到c<0,两个根，由韦达定理得到从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与y轴交点纵坐标的正负得到答案.【解答过程】由题意得c<0,的两个根，y=ax²+bx-c开口向下，对称轴,与y轴交点纵坐标为-c>0故选：B.【变式6-3】(2025·陕西汉中·三模)在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”,而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P,篮框中心点为Q,他可以选择让篮球在运行途中经过A,B,C,D四个点中的某一点并命中Q,忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是()A.P→A→QB.P→B→QC.P→C→QD.P→D→Q确定轨迹.列方程组,二次函数解析式,对称轴为直线为直可知经过P,C,Q时篮球处于上升阶段的水平距离最短.【题型7二次函数的单调性问题】A.(-∞,7)B.(7,+∞)C.(-7,+∞)【解题思路】依题意，只需使(3,+∞)为已知函数的递增区间的子集，列不等式，解之即得.【解答过程】函数f(x)=x²+(1+a)x+2的图象开口向上，对称轴为直线横坐标为-5和3,则二次函数的单调递减区间为().A.[-∞,-1]B.(-1,+∞)【答案】A【解题思路】由题意求得对称轴，再由开口方向求解.【解答过程】解：因为二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)的图像与x轴交点的横坐标为-5和3,又a>0,所以二次函数的单调递减区间为[-∞,-1],【变式7-2】(24-25高一上·陕西宝鸡阶段练习)“m<-17”是“函数f(x)=-3x²+2(1-m)x-5在区间[-∞,6]上单调递增”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解题思路】根据函数f(x)的单调性可得出关于实数m的不等式，解出m的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】若函数f(x)=-3x²+2(1-m)x-5在区间(-∞,6)上单调递增，【变式7-3】(24-25高三上·陕西渭南·阶段练习)若二次函数f(x)=ax²+2(a-1)x+2在(-∞,4)上为减函数，则a的取值范围为()【答案】D【解题思路】根据题意，由求解.【解答过程】解：因为二次函数f(x)=ax²+2(a-1)x+2在(-∞,4)上为减函数，【题型8二次函数的恒成立问题】【例8】(24-25高一下·贵州·阶段练习)对任意x∈[-1,1],不等式2x²-2x+1-2m≥0恒成立，则实数m【答案】A【解题思路】由已知可得,再求函,x∈[-1,1]的最小值即可得m取值范围.【解答过程】因为对任意x∈[-1,1],不等式2x²-2x+1-2m≥0恒成立.故选：A.A.B.(3,+∞)【解题思路】根据特称名为假命题可得ax²-2ax+2a-3>0,对Vx∈[2,6]恒成立，令h(x)=ax²-2ax+2a-3,利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.【解答过程】因为命题“3x∈[2,6],f(x)≤-2a+3”是假命题，所以Vx∈[2,6],f(x)>-2a+3恒成立，则ax²-2ax+2a-3>0,对Vx∈[2,6]恒成立，令h(x)=ax²-2ax+2a-3,则二次函数的对称轴为直线x=1,要使得Vx∈[2,6],h(x)>0恒成立，则,解所以实数a的取值范围是故选：A.【变式8-2】(2025·上海黄浦·二模)设函,若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A.(1,+∞∞)B.【解题思路】分-4≤x≤0和0<x≤4两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【解答过程】当-4≤x≤0时，—x²+ax+20>0恒成立，即ax>x²-20恒成立，当-4≤x<0,,明显函在(-4,0)上单调递增，所以a<1;当0<x≤4时，ax²-2x+3>0恒成立，即恒成立，又y=2t-3t²开口向下，对称轴所以综上：实数a的取值范围是f(x)≥2x+b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是()A.[-∞,2]B.[-∞,1]C.(-∞,0)D.(-∞,-2)【答案】D【解题思路】先在f(x)≥2x+b的条件下证明b≤-2,然后在b≤-2的条件下证明f(x)≥2x+b,即可说明b的取值范围是[-∞,-2].【解答过程】一方面，由于f(x)≥2x+b对任意实数x恒成立，故f(2)≥2×2+b,即2²-2×2+2≥2×2+b,所以b≤-2.另一方面，若b≤-2,则对x且对x≥0有f(x)=x²-2x+2故在b≤-2的情况下，必有f(x)≥2x+b恒成立.综合上述两个方面，可知实数b的取值范围是(-∞,-2).过关测试过关测试一、单选题【答案】A的值.【解答过程】因为f(x)为幂函数，所以当m=-2时，,其定义域为{xI综上，m=-2.A.AUBB.(CuA)∩BC.A∩(CuB)D.Cu(A∩B)【解题思路】先求出二次函数的值域，即集合A,再根据集合的交并补运算即可确定选项.又B={x|-1<x<1},A.充要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分不必要【答案】D【解题思路】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.【解答过程】当m=2时，f(x)=x⁵,符合幂函数的形式，故充分性满足；当f(x)=(m²-m-1)xm²+2m-3为幂函数可得m²-m-1=1,解得m=2或m=-1,故必要性不满足，所以“m=2”是“f(x)=(m²-m-1)xm²+2m-3为幂函数”的充分不必要条件.y的最小值为-2,则m的值是()A.-2B.1【答案】C【解题思路】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分m>0和m<0,两种情况进行分析，求得m的值即可.∴抛物线的对称轴为直线x=1,①当m>0时，抛物线的开口向上，∵当-1≤x≤2时，函数在x=1处取得最小值，又函数值y的最小值为-2,∴当x=1时，y=-2,∴m-2m=-2,解得m=2.②当m<0时，抛物线的开口向下，∵当-1≤x≤2时，函数在x=-1处取得最小值，又函数值y的最小值为-2,∴当x=-1时，y=-2,∴m+2m=-2,解得：单调递增”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解题思路】根据函数f(x)的单调性可得出关于实数m的不等式，解出m的取值范围后判断.【解答过程】若函数f(x)=-3x²+2(,解得m≤-17,m<-17可推出m≤-17反之不行，A.偶函数，且在区间(-∞,0)上单调递减B.偶函数，且在区间(C.奇函数，且在区间(-∞,0)上单调递减D.奇函数，且在区间(0,+∞)上单调【解题思路】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解.【解答过程】因为函数f(x)=2ax³(a<0),定义域为R,【解题思路】求得交点A,C的横坐标，比较大小可求|AC|.因为0<t<1,所以y=tx是关于x的减函数.8.(2024贵州遵义·模拟预测)已知函数f(x)=x²-2tx+2t²-2t,)C.f(x)的最小值可能为-2D.f(x)CD.f(x)=x²-2tx+2t²-2t=(所以函数的最小值不可能是-2,可能为-1,故C错误，D正确.9.(24-25高一上·贵州·阶段练习)现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是()α<0,所以n<0,D选项错误；当x>1时，若y=xα的图象在y=x的上方，则α>1,若y=xα的图象在y=x的下方，则α<1,值为()即1+(2a-1)×(-1)-3=1,得a=-1;C.ax+c>0的解集为{x|x<3}D.cx²+bx+a<0的解集【解题思路】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知a<0,Ymax=a+b+c≥am²+bm+c可判断A,B,由对称性知函数有两个零点-1,3,得b=-2a,c=-3a,代入不等式ax+c>0,cx²+bx+a<0结合a<0求解，即可判断C,D.【解答过程】对于A,由图象开口向下，得a<0,故A不正确；对于B,对称轴为x=1,故对Vm∈R,ymax=a+b+c≥am²+bm+c,对于C,图像过点A(-1,0),由对称性得y=ax²+bx+c有两个零点-1,3,ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确；又a<0,3x²+2x-1<0,解∴cx²+bx+a<0的解集,故D正确.12.(2025·甘肃定西·模拟预测)已知幂函数f(x)=xa的定义域为R,其图象关于原点对称，且在(0,+∞)上单调递增，则α的值可以是(写出一个即可)【答案】3(答案不唯一)【解题思路】根据幂函数的性质确定出α值作答.【解答过程】举例α=3,即f(x)=x³,其定义域为R,又f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x),所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)=x³满足题意.故答案为：3(答案不唯一).13.(2025·辽宁·模拟预测)命题p:存在m∈[-1,1],使得函数f(x)=x²-2mx在区