2026年高考数学一轮复习专题8.6 双曲线（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题8.6双曲线(举一反三讲义)【全国通用】【题型1双曲线的定义及其应用】 4【题型2双曲线的标准方程】 【题型3曲线方程与双曲线】 【题型4求双曲线的轨迹方程】 【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】 【题型6双曲线中的焦点三角形问题】 【题型7双曲线的渐近线方程】 【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】 【题型9与双曲线有关的最值问题】 【题型10双曲线的实际应用】 231、双曲线真题统计围、对称性、顶点、渐近线、离心率)(3)了解双曲线的简单应用2023年新高考I卷：第16题，5分2023年全国甲卷(文数):第82023年北京卷：第12题，5分2023年天津卷：第9题，5分2024年新高考I卷：第12题，5分2024年全国甲卷(理数):第52025年全国一卷：第3题，5分2025年全国二卷：第11题，6分2025年北京卷：第3题，4分2025年天津卷：第9题，5分复习时要加强这方面的训练.与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.知识点1双曲线的方程及其性质1.双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点F₁,F₂的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹叫作双2.双曲线的标准方程范围y≥a或y≤=-a,x∈R顶点实半轴长为a,虚半轴长为b(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率.(2)双曲线离心率的范围：e>1.(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=√2.知识点2双曲线方程的求解方法1.双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程根据双曲线的定义，确定a²,b²的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.(2)用待定系数法求双曲线的标准方程用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a²,b²的值，即“先定型，再定量”,如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为mx²-ny²=1(mn>0),再根据条件求解.(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(λ≠0).知识点3双曲线的焦点三角形1.双曲线的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设P是双曲线上一点，F₁,F₂为双曲线的焦点，当点P,F₁,F₂不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)求双曲线中的焦点三角形△PF₁F₂面积的方法方法一：①根据双曲线的定义求出I|PF₁I-IPF²l|=2a;②利用余弦定理表示出PF₁I、|PF₂I、|F₁F₂|之间满足的关系式；④利用公式,求得面积.方法二：利用公式求得面积.(3)焦点三角形的常用结论若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F₁.F₂分别为双曲线的左、右焦点，则,其知识点4双曲线的离心率或其范围的解题策略1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b²=a²-c²消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.知识点5双曲线中的最值问题的解题策略1.双曲线中的最值问题角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F₁,F₂分别为双曲线的左、右焦点，则|PFilmin=a+c,|PF₂Imin=c-a.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为4.与双曲线1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为举一反三举一反三【题型1双曲线的定义及其应用】点的距离为()A.9B.7C.9或29D.7或19【解题思路】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离.设双曲线的左右焦点分别为F₁,F₂,已知点A到右焦点F₂的距离为19,即|AF₂I=19.所以点A到左焦点的距离为9或29.【变式1-1】(2025·北京·模拟预测)双曲线E:焦距为10,左右焦点分别为F₁,F₂,M【答案】A【解题思路】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案.【解答过程】由题意知双曲线E:,焦距为10,故2c=10,c=5,则a²=c²-b²=25-18=9,∴a=3,结合|MF₁I=7<a+c=8,则M在双曲线左支上，【变式1-2】(24-25高二上·云南曲靖·期末)双曲线上一点P到它的一个焦点的距离为4,那么点P到另一个焦点的距离为()【答案】B【解题思路】根据双曲线的定义求出点P到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.【解答过程】双曲线,a=1.在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为c-a.那么c-a=√17-1,因为√16=4,√17>√16,所以√17-1>4-1=3>2.这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为2,所以要舍去|PF₂I=2这个值.因此|PF₂I=6,即点P到另一个焦点的距离等于6.A.既不充分也不必要条件B.必【答案】D【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.【题型2双曲线的标准方程】(√5,0)的距离大b,则该双曲线的方程为()【答案】D【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知2a=b,c=√5,再结合a²+b²=c²,求出a,b,即可求出结果.【解答过程】由题知c=√5,根据题意，由双曲线的定义知2a=b,又a²+b²=c²,所以5a²=5,得到a²=1,b²=4,所以双曲线的方程为则双曲线C₁的方程为()【答案】B【解题思路】利用待定系数法设C₁的方程,λ≠0,代入(2,√2)即可得到答案.【解答过程】设双曲线C₁的方程为,λ≠0,则方程1,即【变式2-2】(2025·宁夏石嘴山·模拟预测)双曲线C与椭圆有公共的焦点，且C的离心率是2,则b²后即可得解.【解答过程】椭的焦点为(±2,0),所以双曲线C的焦点为(±2,0)且焦点在x轴上，即c=2,因为C的离心率是2,所即a=1,所以b²=c²-a²=3,故双曲线C的标准方程为【答案】B【解题思路】先根据双曲线的定义求出|F₂Al,IF₁A|,在△AF₁F₂中，利用正弦定理求出AF₂F₁,再根据三角形的面积公式求出a²,利用勾股定理可求得c²,进而可求出答案.【解答过程】因为|F₁A|=2|F₂A|,所以|F₁A|>|F₂A|,又因为点A在C上，所以|F₁A|-|F₂A|=2a,在△AF₁F₂中，由正弦定理又0°<∠AF₂F₁<180°,所以∠AF₂F₁=90°,贝所以a²=3,所以b²=c²-a²=6,所以C的方程【题型3曲线方程与双曲线】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.因为由m>4可推出m>4或m<1,但是由m>4或m<1,不能推出m>4,【变式3-1】(24-25高二上·河南A.m<-7或m>4【解题思路】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.若方程1表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则,无解.D.若C为椭圆，则曲线C的焦点在x轴上【解题思路】对于A,根据α=0的取值，即可判断；对于B若α为负角，,结合双曲线标准方【解答过程】对于A,当α=0,即tana=0时，曲线C的方程为x²=1,即x=±1,此时曲线C为两条平行的直线，故A错误；此时曲线C为双曲线，故B正确；则曲线C的方程为x²+y²=1,是圆，故C错误；对于D,若C为椭圆，当0<tana<1,则C为焦点在y轴上的椭圆，故D错误.故选：B.x轴上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】若m∈(0,4),曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时m<0.【解答过程】若m∈(0,4),则曲线C:1表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是m<0,此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，故选：A.【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】(2024广西柳州·一模)在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相【答案】A【解题思路】设点M(x,y),由题意列出方程，化简整理即得点M的轨迹方程.【解答过程】依题意，设点M(x,y),由≠±5),0(a≠0,b≠0)的距离为1,则动点(5a+3,5b)的轨迹方程是()【答案】A【解题思路】由圆C上恰有三个点到直线ax+by+1=0的距离为1,得到圆心到直线的距离恰好为2,求得5a²-4b²+6a+1=0,,得到代入方程，即可得到点(5a+3,5b)的轨迹方程.【解答过程】由圆C:x²+y²-所以圆心C(3,0),半径为r=3,若圆C上恰有三个点到直线ax+by+1=0的距离为1,则满足圆心到直线的距离恰好为2,即即5a²-4b²+6a+1=0,代入5a²-4b²+6a+1=0,可得5共点M,过点M且与I垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时，点P(x,y)的【答案】D【解题思路】根据直线l与双曲线相切，推出m²+4=k²,,再求出x,y,消去k,m可得结果.【解答过程】因为双曲线与直线l:y=kx+m(k≠±2)有唯一的公共点M,消去y并整理得(4-k²)x²-2kmx-m²-4=0,所以△=4k²m²+4(4-k²)(m²+4)=0,即m²+4=k²,将m²+4=k²代入(4-k²)x²-2kmx-m²-4=0,得-m²x²-2kmx-k²=0,得(mx+k)²=0,因为k≠±2,m²+4=所以过点M且与l垂直的直线由,得的距离的比是√3,则点M的轨迹方程为()【答案】B【解题思路】根据给定条件，列出方程并化简得答案.所以点M的轨迹方程为【题型5双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】【例5】(2025·云南昆明·模拟预测)已知双曲,则实数m的值为()A.1B.2【答案】D【解题思路】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可.【解答过程】解：双曲1的一个焦点坐标为(-3,0),可得m+5=9,可得m=4.【答案】C【解题思路】根据双曲线方程直接确定实轴长.【解答过程】由双曲线方程知a=√6,则实轴长为2a=2√6.【变式5-2】(2025·广东广州·三模)已知双曲线C:1(b>0)的左右焦点分别为F₁、F₂,过F₂作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A,直线AF₂交另一渐近线于点B,若|AB|=b,则双曲线C的焦距为()A.3√2B.6√2【答案】D【解题思路】由双曲线的性质可得F₂到渐近线距离为b,结合几何性质可得∠F₂OA=60°,从而,最后由a,b,c的关系可得焦距.【解答过程】如图所示，∵F₂到渐近线距离为b,故△BOF₂为等腰三角形，∴∠F₂OA=60°,古,b=3√3,c=6,∴焦距为12.1:2:√5,则下列说法正确的是()A.C的实轴长为2B.C的渐近线方程【答案】C【解题思路】根据给定条件，结合双曲线渐近线、离心率逐项判断得解.【解答过程】对于AD,由a:b:c=1:2:√5,取a=2,则c=2√5,C的实轴长4,右焦点(2√5,0),AD错误；对于B,由a:b=1:2,得C的渐近线方程为y=±2x,B错误；对于C,由a:c=1:√5,得C的离心率e=√5,C正确.【题型6双曲线中的焦点三角形问题】A.B.1C.√2【答案】D|PF|=n,结合双曲线的定义及余弦定理求出mn,再由面积公式计算可得.【解答过程】设双曲线的左焦点为F′,连接PF'、QF',由双曲线的对称性可知四边形PF'QF为平行四边形，即12=m²+n²-mn=(m-n)²+mn=(2√2²+mn点F₂的直线与C的右支交于A,B两点，且|AF₂|:|BF₂|:|AF₁I=1:2:3,若△ABF₁的周长为20,则C的实轴长A.1B.2【解题思路】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及△ABF₁的周长，求出a的值，进而得到双曲线C的实轴长.根据双曲线的定义：平面内到两个定点F₁,F₂的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F₁F₂I)的点的轨迹为双曲线.已知△ABF₁的周长为20,△ABF₁的周长L=|AF₁I+|BF₁I+|AB|,而|AB|=|AF₂I+|BF₂I=m+2m=3m.所以L=3m+(2m+2a)+3m=20,即8m+2a=20②.将①2m=2a代入②8m+2a=20中，得到4×2a+2a=20,即10a=20,解得a=2.把a=2代入，可得实轴长为2×2=4.【答案】C【解题思路】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得|PF₂I,从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积.【解答过程】点P在双曲线右支上，a=1,b=√3,c=2由双曲线的定义可得|PF₁I-|PF₂I=2,所以【变式6-3】(2025·广东·一模)如图，F₁、F₂是双曲的左、右焦点，过F₁的直线线分别交于点A、B,若△ABF₂为等边三角形，则△BF₁F₂的面积为()A.8√3C.18√3【答案】C【解题思路】由双曲线的定义，可得|BF₁I=2a,|BF₂I=|BF₁I+2a=4a,由三角形面积公式即可求出△BF₁F₂的面积.【解答过程】在双曲线中：a²=9,所以a=3,根据双曲线的定义，可得|AF₁I-|AF₂I=2a=6,∴△BF₁F₂的面积【题型7双曲线的渐近线方程】【例7】(2025-河北·一模)双曲线E:的离心率为2,则E的渐近线方程为()A.y=±√3xC.y=±2x【解题思路】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为,再结合条件及a,b,c间的关系，即可求解.【解答过程】由题知,得到所以双曲线E的渐近线方程A.2x±y=0B.x±2y=0C.4x±y=0【答案】A【解题思路】根据渐近线方程直接进行求解.【解答过程】1的渐近线方程即2x±y=0.【变式7-2】(2025·安徽六安·模拟预测)已知双曲)的离心率,则此双曲线的渐近线方程为()【答案】B【解题思路】由双曲线的离心率得出即可求解渐近线方程.【解答过程】由离心率所以此双曲线的渐近线方程【答案】A【解题思路】由题意求得|BF₁I=a,|AF₁I=2a,|BF₂I=3a,|AF₂I=4a,结合余【解答过程】设|BF₁I=t,a>0,b>0,根据上述条件及双曲线的定义，可知在△ABF₂中，由cos∠BF₁F₂=-cos∠AF₁F₂,,故C的两条渐近线方程【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】A.√2B【答案】D【解题思路】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a²+b²=c²和离心率公式求解【解答过程】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c,于是a²+b²=c²=a²+7a²=8a²,则c=2√2a,该双曲线的离心率为()【答案】D 【解答过程】因为双曲1(a>0,b>0)的渐近线方程所所以双曲线的离心率coS∠AF₁F₂=0和余弦定理得到齐次式，即可得离心率.【变式8-3】(2025-湖南湘潭·一模)已知双曲线C1(a>0,b>0)的右焦点为F₂(2,0),若圆M:(x+2)²+(y-6)²=4上存在点P使得PF₂的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为()A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(1,2)D.(1,3)【答案】B【解题思路】设P(xo,yo)为圆M上一点，得到PF₂的中点(,求得,结合直线y=与圆M有公共点，得到,求得,进而求得双曲线的离心率的取值范围.【解答过程】因为双曲线C的右焦点为F₂(2,0),则c=2,即a²+b²=4,且双曲线C的渐近线方程设P(xo,yo)为圆M:(x+2)²+(y-6)²=4上一点，且圆心为M(-2,6),半径r=2,则PF₂的中点在其渐近线上，可因为圆心M(-2,6)到直线的距离所以双曲线C的离心率的取值范围为(3,+∞).故选：B.【题型9与双曲线有关的最值问题】则|FA|+|FB|的最小值为()A.4B.6C.10【答案】C【解题思路】根据双曲线的定义，将|FA|与F|B|进行转化，再结合三角形三边关系求出FA|+|FB|的最小值.a=1.设双曲线的右焦点为F₂,由双曲线的定义可知，点A在双曲线的右支上，则|FA|-IF₂A|=2a=2,即|FA|=同理，点B在双曲线的右支上，则|FB|-IF₂B|=2a=2,即|FB|=|F₂B|+2.所以|FA|+|FB|=(IF₂A|+2)+(IF₂B|+2根据三角形三边关系，|F₂A|+|F₂B|≥|AB|,当且仅当A,B,F₂三点共线时，等号成立.所以|FA|+|FB|的最小值为10.故选：C.知点Q(7,2),则|PF|+|PQ|的最小值为()A.2√5B.3√5C.4√5【解题思路】根据双曲线的定义将|PF|+|PQI转化成|PF₁I+|PQI-2a,数形结合求得|PF₁I+|PQ|最值得解.【解答过程】如图，设双曲线的左焦点为F₁,由双曲线的定义得|PF|+|PQI=|PF₁I+|PQI-2a≥IQF₁I-2√5=5√5-2√5=3√5,【答案】9【解题思路】利用双曲线的定义将|PF|进行转化，再结合三角形三边关系求|PA|+|PF|的最小值；【解答过程】设双曲线C:1的右焦点为F₂.对于双曲线可得a²=4,则a=2.因为点P在双曲线的右支上，所以|PF|-|PF₂I=2a=4,即|PF|=|PF根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得|PA|+|PF₂I≥|AF₂I,当且仅当A,P,F₂三点共线时取等已知F₂(3,0),A(0,4),根据两点间距离公式，可得|AF₂I=√(3-0)²+(0-4)²=5.故答案为：9.【变式9-3】(2025·贵州安顺·模拟预测)已知F是双曲线C:1的右焦点，P是C左支上一点，M是圆【解题思路】利用双曲线定义，将|MP|+|PF|转化为|MP|+|PF₁I+2a,结合圆的性质求解即可.【解答过程】设双曲线C的左焦点为F₁,连接PF₁,PD.由题知，实轴长2a=2√2,F₁(-√6,0),D(0,2√3),【题型10双曲线的实际应用】【例10】(24-25高二上·河北张家口·阶段练习)如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为3米时，水面宽AB为4√3米，则当水面宽度为4√6米时，拱顶M到水面的距离为()【解题思路】将A(-2√3,-6)代入双曲线得到m=4,当x=-2√6得到y=-3√7,进而求得拱顶M到水面的距离，即可判断.因此，拱顶M到水面的距离为3√7-3.故选：D.【变式10-1】(24-25高二上·江苏泰州·期中)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6√2cm,下底直径为9√2cm,喉部(中间最细处)的直径为8cm,则该塔筒的高为()【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点0为原点，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程由喉部(中间最细处)的直径为8cm,得2a=8,a=4,所以双曲线的方程1,设点A(xA,yA),B(xB,yB),故选：D.【变式10-2】(2025-湖北荆州·一模)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报中心的()处.(假定当时声音传播的速度为340m/s3,相关各点均在同一平面上)【答案】A【解题思路】以接报中心为原点0,正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系；设A、B、C分别是西、东、北观测点，写出A、B、C点的坐标，设P(x,y)为巨响生成点，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置.【解答过程】解：如图，以接报中心为原点0,正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020),设P(x,y)为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲,依题意得a=680,c=1020,∴b²=c²-a²=1020²-故双曲线方程,将y=-x代入上式，得x=±680√5,∵|PB|>|PA|,∴x=-680√5,故巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680√10m处.故选：A.【变式10-3】(2025·广西柳州·模拟预测)如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:的左、右焦点分别为F₁,F₂,从F₂发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D,且cos∠BAC=,则E的离心率为()【答案】B【解题思路】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设|BF₂I=m,【解答过程】由题意可知直线CA,DB都过点F₁,如图，在Rt△ABF₁,|AB|²+|BF₁I²整理得3m²+16am-12a²=0即(令双曲线半焦距为c,所以E的离心率过关测试过关测试【解题思路】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求出离心率.A.4【解题思路】根据渐近线的斜率列方程即可得解.【解答过程】由题知，双曲线焦点在x轴上，且其中一条渐近线方程为y=2x,所解得m=4.3.(2025·北京·三模)线y=k(x-4)与双曲只有一个公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得k的值，从而可进行判断.【解答过程】∵直线与y=k(x-4)与双曲只有一个公共点，此时直线与双曲线恒有两个不同的交点；∴当且仅当时，直线与y=k(x-4)与双曲1只有一个公共点，反之，当直线y=k(x-4)与双曲：只有一个公共点时不能推出与双曲1只有一个公共点”的充分不必要条件.【答案】D【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案.【解答过程】∵A(-2,0),B(2,0),动点P满足|PA|-|PB|=2<|AB|则C的实轴长为()【解题思路】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出a,b即可得解.【解答过程】由题意设双曲线C的方程,则解得,故所求实轴长为2a=6.在第一、三象限的交点分别为M,N,则△MFA.8+2√5B.8C.4+2√5【解题思路】设|MF₂I=n,|MF₁I=m,根据圆的性质可知MF₁⊥MF₂,利用勾股定理结合双曲线的定义可得mn=2,(m+n)²=20,得m+n=2√5即可求解.得a²=3,b²=1,c²=a²+b²=4,所以m²-2mn+n²=12,得mn=2,所以m+n+|MN|=4+2√5,所以△MF₁N的周长为4+2√5.7.(2025·天津和平·三模)已知双曲线C的上，下焦点分别为点F₁,F₂,若C的实轴长为1,且C上点P满足【解题思路】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.【解答过程】由题意设双曲线方程为故b=√c²-a²=√2,故双曲线方程为8.(2025·广东·模拟预测)已知一点，B为线段AF₁的中点.若|F₁F₂I=|AF₂I=2|BF₂|,则C的离心率为()【答案】C【解题思路】根据题意设|F₁F₂I=|AF₂I=2|BF₂I=2c,由几何关系得|AF₁I=2√3c,再根据双曲线定义知|AF₁I=2c+2a,联立即可求出离心率(【解答过程】由题意设|F₁F₂I=|AF₂I=2|BF₂I=2c,因为B为线段AF₁的中点，所以AF₁⊥BF₂,解得故双曲线的离心率故选：C.二、多选题面积为20,则下列判断正确的有()A.点P到x轴的距离B.C.△PF₁F₂为钝角三角形D.【解题思路】设点P(xp,yp),根据求得|yp|判断A;求出点P的坐标，利用两点距离求出|PF₂I,根据双曲线定义求出PF₁I,即可判断B;结合B选项，利用余弦定理求得cos∠PF₂F₁<0,为钝角，即可判断C;由即可判断D.【解答过程】设点P(xp,yp).因为双曲线C所以a=4,b=3,c=√16+所以点P到x轴的距离为4,错误.由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为由双曲线的定义得|PF₁I=|PF₂I+,正确.对于C,结合B选项，在△PF₁F₂中，,则∠PF₂F₁为钝角，所以△PF₁F₂为钝角三角形，正确.故选：BC.A.双曲线C的虚轴长为2√3B.|0P|≥|PF|(0为坐标原点)C.双曲线C的渐近线方程D.M为圆E:(x+2)²+y²=1上一点，|PM|-|PF|的最小值为1【解题思路】A利用a,b,c之间的关系求出b;B根据右顶点A(1,0)是OF的中点可判断；C渐近线方程为y=c;D将|PM|转化为|PE|-1,【解答过程】由题意知a=1,c=2,则b=√3,虚轴长为2b=2√3,A项正确；易知右顶点A(1,0)是0F的中点，当点P在右支上运动时，有|0P|≥|PF|,B项正确；双曲线C的渐近线方程为y=±√3x,C项错误；A.B.|MA₁I=2|MA₂I积后可判断D的正误.IMA₂I=√c²-a²=b,对于C,方法一：因,故4MO²=MA₁²+2MA₁·MA₂+MA₂²,对于D,当a=√2时，由C可知e=√13,故c=√26,故D正确，三、填空题【解题思路】根据给定的双曲线方程直接求出焦距.【解答过程】双曲线的实半轴长a=2,虚半轴长b=√3,因此半焦距c=√a²+b²=√7,【答案】3【解题思路】由焦点落在y轴上的双曲线方程渐近线为,即可得y=√3x=√mx,即可求得m的值.【解答过程】由双曲1(m>0)可知双曲线焦点在y轴上，则y=√3x=√mx,得m=3.故答案为：3.14.(2025·福建三明·模拟预测直线交双曲线左支于A,B两点，|AB|=|AF₂|,,则双曲线的离心率为【解题思路】设|AF₁I=m,则|AB|=m+2a,|BF₁I=2a,|BF₂I=4a,在等腰△AF₂B中应用诱导公式、二倍角余弦公式可得cos∠F₂在△AF₂B、△AF₁F₂中应用余弦定理求参数值，并得到双曲线参数的齐次式，即可得.可得14a²=6c²,(2)若A是C的左顶点，直线l:y=3x-3与C交于P,Q两点，求△APQ的面积.【解题思路】(1)根据给定条件，求出a,b,c即可.(2)求出点A到直线l的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积.【解