2026年高考数学一轮复习专题8.1 直线的方程（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题8.1直线的方程(举一反三讲义)【全国通用】题型归纳题型归纳【题型1直线的倾斜角与斜率】 【题型3直线的点斜式、斜截式方程】 【题型4直线的两点式、截距式方程】 【题型5直线的一般式方程】 【题型6直线过定点问题】 【题型7三线能围成三角形的问题】 【题型8直线方程的综合应用】 考情分析考情分析1、直线的方程真题统计(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式(2)根据确定直线位置的几何式(点斜式、两点式及一般式)2024年全国甲卷(文数):第10题，5分2025年天津卷：第12题，5分熟练掌握这些知识内容.知识梳理知识梳理知识点1直线的方程1.直线的倾斜角①当直线1与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线1向上的方向之间所成的角α叫做直线1的倾斜角.②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2.直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tana.倾斜角(范围)斜率(范围)不存在过两点P₁(x1,y1),P₂(x₂,y₂)(x₁≠x₂)3.直线的方向向量的直线的斜率公式为设A,B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量.4.辨析直线方程的五种形式点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知一点不能表示与x轴垂直的直线不能表示与x轴、y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式知识点2求直线方程的一般方法1.求直线方程的一般方法①已知一点常选择点斜式；②已知斜率选择斜截式或点斜式；③已知在两坐标轴上的截距用截距式；④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.若已知直线过定点A(xo,y%),则可以利用直线的点斜式y—yo=k·(x—x₀)求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3.斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k).4.涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解.【题型1直线的倾斜角与斜率】【例1】(2025·江苏南通·模拟预测)直的倾斜角为()【答案】D【解题思路】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可.【解答过程】由题意可将原直线方程变形·x+2,由倾斜角的取值范围(0,π),所以倾斜角.即A、B、C错误.【变式1-1】(2025高二上·全国·专题练习)如图，若直线l₁,l₂,l₃的斜率分别为k₁,k₂,k₃,则()A.k₁<k₃<k₂B.k₃<k₁<k₂C.k₁<k₂<k₃D.k₃<k₂<k₁【答案】A【解题思路】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系.【解答过程】解：设直线l₁,l₂,l₃的倾斜角分别为α₁,α₂,α₃,则由图知0°<α₃<α₂<90°<α₁<180°,即k₁<0,k₂>k₃>0.【解题思路】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可.【解答过程】因为θ是斜率为-1的直线的倾斜所【变式1-3】(2025-江西萍乡·一模)已知直线emx-y(em+1)²+1=0(m∈R)的斜率为k,则k的最大值【解题思路】先求出直线的斜率,化简可得再利用基本不等式即可求得k的最大值.【解答过程】【题型2直线与线段的相交关系求斜率范围】点)有交点，则直线I的斜率的取值范围为()A.(-∞,-1)U[1,+∞)B.[-1,1]【答案】A故直线l的取值范围为(-∞,-1)U[1,+∞).【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【解答过程】由mx-y+m+1=0,得y-1=m(x+1),所以实数m的取值范围连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点，则L的倾斜角范围为()斜角的取值范围.设直线l的斜率为k,直线l的倾斜角为α,则0≤α<π因为直线PA的斜率直线PB的斜率可得：3=0不成立，A(1,-2)不在直线l上，因为0≤α<π所以0【变式2-3】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知点P(1,2),经过点P作直线1,若直线1与连接A(9,1),B(5,8)两点的线段(含端点)总有公共点，则直线I的斜率k的取值范围为()【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.设直线AP的斜率为kAP,直线BP的斜率为kBp,直线l的斜率为k,由图可知kAP≤ki≤kBp,则则所【题型3直线的点斜式、斜截式方程】A.y-2=2(x-1)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=-2(x-1)D.y-1=2(x-2)【解题思路】根据直线的点斜式方程得到直线方程.【解答过程】直线斜率为2且过点(1,2),由点斜式方程得y-2=2(x-1).【变式3-1】(24-25高二下·河南·阶段练习)若直线l的方向向量为(3,-√3),且经过点(3,-√3),则直线l的A.x+√3y=0B.x+√3y-6=0C.x-√3y=0D.x-√3y-6=0【答案】A【解题思路】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程.【解答过程】因为直线l的方向向量为(3,-√3),所以直线的斜率所以直线方程,化简可得x+√3y=0.故选：A.【变式3-2】(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为60°,且过点P(0,1),则直线的方程为()A.B.C.y=√3x-1【答案】D【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.【解答过程】因为直线的倾斜角为60°,所以直线的斜率k=tan60°=√3,又直线过点P(0,1),所以直线的方程为y=√3x+1.故选：D.【变式3-3】(24-25高二上·河北则直线l的方程为()【答案】D【解题思路】先求出直线l的倾斜角，再由点斜式即可得出答案.【解答过程】直线l过点P(1,0),将直线l绕点P逆时针旋转与x轴重合，所以直线l的倾斜角,所!【题型4直线的两点式、截距式方程】【例4】(24-25高二上·全国·课后作业)已知直线l过点(3,5),且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程C.5x-3y=0或x+y-8=0D.5x-3y=0【答案】C【解题思路】当直线l经过原点时，直线方程为5x-3y=0;当直线l不经过原点时，设直线方程把点(3,5)的坐标代入即可得出.【解答过程】由题得当直线l在坐标轴上的截距均为0时，直线方程。即5x-3y=0;当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为将(3,5)代入可得a=8,此时直线方程为x+y-8=0.综上，直线l的方程为5x-3y=0或x+y-8=0.【变式4-1】(24-25高二上·河北邢台阶段练习)已知直线l的两点式,则()A.直线l经过点(5,2)B.直线l的斜截式C.直线l的倾斜角为锐角D.直线l的点斜式【答案】C【解题思路】根据两点式方程可得直线l经过两点(8,9),(2,5),进而判断AD,再将两点式化为斜截式：y=即可判断B,得到直线l的斜率),即可判断C.【解答过程】由题意，直线l经过两点(8,9),(2,5),故AD错误，直线l的斜率,所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确.【变式4-2】(24-25高二上·江苏南通·期中)经过A(2,1)与B(1,2)两点的直线方程为【答案】x+y-3=0【解题思路】利用两点式方程可得直线AB的方程.A.4x+3y+12=0B.4x+3y-12=0C.4x-3y+12=0D.4x-3y-A.30°B.150C.60°所所B.直线l经过第四象限C.直线l在y轴上的截距D.直线l的一个方向向量为(3,√3)【答案】D【解题思路】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A;令x=0,求出直线l过点M可判断B和C;根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量(3,√3)共线可判断D.【解答过程】设直线l的倾斜角为α,α∈(0,π),对于A,直线l的斜率所,故A错误；对于B,当x=0时，即直线l过点M且倾斜角所以直线l经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误；对于C,由B知，直线l在y轴上的截距为故C错误；对于D,当y=0时，即直线l过点N,所以直线L的一个方向向量为(3,√3),故D正确.【变式5-3】(24-25高二上·河南·阶段练习)已知直线Ax+By+1=0在y轴上的截距是-1,其倾斜角是直A.A=√3,B=1B.A=-√3,B=-1【答案】A【解题思路】根据截距的定义，可得所求直线与y轴的交点，根据直线√3x-y=0求得倾斜角，通过斜率定义，可得答案.【解答过程】由直线Ax+By+1=0在y轴上的截距是-1,则直线过(0,-1),可得A·0+B·(-1)+1=0,解得B=1;由直线√3x-y=0,设该直线的倾斜角为α,则tana=√3,解得α=60°,设直线Ax+y+1=0的倾斜角为β,斜率为k,由β=2α=120°,则k=tanβ=tan120°=-√3,A.(1,-1)B.(-1,1)C.(0,0)D.(2,2)即可求解.A.(3,1)B.(-3,1)C.【解题思路】将直线化为(3x+y-1)a+2x-y=0,据此可得定点坐标.【解答过程】(3a+2)x+(a-1)y-a=0⇔(3x+y-1)a+2x-y=0,过定点()A.(-1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(1,0)【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点.【题型7三线能围成三角形的问题】A.{1,-2}B.{1,-2,3}C.{-1,2,-3}D.{-1,2}甲,解得A.{-1,1}B.{4,1}【答案】B【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应足题设，即可得答案.【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若三条直线交于一点，,可得经检验知：m∈均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.【题型8直线方程的综合应用】【解题思路】(1)由方程变形可得a(2x-y)-3x+y+1=0,列方程组，解方程即可；(2)数形结合，结合直线图象可得出关于实数a的不等式，解之即可；(3)求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.【解答过程】(1)由l:(a-1)y=(2a-3)x+1,即a(2x-y)-3x+y+1=0,,解得,所以直线过定点(1,2).(2)因为直线l不过第四象限，结合图形可知，直线l的斜率存在，所以a≠1,(3)已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1,且由题意知a≠1,此时直线l的方程,即2x+y-4=0.的周长及此时直线l的方程.(2)△ABO的周长为6+2√5,直线l的方程x+2y-4=0【解题思路】(1)将直线l的方程变形为m(x-2)+x+y-3=0,解得即可；(2)首先求出直线在x、y轴上的截距，即可求出m的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及【解答过程】(1)因为直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0,即m(x-2)+x+y-3=0,所以直线l恒过定点(2,1);(2)因为直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0,依题意m+1≠0,即m≠-1,令x=0,得到y=2m+3;令y=0,得到,解得m>-1,当且仅当,即,等号成立此时直线l的方程为x+2y-4=0,且A(4,0),B(0,2),|AB|=√4²+2²所以当△ABO的面积最小时，△ABO的周长为6+2√5,直线l的方程x+2y-4=0.【变式8-2】(24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习)已知直线l经过点P(-1,2).(1)若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的方程；(2)设l的斜率k>0,l与两坐标轴的交点分别为A和B,当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程.【解题思路】(1)设l的点斜式方程为y-2=k(x+1),k≠0,求出两坐标轴上的截距，求出k,即可得解；(2)求出两坐标轴上的截距，再根据△AOB的面积结合基本不等式求出△AOB的面积最小时k的值，即可得【解答过程】(1)由题意知，l的斜率存在且不为0,设斜率为k,则L的点斜式方程为y-2=k(x+1),则它在两坐标轴上截距分别所,解得k=-2(此时直线过原点，舍去)或k=1,所以L的点斜式方程为y-2=x+1,即x-y+3=0;(3)在(2)的条件下，求∠CAD的角平分线所在的直线方程.【解题思路】(1)根据直线的点法式方程可得出直线l的方程；(2)求出点C的坐标，可得出直线AC的斜率，分析可知，AD⊥AC,可得出直线AD的斜率，利用点斜式可利用两角和的正切公式可求出角平分线所在直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程.【解答过程】(1)因为直线l的一个法向量是(4,3),化简得4x+3y+6=0,所以所求直线的方程为4x+3y+6=0.则AD⊥AC,所以(3)设直线AC的倾斜角为α,因所以，90°<α<135°,则135°<α+45°<180°,所以，∠CAD的角平分线所在直线的倾斜角为α+45°,则∠CAD的角平分线所在直线的斜率为一、单选题1.(2025·天津红桥·模拟预测)直线y=x+1的倾斜角为()【答案】A【解题思路】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.【解答过程】直线y=x+1的斜率为1,则直线y=x+1的倾斜角为 A.30°B.60°C.120°【解题思路】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解.【解答过程】直线的斜率所以直线l的倾斜角为30°.3.(2025·江西新余·一模)已知直线l的方程为y=(-a²+1)x+b,的倾斜角的取值范围为()【解题思路】求出直线L的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线l的倾斜角的取值范围.【解答过程】直线l的斜率为k=-a²+1≤1,设该直线的倾斜角为θ,则tanθ≤1,又因为0≤θ<π,A.30°B.45°C.60°D【解题思路】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果.【解答过程】直线x+2y-4=0斜率1,直线3x+y-9=0斜率k₂=-3,且0°≤θ≤90°,所以θ=45°.A.l₁【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论.【解答过程】由图可知l₁的倾斜角为锐角，l₂、l₃、L₄的倾斜角为钝角，则直线l₁的斜率为正数，直线l₂、l₃、l₄的斜率均为负数，且l₂、l₃、l₄中，直线l₂的倾斜角最小，故直线l₂的斜率最小.A.(-∞,-1)B.(-2,1)C.(-1,2)【解题思路】由直线方程可判断直线的斜率-a和经过的定点P(0,-1),结合题意作图，需使kpB<-a<kpA成立，解之即得.【解答过程】由ax+y+1=0可知直线的斜率为-a,且经过定点P(0,-1),7.(2024·山东·二模)已知直线l与直线x-y=0平行，且在y轴上的截距是-2,则直线l的方程是()A.x-y+2=0C.x-y-2=0D.x+2y-4=0【解题思路】依题意设直线l的方程为x-y+m=0,代入(0,-2)求出参数的值，即可得解.【解答过程】因为直线l平行于直线x-y=0,所以因为在y轴上的截距是-2,则过点(0,-2),代入直线方程得0-(-2)+m=0,解得m=-2,所以直线l的方程是x-y-2=0.数k的取值范围为()所以直线的斜率k的范围A.点C(2,-1)在直线1上B:直线l的两点式方程,对；10.(2025-河南·模拟预测)已知△OAB为等腰直角三角形，0为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，若直线0A,OB,AB的斜率都存在，记直线OA,OB,AB的斜率分别为k₁,k₂,k₃,则k₁,k₂,k₃的关系可能为()A.k₁>k₂>k₃B.k₃>k₁>k₂C.k₁>k₃>k₂D.k₃>【解题思路】讨许,结合斜率与夹角关系判断各项的正误.【解答过程】当时，k₃>1>k₁>0>k₂;故选：AB.11.(2025-河北·模拟预测)已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且AC:x+2y-5=0,则直线AB的方程可能为()A.3x-y+1=0B.3x+y+1C.x-3y+1=0【解题思路】由正方形的特征可知，直线AC与直线AB夹角为“或由直线AC斜率利用两角差的正切公式求出直线AB的斜率，对照选项即可判断.【解答过程】设直线AB的倾斜角为α,直线AC的倾斜角为β,直线AC斜率即,解得tana=-3,即直线AB的斜率为-3,对比选项，只有B选项满足；对比选项只有C选项满足.12.(2025·陕西汉中·三模)若直线l过点(-1,1),且其一个方向向量为m=(1,1),则直线l的方程为_【答案】x-y+2=0【解题思路】用直线的方向向量可以确定直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程.【解答过程】由题意可知，直线的斜率而直线l过点(-1,1),所以直线方程为y-1=1×(x+1),故答案为：x-y+2=0.【解题思路】根据直线l₂方程求出直线l₂斜率为tan80°,由此确定直线l₂倾斜角80°,结合已知条件求得直线倾斜角为60°,由此即可求得直线l₁的斜率.【解答过程】由直线l₂方程：y=xtan80°得l₂的倾斜角为80°,所以l₁的倾斜角为60°,即l₁的斜率为tan60°=√3.14.(2025-湖南长沙·三模)过点A(1,4),且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有条.【答案】3【解题思路】先设直线计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断.【解答过程】因为在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线，故设直线若直线y=kx过点A(1,4),则4=k,得直线为y=4x;若直过点A(1,4),则1,a=5,得直线为所以满足条件的直线有3条；故答案为：3.15.(25-26高二上·全国·单元测试)已知平面直角坐标系内两点M(m+3,3m+5),N(2m-1,1).(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；(2)若直线MN的一个方向向量为å=(1,-2025),求m的值.【解题思路】(1)结合两点求斜率，解不等式即可得出答案；(2)根据方向向量得,解方程即可得出答案.【解答过程】(1)设直线MN的倾斜角为θ,因为倾斜角θ为锐角，所