2023年北师大版小升初数学知识点

小升初数学总复习资料

第一章数和数的运算

­,概念

（一）整数

1.整数日勺意义：自然数和0都是整数。

2自然数：我们在数物体的时候，用来表达物体个数的1,2,3……叫做自然数。

一种物体也没有，用（）表达。（）也是自然数。

3计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10o这样的计数法叫做十进制计数法。

4数位：计数单位按照一定日勺次序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5数的整除：

（1）整除、倍数、因数：整数a除以整数b（b丰0）,除得的商是整数而没有余数，我们就说a

能被b整除，或者说b能整除ao

假如数a能被数b（bW0）整除，a就叫做b日勺倍数，b就叫做a的因数（或a曰勺因数）。倍数

和因数是互相依存的J。

例如由于35能被7整除，因此35是7日勺倍数，7是35的因数。

★一种数的因数的个数是有限的，其中最小口勺因数是1,最大的因数是它自身。例如：10的因数

有1、2、5、10,其中最小日勺因数是1,最大的因数是10。

★一种数的倍数的个数是无限的，其中最小口勺倍数是它自身。3的倍数有：3、6、9、12……其

中最小日勺倍数是3，没有最大的倍数。

（2）整除的性质：

★个位上是0、2、4、6、8H勺数，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除。。

★个位上是。或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

★一种数的各位上的数日勺和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3

整除。

★一种数各位数上附和能被9整除，这个数就能被9整除。

★能被3整除的数不一定能被9整除，不过能被9整除的数一定能被3整除。

★一种数的末两位数能被4〔或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256

都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

★一种数的I末三位数能被8:或125）整除,这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、

5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

（3）奇偶性：能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除时数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2整除的特性可分为奇数和偶数。

（4）质数与合数：一种数，假如只有1和它自身两个因数，这样日勺数叫做质数［或素数），10（）

以内的质数有；2、3、5、7、11、13、17、19^23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、

73、79、83、89、97。

一种数，假如除了1和它自身尚有别H勺因数，这样H勺数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合

数。

★1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。假如把自然数按其因数的个数

的不一样分类，可分为质数、合数和1。

(5)分解质因数：每个合数都可以写成几种质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数H勺因

数，叫做这个合数的质因数，例如15=3X5,3和5叫做15H勺质因数。

把一种合数用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数28=22X7

(6)公因数与公倍数：几种数公有的因数，叫做这几种数的公因数。其中最大日勺一种，叫做这

几种数日勺最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其

中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们日勺最大公因数。

公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种状况：

★1和任何自然数互质。★相邻的两个自然数互质。★两个不一样日勺质数互质。★当合数不是质

数口勺倍数时，这个合数和这个质数互质。

★两个合数日勺公因数只有1时，这两个合数互质，假如儿种数中任意两个都互质，就说这几种数

两两互质。

★假如较小数是较大数日勺因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

★假如两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。

几种数公有日勺倍数，叫做这几种数的公倍数，其中最小日勺一种，叫做这几种数的最小公倍数，如

2H勺倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……

3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小

公倍数。。

假如较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

假如两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几种数口勺公因数的个数是有限的，而几种数口勺公倍数的个数是无限的。

(二)小数

1小数日勺意义

把整数1平均提成10份、10()份、1()00份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可

以用小数表达。

一位小数表达十分之几，两位小数表达百分之几，三位小数表达千分之几……

一种小数由整数部分、小数部分和小数点部分构成。数中日勺圆点叫做小数点，小数点左边时数叫

做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里，每相邻两个计数单位之间日勺进率都是1()。小数部分的最高分数单位“十分之一”和

整数部分的最低单位“一”之间口勺进率也是10。

2小数日勺分类

纯小数：整数部分是零口勺小数，叫做纯小数。例如：0.25、0.368都是纯小数。

带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26都是带小数。

有限小数：小数部分H勺数位是有限H勺小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是

有限小数。

无限小数：小数部分H勺数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33……3.1415926……

无限不循环小数：一种数日勺小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环

小数。例如：n

循环小数：一种数日勺小数部分，有一种数字或者几种数字依次不停反复出现，这个数叫做循环小

数。例如：3.555……0.0333……12.109109……

一种循环小数的小数部分，依次不停反复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：

3.99……的循环节是“9”,0.5454……的循环节是“54”。

纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656……

混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始口勺，叫做混循环小数。3.1222……0.03333……

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一种循环节，并在这个循环节的首、末

位数字上各点一种圆点。假如循环节只有一种数字，就只在它的上面点一种点。例如：3.777……

简写作0.5302302……简写作。

（三）分数

1分数日勺意义

★把单位“1”平均提成若干份，表达这样H勺一份或者几份日勺数叫做分数。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面H勺数，叫做分母，表达把单位“1”平均提成多

少份；分数线下面的数叫做分子，表达有这样的多少份。

把单位“1”平均提成若干份，表达其中的一份的数，叫做分数单位。

2分数的分类

真分数：分子比分母小日勺分数叫做真分数。真分数不不小于1。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数不小于或等于1。

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成日勺数，一般叫做带分数。

3约分和通分

把一种分数化成同它相等不过分子、分母都比较小欧I分数，叫做约分。

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

把异分母分数分别化成和本来分数相等的I同分母分数，叫做通分。

（四）百分数

1表达一种数是另一种数的百分之几时数叫做百分数也叫做百分率或比例。百分数一般用“％”

来表达。百分号是表达百分数的符号。

二措施

（一）数的读法和写法

1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再

在背面加一种“亿”或“万”字。每一级末尾日勺0都不读出夹，其他数位持续有儿种。都只读一种零。

2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一种数位上一种单位也没有，就在那个数位

上写0。

3.小数日勺读法；读小数日勺时候，整数部分按照整数E内读法读，小数点读作“点丐小数部分从左

向右顺次读出每一位数位上日勺数字。

4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数

部分顺次写出每一种数位上日勺数字。

5.分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来

读。

6.分数日勺写法：先写分数线，再写分母，最终写分子，按照整数日勺写法来写。

7.百分数日勺读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来

读。

8.百分数的写法；百分数一般不写成分数形式，而在本来的分子背面加上百分号“％”来表达。

(-)数的改写

一种较大的多位数，为了读写以便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位H勺数。有时还可以

根据需要，省略这个数某一位背面的数，写成近似数。

1.精确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一种较大的数改写成以万或亿为单位的数。

改写后口勺数是原数的精确数。例如把改写成以万做单位时数是125430万；改写成以亿做单位的

数12.543亿。

2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一种较大日勺数，省略某一位背面的尾数，用一种近似

数来表达。例如：省略亿背面日勺尾数是13亿。

3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；假如尾数H勺最

高位上时数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略345900万背面的尾

数约是35万。省略亿背面的尾数约是47亿。

4.大小比较

(1)比较整数大小：比较整数日勺大小，位数多的那个数就大，假如位数相似，就看最高位，最

高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相似，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

（2）比较小数日勺大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相似日勺，十

分位上日勺数大的那个数就大；十分位上的数也相似的，百分位上的数大的那个数就大……

（3）比较分数口勺大小:分母相似的分数，分子大日勺分数比较大；分子相似口勺数，分母小的分数大。

分数日勺分母和分子都不相似日勺，先通分，再比较两个数的大小。

（三）数的互化

1.小数化成分数：本来有儿位小数，就在1日勺背面写几种零作分母，把本来的小数去掉小数点

作分子，能约分口勺要约分。

2.分数化成小数：用分母清除分子。能除尽日勺就化成有限小数，有日勺不能除尽，不能化成有限

小数的，一般保留三位小数。

3.一种最简分数，假如分母中除了2和5以外，不具有其他日勺质因数，这个分数就能化成有限

小数；假如分母中具有2和5以外的质因数，这个分数就天能化成有限小数。

4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同步在背面添上百分号。

5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同步把小数点向左移动两位。

6.分数化成百分数：一般先把分数化成小数（除不尽时，一般保留三位小数），再把小数化成百

分数。

7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分RJ要约成最简分数。

（四）数的整除

1.把一种合数分解质因数，一般用短除法。先用能整除这个合数的质数清除，一直除到商是质

数为止，再把除数和商写成连乘口勺形式。

2.求几种数的最大公因数的措施是：先用这几种数H勺公因数持续清除，一直除到所得的商只有

公因数1为止，然后把所有H勺除数连乘求积，这个积就是这几种数的的最大公因数。

3.求几种数的最小公倍数日勺措施是：先用这几种数（或其中日勺部分数）的公因数清除，一直除

到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几种数的最小公倍数。

4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数

日勺倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数日勺公因数只有1时，这两个合数互质。

（五）约分和通分

约分的措施：用分子和分母的公因数（1除外）清除分子、分母；一般要除到得出最简分数为止。

通分的措施：先求出本来的I儿种分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作

分母的分数。

三性质和规律

（一）商不变的规律

商不变口勺规律：在除法里，被除数和除数同步扩大或者同步缩小相似的倍，商不变。

（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

1.小数点向右移动一位，本来时数就扩大1（）倍；小数点向右移动两位，本来日勺数就扩大1（）（）倍;

小数点向右移动三位，本来日勺数就扩大1000倍……

2.小数点向左移动一位，本来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，木来口勺数就缩小100倍;

小数点向左移动三位，本来日勺数就缩小1000倍……

3.小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0”补足位。

（四）分数的基本性质

分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相似的数（零除外），分数的大小不变。

（五）分数与除法的关系

1.被除数♦除数二被除数/除数

2.由于零不能作除数，因此分数日勺分母不能为零。

3.被除数相称于分子，除数相称于分母。

四运算的意义

（一）整数四则运算

1整数加法：

把两个数合并成一种数日勺运算叫做加法。

在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。

加数+加数=和一种加数二和一另一种加数

2整数减法:

已知两个加数内和与其中的一种加数，求另一种加数的运算叫做减法。

在减法里，已知的和叫做被减数，已知欧I加数叫做减数，未知的I加数叫做差。被减数是总数，减

数和差分别是部分数。

加法和减法互为逆运算。

3整数乘法：

求几种相似加数附和的简便运算叫做乘法。

在乘法里，相似口勺加数和相似加数的I个数都叫做因数。相似加数日勺和叫做积。

在乘法里，o和任何数相乘都得o.1和任何数相乘都的任何数。

一种因数x一种因数=积一种因数二积土另一种因数

4整数除法：

已知两个因数的积与其中一种因数，求另一种因数欧I运算叫做除法。

在除法里，已知的积叫做被除数，已知口勺一种因数叫做除数，所求的因数叫做商。

乘法和除法互为逆运算。

在除法里，0不能做除数。由于0和任何数相乘都得0,因此任何一种数除以0,均得不到一种

确定的商。

被除数;除数=商除数=被除数♦商被除数=商义除数

（二）小数四则运算

1.小数加法：

小数加法的意义与整数加法的意义相似。是把两个数合并成一种数的运算。

2.小数减法:

小数减法的意义与整数减法口勺意义相似。已知两个加数口勺和与其中的一种加数，求另一种加数的

运算.

3.小数乘法：

小数乘整数口勺意义和整数乘法的意义相似，就是求几种相似加数和的简便运算；一种数乘纯小数

的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。

4.小数除法：

小数除法的意义与整数除法日勺意义相似，就是已知两个因数日勺积与其中一种因数，求另一种因数

的运算。

5.乘方：

求几种相似因数的积的运算叫做乘方。例如3X3=32

（三）分数四则运算

1.分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相似。是把两个数合并成一种数的运算。

2.分数减法：分数减法的意义与整数减法日勺意义相似c已知两个加数的I和与其中的一种加数，

求另一种加数的运算。

3.分数乘法：分数乘法时意义与整数乘法的意义相似，就是求几种相似加数和的简便运算。

4.乘积是1H勺两个数叫做互为倒数。

5.分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相似。就是已知两个因数的积与其中一种因数,

求另一种因数的运算。

（四）运算定律

1.加法互换律：两个数相加，互换加数的位置，它们口勺和不变，即a+b=b+ao

2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，

再和第一种数相加它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法互换律：两个数相乘，互换因数的位置它们的积不变，即aXb二bXa。

4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数和乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，

再和第一种数相乘,它们时积不变，即(aXb)Xc=aX(bXc)。

5.乘法分派律：两个数的和与一种数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，

BP(a+b)Xc=aXc+bXc。

6.减法的性质：从一种数里持续减去几种数，可以从这个数里减去所有减数日勺和，差不变，即

a-b-c=a-(b+c)。

(五)运算法则

1.整数加法计算法则：相似数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

2.整数减法计算法则：相似数位对齐，从低位加起，哪一位上欧I数不够减，就从它日勺前一位退

一作十，和本位上的数合并在一起，再减。

3.整数乘法计算法则：先用一种因数每一位上时数分别去乘另一种因数各个数位上的数，用因

数哪一位上H勺数去乘，乘得的数H勺末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得时数加起来。

4.整数除法计算法则：先从被除数日勺高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；假如不

够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。假如哪一位上不够商1,要补“0”

占位。每次除得日勺余数要不不小于除数。

5.小数乘法法则：先按照整数乘法日勺计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积H勺右

边起数出几位，点上小数点；假如位数不够，就用“0”补足。

6.除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则清除，商的小数点要和被除数H勺小

数点走齐；假如除到被除数的末尾仍有余数，就在余数背面添“0”，再继续除。

7.除数是小数的除法计算法则：先移动除数日勺小数点，使它变成整数，除数日勺小数点也向右移

动几位（位数不够的补"0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。

8.同分母分数加减法计算措施:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

9.异分母分数加减法计算措施:先通分，然后按照同分母分数加减法口勺的法则进行计算。

10.带分数加减法日勺计算措施:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得日勺数合并起来。

11.分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数口勺分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘

分数，用分子相乘的I积作分子，分母相乘的积作分母。

12.分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数口勺倒数。

（六）运算次序

1.小数四则运算H勺运算次序和整数四则运算次序相似。

2.分数四则运算的运算次序和整数四则运算次序相似。

3.没有括号H勺混合运算：

同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。

4.有括号的混合运算：

先算小括号里面的，再算中括号里面的，最终算括号外面的。

5.第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。

6.第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。

五应用

（一）整数和小数的应用

1简朴应用题

（1）简朴应用题：只具有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，一般叫做简朴应用

题。

（2）解题环节：

a审题理解题意：理解应用题口勺内容，懂得应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边

思索，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，协助理解题意。

b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，规定什么着手，逐渐

根据所给的条件和问题，联络四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明对的日勺单

位名称。

C检查：就是根据应用题日勺条件和问题进行检查看所列算式和计算过程与否对日勺，与否符合题意。

假如发现错误，立即改正。

2复合应用题

（1）有两个或两个以上的基本数量关系构成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，一般叫

做复合应用题。

（2）具有三个己知条件的两步计算的应用题。

求比两个数的和多（少）几种数的应用题。

比较两数差与倍数关系日勺应用题。

(3)具有两个已知条件的两步计算的应用题。

已知两数相差多少(或倍数关系)与其中一种数，求两个数日勺和(或差)。

已知两数之和与其中一种数，求两个数相差多少(或倍数关系)。

(4)解答连乘连除应用题。

(5)解答三步计算的应用题。

(6)解答小数计算日勺应用题：小数计算附加法、减法、乘法和除法日勺应用题，他们的数量关系、

构造、和解题方式都与正式应用题基本相似，只是在已知数或未知数中间具有小数。

d答案：根据计算日勺成果，完口答，逐渐过渡到笔答。

(3)解答加法应用题：

a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数日勺和是多少。

b求比一种数多几口勺数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。

(4)解答减法应用题：

a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩余H勺部分。

-b求两个数相差日勺多少的I应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数

少多少。

c求比一种数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。

(5)解答乘法应用题：

a求相似加数和的应用题：已知相似的加数和相似加数的个数，求总数。

b求一种数日勺几倍是多少的应用题：已知一种数是多少，另一种数是它日勺几倍，求另一种数是多

少。

（6）解答除法应用题：

a把一种数平均提成几份，求每一份是多少日勺应用题：已知一种数和把这个数平均提成几份的，

求每一份是多少。

b求一种数里包括几种另一种数的应用题；已知一种数和每份是多少，求可以提成几份。

C求一种数是另一种数日勺的I几倍时应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的I儿倍。

d已知一种数的几倍是多少，求这个数H勺应用题。

（7）常见的数量关系：

总价=单价X数量；旅程二速度X时间；工作总量;工作时间X工效；总产量二单产量义数量

3经典应用题

具有独特的构造特性的和特定的）解题规律的复合应用题，一般叫做经典应用题。

（1）平均数问题：平均数是等分除法口勺发展。

解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数：已知几种不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：

数量之和士数量日勺个数二算术平均数。

加权平均数；已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

数量关系式（部分平均数义权数）的总和+（权数的和）二加权平均数。

差额平均数：是把各个不小于或不不小于原则数的部分之和被总份数均分，求的是原则数与各数

相差之和的平均数。

数量关系式：（大数一小数）・2二小数应得数最大数与各数之差日勺和土总份数二最大数应给数最

大数与个数之差口勺和♦总份数二最小数应得数。

例：一辆汽车以每小时100千米口勺速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开

往甲地。求这辆车的平均速度。

分析：求汽车的平均速度同样可以运用公式。此题可以把甲地到乙地的旅程设为“1”，则汽车

行驶的总旅程为“2”，从甲地到乙地的速度为100，所用日勺时间为1・100,汽车从乙地到甲地

速度为60千米，所用的时间是1・60，汽车共行的时间为1・100+1+60,汽车的平均速度为2・

(14-100+14-60)=75(千米)

（2）归一问题：已知互相关联的两个量，其中一种量变化，另一种量也随之而变化，其变化的

规律是相似日勺，这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量”的环节的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法,归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”口勺归一问题。又称“单归一。”

两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”日勺归一问题。又称“双归一」

正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后,再用乘法计算成果的归一问题。

反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后,再用除法计算成果的归一问题o

解题关键：从已知H勺一组对应量中用等分除法求出一份日勺数量（单一量），然后以它为原则，根

据题目口勺规定算出成果。

数量关系式：单一量X份数二总数量（正归一）

总数量+单一量二份数（反归一）

例一种织布工人，在七月份织布4774米，照这样计算，织布6930米，需要多少天?

分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。6930+（4774+31）=45（天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量日勺个数，以及不一样的单位数量（或单位数量

『口个数），通过求总数量求得单位数量日勺个数（或单位数量）。

恃点：两种有关联日勺量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比

例算法彼此相通。

数量关系式:单位数量义单位个数+另一种单位数量二另一种单位数量单位数量X单位个数小另

一种单位数量二另一种单位数量，

例修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完。实际4天修完，每天修了多少米？

分析：由于规定出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。因此也把此类应用题叫做“归总问

题”。不一样之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80（）

X64-4=1200（米）

（4）和差问题：已知大小两个数日勺和，以及他们的I差，求这两个数各是多少的I应用题叫做和差

问题。

解题关键：是把大小两个数日勺和转化成两个大数日勺和（或两个小数的）和），然后再求另一种数。

解题规律；（和+差）;2=大数大数一差=小数

（和一差）・2二小数和一小数二大数

例某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙

班比甲班人数少12人，求本来甲班和乙班各有多少人？

分析：从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，目前把乙数转化成2个乙班，即94-12,

由此得到目前的乙班是（94-12）4-2=41（人），乙班在调出46人之前应当为41+46=87（人）,

甲班为94-87=7（人）

（5）和倍问题：已知两个数H勺和及它们之间H勺倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和

倍问题。

解题关键：找准原则数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”日勺几倍，把谁就确定为原则数。

求出倍数和之后，再求出原则FI勺数量是多少。根据另一种数（也也许是几种数）与原则数的倍数关系,

再去求另一种数（或儿种数）的数量。

解题规律：和七倍数和二原贝］数原则数又倍数二另一种数

例:汽车运送场有大小货车115辆，大货车比小货车日勺5倍多7辆，运送场有大货车和小汽车

各有多少辆？

分析：大货车比小货车日勺5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）

倍对应，总车辆数应（115・7）辆。

列式为（115-7）4-（5+1）=18（辆），18X5+7=97（辆）

（6）差倍问题：已知两个数H勺差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

解题规律：两个数的差+（倍数-1）=原则数原则数义倍数=另一种数。

例甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，成果甲所乘JH勺长

度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？

分析：两根绳子剪去相似H勺一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的3倍，实比乙绳多

（3-1）倍，以乙绳向长度为原则数。列式（63-29）4-（3-1）=17（米）…乙绳剩余的长度,

17X3=51（米）…甲绳剩余的长度，29-17=12（米）…剪去日勺长度。

（7）行程问题：有关走路、行车等问题，一般都是计算旅程、时间、速度，叫做行程问题。解

答此类问题首先要弄清晰速度、时间、旅程、方向、杜速度和、速度差等概念，理解他们之间的关系,

再根据此类问题日勺规律解答。

解题关键及规律：

同步同地相背而行：旅程=速度和X时间。同步相向而行：相遇时间=速度和X时间

同步同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时.间二旅程速度差。

同步同地同向而行（速度慢日勺在后，快日勺在前）：旅程二速度差X时间。

例甲在乙的背面28千米，两人同步同向而行，甲每小时行16千米，乙每小时行9千米，

甲儿小时追上乙？

分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速

度差。

已知甲在乙的I背面28千米（追击旅程），28千米里包括着几种（16-9）千米，也就是追

击所需要的时间。列式284-（16-9）=4（小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型,

它也是一种和差问题。它的特点重要是考虑水速在逆行和顺行中日勺不一样作用。

船速：船在静水中航行日勺速度。水速；水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。

顺速二船速+水速；逆速二船速一水速

解题关键：由于顺流速度是铅速与水速的和，逆流速度是船速与水速口勺差，因此流水问题当作和

差问题解答。解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度二（顺水速度+逆流速度）4-2；流水速度=（顺流速度逆流速度）+2

旅程二顺流速度X顺流航行所需时间；旅程二逆流速度X逆流航行所需时间

例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲

地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：此题必须先懂得顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水

速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用H勺时间，逆水所用的时间不懂得，只懂得

顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用口勺时间，这样就能

算出甲乙两地的旅程。列式为284X2=20（千米）20X2=40（千米）404-（4X2）=5

（小时）28X5=140（千米）。

（9）还原问题：已知某未知数，通过一定日勺四则运算后所得日勺成果，求这个未知数日勺应用题，

我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变叱与未知数日勺关系。

解题规律：从最终成果出发，采用与原题中相反H勺运算（逆运算）措施，逐渐推导出原数。

根据原题的运算次序列出数量关系，然后采用逆运算的措施计算推导出原数。

解答还原问题时注意观测运算的次序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘掉写括号。

例某小学三年级四个班共有学生168人，假如四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班

调6人到一班，一班调2人到四班，则四个班H勺人数相笔，四个班原有学生多少人？

分析：当四个班人数相等时，应为168・4,以四班为例，它调给三班3人，又从一班调入2

人，因此四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。四班原有人数列式为168彳4-2+3=43（人）

一班原有人数列式为168:4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为1684-4-6+6=42（人）三

班原有人数列式为168+4-3+6=45（人）。

（10）植树问题：此类应用题是以“植树”为内容。但凡研究总旅程、株距、段数、棵树四种数

量关系口勺应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清与否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周

长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：沿线段植树：

★棵树二段数+1棵树二总旅程♦株距+1;★株距二总旅程小（棵树-1）总旅程二株距乂（棵树・1）

沿周长植树.：

棵树二总旅程+株距株距二总旅程♦棵树总旅程二株距X棵树

例沿公路一旁埋电线杆3（）1根，每相邻的两根时间距是5（）米。后来所有改装，只埋了201

根。求改装后每相邻两根的间距。

分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为5（）X（301-1）+（201-1）

=751米）

（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分

派给一定数量的人，在两次分派中，一次有余，一次局限性（或两次均有余，或两次都局限性），已

知所余和局限性口勺数量，求物品适量利参与分派人数的问题，叫盈亏问题。

解题关键：盈亏问题时解法要点是先求两次分派中分派者没份所得物品数量日勺差，再求两次分派

中各次共分物品的差（也称总差额），用前一种差清除后一种差，就得到分派者的数，进而再求得物

品数。

解题规律：总差额♦每人差额二人数

总差额口勺求法可以分为如下四种状况：

第一次多出，第二次局限性，总差额=多出+局限性

第一次恰好，第二次多出或局限性，总差额;多出或局限性

第一次多出，第二次也多出，总差额二大多出-小多出

第一次局限性，第二次也局限性，总差额二大局限性-小局限性

例参与美术小组的同学，每个人分的相似的支数日勺色笔，假如小组10人，则多25支，假如

小组有12人，色笔多出5支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？

分析•：每个同学分到日勺色笔相等。这个活动小组有12人，比1（）人多2人，而色笔多出了

（25-5）=20支，2个人多出20支，一种人分得10支。列式为（25・5）+（12-10）=10

（支）1（）X12+5=125（支）。

（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一种条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，重要特点是伴随时间日勺变化，年岁不停增

长，但大小两个不一样年龄日勺差是不会变化日勺，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，

要善于运用差不变的特点。

例父亲48岁，儿子21岁。问几年前父亲的年龄是儿子日勺4倍？

分析：父子向年龄差为48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的4倍，可知父子年龄的

倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子日勺年龄，从而可以求出几年前父亲日勺年龄是儿子日勺4

倍。列式为：21-（48-21）4-（4-1）=12（年）

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。

一般称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然

后根据出现日勺腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数一鸡腿数义总头数）♦一只鸡兔腿数的差二兔子只数

兔子只数二（总腿数-2义总头数）・2

假如假设全是兔子，可以有下面的式子：

鸡日勺只数=（4X总头数-总腿数）4-2

兔口勺头数二总头数-鸡的只数

例鸡兔同笼共5（）个头，17（）条腿。问鸡兔各有多少只？

兔子只数（170-2X50）4-2=35（只）鸡欢）只数50-35=15（只）

（二）分数和百分数的应用

1分数加减法应用题：

分数加减法H勺应用题与整数加减法的应用题的构造、数量关系和解题措施基本相似，所不一样啊

只是在已知数或未知数中具有分数。

2分数乘法应用题：

是指已知一种数，求它日勺几分之几是多少的应用题。

特性：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。

解题关键：精确判断单位“1”日勺量。找准规定问题所对应的分率，然后根据一种数乘分数日勺意

义对的列式。

3分数除法应用题：

求一种数是另一种数的几分之几（或百分之几）是多少。

特性：已知一种数和另一种数，求一种数是另一种数的几分之几或百分之几。“一种数”是比较

劲，“另一种数”是原则量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。

解题关键：从问题入手，弄清把谁看作原则口勺数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一日勺量

作比较，谁就作被除数。

甲是乙口勺几分之几（百分之几）：甲是比较劲，乙是原则量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）几分之儿（百分之儿）：甲减乙比乙多（或少儿分之儿）或（百分之儿）。关系

式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数。

已知一种数日勺儿分之儿（或百分之几），求这个数。

特性：已知一种实际数量和它相对应的分率，求单位“1”口勺量。

解题关键：精确判断单位“1”的量把单位“1”的量当作x根据分数乘法日勺意义列方程，或者根

据分数除法日勺意义列算式，但必须找准和分率相对应H勺己知实际数量。

4出勤率

发芽率=发芽种子数/试验种子数义100%

小麦的出粉率二面粉的重量“、麦口勺重量X100%

产品的合格率二合格H勺产品数/产品总数X100%

职工的出勤率二实际出勤人数/应出勤人数X100%

5工程问题:

是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着亲密的联络。它是探讨工作总量、工作效率和工

作时间三个数量之间互相关系的一种应用题。

解题关键：把工作总量看作虺位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的详细状况,

灵活运用公式。

数量关系式：

工作总量;工作效率x工作时间；工作效率=工作总量+工作时间

工作时间=工作总量+工作效率；工作总量+工作效率和二合作时间

6纳税

纳税就是把根据国家多种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入日勺一部分缴纳给国

家。

缴纳的税款叫应纳税款。

应纳税额与多种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额……）口勺比率叫做税率。

★利息

存入银行的钱叫做本金。

取款时银行多支付日勺钱叫做利息。

利息与本金日勺比值叫做利率。

利息二本金X利率X时间

第二章度量衡

一长度

（一）什么是长度

长度是一维空间的度量。

(二)长度常用单位

★公里(km)★米(m)★分米(dm)★厘米(cm)★毫米(mm)★微米(um)

(三)单位之间的换算

★I毫米=1000微米★1厘米=10毫米★1分米=10厘米★1米=1000毫米★1

千米=1000米

二面积

(一)什么是面积

面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面H勺多少日勺测量一般称表面积。

(二)常用的面积单位

★平方亳米★平方厘米★平方分米★平方米★平方千米

(二)面积单位的换算

★1平方厘米=100平方毫米★1平方分米二100平方厘米★1平方米=100平方分米

★1公倾=10000平方米★1平方公里=100公顷

三体积和容积

(一)什么是体积、容积

体积，就是物体所占空间的大小。

容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，一般叫做它们日勺容积。

（二）常用单位

1体积单位

★立方米★立方分米★立方厘米

2容积单位★升★亳升

（三）单位换算

1体积单位

★1立方米=100（）立方分米；★1立方分米=10（）0立方厘米

2容积单位

★1升=1（）0（）毫升；★1升=1立方米；★1毫升=1立方厘米

四质量

（一）什么是质量

质量，就是表达表达物体有多重。

（二）常用单位

★吨t★公斤kg★克g

（三）常用换算

★一吨=1000公斤；★1公斤=1000克

五时间

（一）什么是时间

是指有起点和终点日勺一段时间

（二）常用单位

世纪、年、月、日、时、分、秒

（三）单位换算

★1世纪二123年；★1年二365天平年；★一年二366天闰年

★一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天

★四、六、九、十一是小月小月小月有30天

★平年2月有28天闰年2月有29天

★1天=24小时★1小时=60分★一分=60秒

六货币

（一）什么是货币

货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值日勺一般代表，可以购置任何别的商品。

（二）常用单位

★元★角★分

（三）单位换算

★1元=10角★1角=10分

第三章代数初步知识

一、用字母表达数

1用字母表达数的意义和作用

★用字母表达数，可以把数量关系简要欧I体现出来，同步也可以表达运算日勺成果。

2用字母表达常见H勺数量关系、运算定律和性质、几何形体H勺计算公式

(1)常见的数量关系

旅程用S表达，速度V用表达，时间用t表达，三者之间日勺关系：s=vtv=s/tt=s/v

总价用a表达，单价用b表达，数量用c表达，三者之间肚I关系:a=bcb=a/cc=a/b

(2)运算定律和性质

加法互换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法互换律：ab=ba

乘法结合律:(ab)c=a(bc)

乘法分派律:(aib)c=acibe

减法『、J性质：a-(b+c)=a-b-c

(3)用字母表达几何形体的公式

长方形口勺长用a表达，宽用b表达，周长用c表达，面积用s表达：c=2(a+b)s=ab

正方形日勺边长a用表达，周长用c表达，面积用s表达：c=4as=a:

平行四边形口勺底a用表达，高用h表达，面积用s表达：s=ah

三角形日勺底用a表达，高用h表达，面积用s表达：s=ah/2

梯形的上底用a表达，下底b用表达，高用h表达，中位线用m表达，面积用s表达：s=(a+b)h/2；

s=mh

圆的J平径用r表达，直径用d表达，周长用c表达，面积用s表达：c=nd=2TIrs=TIr2

扇形『、J半径用r表达，n表达圆心角的度数，面积用s表达：s=nnr/360

长方体日勺长用a表达，宽用b表达，高用h表达，表面积用s表达，体积用v表达：v=sh；

s=2(ab+ah+bh)；v=abh

正方体日勺棱长用a表达，底面周长c用表达，底面积用s表达，体积用v表达：s=6a2；v=a5

圆柱的高用h表达，底面周长用c表达，底面积用s表达，体积用v表达.：s侧=ch；s表二s

侧+2s底；v=sh

圆锥的高用h表达，底面积用s表达，体积用v表达.：v=sh/3

3用字母表达数日勺写法

数字和字母、字母和字母相乘时，乘