2023版新教材高中数学第八章成对数据的统计分析82一元线性回归模型及其应用同步练习19一元线性回归模型及其应用新人教A版选择性必修第三册

同步练习19一元线性回归模型及其应用

必备知识基础练

一、单项选择题(每小题5分，共4()分)

1.[2023•黑龙江哈尔滨高二期末]下列关于y与x的经验回归方程中，变量x,y成正

相关关系的是()

A.y=-2.lx+1.SB.y=l.2x+l.5

C.y=—0.5x4-2.\D.y=—0.6x4-3

2.已知回归直线的斜率的估计值是1.2,样本点的中心为(4,5),则经验回归方程是

()

A.y=L2x+48.y=l.2x+5

C.y=1.2x+0.2D.y=0.95x+1.2

3.已知变量x,y之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为y=

1515

2x—1,若£匕=23,则ZM=()

/=12=1

A.126.19

C.3I〃.46

4.[2023•河北沧州高二期末]下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的

是()

5.[2023•河北保定高二期末]已知x,y的对应值如下表所示，若y与x线性相关，且

经验回归方程为y=1.4x+L4,则m=()

X02468

y1m+12m+l3m+311

A.2B.3f.AD.5

6.[2023•河南濮阳高二期末]某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察

之日起，第x天的高度为yc例测得一些数据如下表所示

第X天1234567

高度y/cm1469111213

由表格数据可得到v关于x的经验回归方程为v=2.04x+a,则第6天的残差为（）

A.-0.08笈2.12

C.-2.12〃.0.08

7.[2023•河南郑州高二期末]若需要刻画预报变量Y和解释变量x的相关关系，且从

已知数据中知道预报变量Y随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预

报变量Y大致趋于一个确定的值,为拟合Y和x之间的关系,应使用以卜回归方程中的（b>0,

e为自然对数的底数）（）

A.Y=bx+a

B.Y=-bInx+a

C.Y=tr\/x+a

D.Y=be-x+a

8.用模型丫=液-2（1n>o）拟合一组数据时，设z=/w，将其变换后得到回归方程为z=

3x+2,则n—m=（）

A.~\B.1

C.-21）.2

二、多项选择题（每小题5分，共10分）

9.研究变量x,y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是（）

A.经验回归直线y=bx+a至少经过点（X1,y1）,（x2,y?）,…，（xn,yj中的一个

B.若所有样本点（x“y）（i=l,2,…，n）都在直线y=k+l,则这组样本数据的样

本相关系数为1

C在经验I可归方程y=-2x+8中，当解释变量X每增加1个单位时，响应变量y平均增

加2个单位

〃用决定系数R?来比较两个模型的拟介效果，R?越小，模型的拟合效果越差

10.[2023•河南平顶山高二期末]''冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方.”鲁山县张良

镇生产的黄姜，有“姜中之王”的美誉，自汉朝起便为历代宫廷贡品，闻名天下.某黄姜种

植户统计了某种有机肥料的施肥量x（单位：吨）与姜的产量y（单位：吨）的一组数据，由表

中数据，得到经验回归方程为y=5.3x+a,则下列结论王确的是（）

施肥量x（吨）0.60.811.21.4

姜的产量y（吨）3.14.25.26.47.3

A.a=—0.06

B.姜的产量与这种有机肥的施肥最正相关

C.回归直线过点（1,5.24）

D.当施肥量为1.8吗时，预计姜的产量约为&48吨

三、填空题（每小题5分，共10分）

11.［2023•江西宜春高二考试］某同学收集了具有线性相关关系的两个变量x,y的一

〃-10

组样本数据Gi,y.）（i=h2,…,10）,经计算得到经验回归方程为y=-2x+a.且工乂

2=1

10.

=20,=—25,则&=.

7=1

12.［2023•河南南阳高二期中］已知两个随机变量x和y的一组成对样本数据为（1,3）,

（2,4）,（4,5）,（9,n）,若用最小二乘法求出回归方程为y=x+1.75,则n=_______.

四、解答题（共20分）

13.（10分）［2023•河南南阳高二期中］某冷饮店为了解每天的用电量y（千瓦时）与销售

额x（千元）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天的销售额，并制作了对照表：

销售额（千元）36745

用电量（千瓦时）2.54.5634

（1）已知y与x线性相关，求y关于x的经验回归方程；

（2）若某天的销售额为1万元，利用⑴中所得的经验回归方程，预测这一天的用电量.

附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=

"_"(«x-x)(y-y)——

2=1—,—

--------------------,a=y-bx.

"(XLx)2

i=l

14.（10分）［2023•河北邯郸高二期中］某视频如主采购了8台不同价位的航拍无人机

进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分.以下是价格

和对应的评分数据：

价格X/百元3681014172232

评分y4352607174818998

（1）根据以上数据，求y关于x的经验回归方程（系数精确到0.1）：

（2）某网友准备购买一台评分不低于90分的航拍无人机，根据（1）中经验回归方程，预

估最少需要多少元（结果精确到整数）.

附：对于一组数据（x,yi）,（X2,丫2）,…，区，y3其回归直线y=bx+a的斜率和截

y

c2=1____

距的最小二乘法估计分别为b=--------a=y-bx.

"(XLX)2

i=\

88

参考数据：=9138,£(x-x)：=634.

关键能力综合练

15.（5分）12023•河南洛阳高二期中］杂交水稻之父袁隆平，为推进粮食安全、消除贫

困、造福民生做出杰出贡献，他在杂交水稻育种的某试验中，第1个周期到第5个周期育种

频数如下

底期数（x）12345

频数（y）2173693142

由表格可得y关于x的二次回归方程为y=6x?+a,则此回归模型第2个周期的残差（实

际值与预报值之差）为（）

A.QB.1

C.4〃.5

［答题区］

题号1234567891015

答案

16.（15分）［2023•山东滨州高二期末］为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技

公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投

入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1〜10分别对应年份2013〜2022.

年研发投入“亿元）

85

so-•••

方•••

70•

65•

2................................................一

O12345678910年份代码x

图1

根据散点图，分别用模型①y=bx+a,②y=c+d所作为年研发投入y关于年份代码x

的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下

表所示的一些统计量的值：

Ii■Ii*Ii■Ii■I

752.2582.54.512028.35

_14

表中「区"=记Z4・

（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y关于年份代码x

的经验回归方程模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程，并预测该公司2028年住高科

技研发投入.

附：对于一组数据（x：,yi）,（X2,丫2）,…，（X”，y„）»其经验回归直线y=a+bx的斜率

(x—x)(y,—y)

"/=1"一"—

和截距的最小二乘估计分别为b=-------------—---2----,a=y-bx.

n(XLX)"

7=1

同步练习19一元线性回归模型及其应用

1.解析：设关于y与x的经验回归方程为y=bx+a,变量x,y成正相关关系，则b>0,

答案：B

2.解析•：因为回归直线必过样本中心，所以回归直线必过(4,5),所以由直线的点斜

式方程可得:y—5=1.2(x—4),即y=1.2x+0.2.

答案：C

15_93——23—

3.解析：因为Z必=23,所以y=j,因为y=2x—l,且过点(x,y),所以言=2x

lblb

—1,解得x=yr,则gxi=15x=19.

1o

7=1

答案：B

4.解析：图4显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数

部分；图少说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；图。显示残差与观测时

间有线性关系，应将时间变量纳入模型；图〃的残差较均匀地分布在以取值为。的横轴为对

称轴的水平带状区域内，可见〃满足一元线性回归模型对随机误差的假定.

答案：D

—1+m+1+2m+1+3m+3+11

y=------------1-----------=1.2m+3.4,

o

又经验回归方程为y=L4x+l.4,所以L2m+3.4=1.4X4+1.4,解得m=3.

答案：B

-1+4+6+9+11+12+13

7

根据经验回归方程过样本中心(4,8),故有8=2.C4X4+a,则有a=-0.16,

此时y=2.04x-0.16,当x=6时,y=2.04X6-0.16=12.08,残差e=12-12.08=一

0.08.

答案:A

7.解析：由预报变量Y随着解释变量x的增大而减小，即回归方程对应•个递减函数，

排除/、a由随解释变量x的增大，预报变量Y大致趋于一个确定的值，即x趋向正无穷，

预报变量Y趋向于某一个值，而不是趋向负无穷，排除A

答案：D

8.解析：因为y=me"i(m>0),z=Jny,

所以/ny=nx+2+/mi,

n=3n=3

又z=3x+2,所以，解得9

2+/加1=2'm=1

所以n—m=2.

答案：D

9.解析：经验回归直线y=bx+a可以不经过点(xi,y),(x2,y2),(xn,yj中的

任意一个，力错误；因为所有样本点(xi,yj(i=l,2,…，n)都在直线y=:x+l,所以样

本相关系数为1,8正确；在经验回归方程y=-2x+8中，当解释变量x每增加1个单位时，

响应变量y平均减少2个单位，。错误；用决定系数R?来比较两个模型的拟合效果，R。越小，

模型的拟合效果越差，〃正确.

答案：BD

_1_1

10.解析：由表中数据可得x=三(0.6+0.8+1+1.2+1.4)=1,y=三(3.1+4.2+5.2

□□

+6.4+7.3)=5.24,

所以回归直线y=5.3x+a过点(1,5.24),故。正确：

a=5.24—5.3X1=-0.06,故/正确；

因为系数5.3〉0,所以姜的产量与这种有机肥的施肥量正相关，故6正确；

在回归方程中令x=1.8,得y=5.3X1.8—0.06=9.48,所以预计姜的产量约为9.48

吨，故〃错误.

答案：ABC

110_110._

11.解析：由题意知，x=而Z，z=2,y=而=因为样本中心点(x,y)

1U1V乙

7=12=1

满足经验回归方程y=-2x+a,所以a=—：+2X2=/.

答案：2

_1_1n

12.解析：该组数据中，x=-(1+2+44-9)=4,y=-(34-4+5+n)=34--,贝！样本

点中心为(4,3+；),则3+；=4+1.75,解之得，n=ll.

答案：11

13.解析：(1)由表中数据计算得：x=5,y=4,

5(必一；)(%—亍)=(一2)X(—1.5)+1XO.5+2X2+(—1)X(-1)+0X0=8.5,

7=1

5(Xi-7>=4+1+4+1+0=10,

7=1

.8.5*——

所以b=~yy=0.85,a=y—0.85x=—0.25.

所以回归方程为y=0.85x-0.25.

⑵将x=10代入⑴的回归方程中得:y=0.85X10-0.25=8.25.

故预测这一天的用电量为8.25千瓦时.

3+6+8+10+14+17+22+32

14.解析:(1)由题意得『==14,

8

-43+52+60+71+74+81+89+98

y=--------------3--------------=71,

8

Zx，%―8x