《二次函数的应用》教案

PAGEPAGE1《二次函数的应用》教案【教学目标】知识与技能能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型。利用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题。能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题。过程与方法能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学模型的思想和数学来源于生活又服务于生活。体验由文字语言到数学语言的过程，培养学生的变通能力并提高分析解决问题的能力。利用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，体会数形结合的思想。价值观【教学重难点】教学重点：把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题。教学难点：1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型。2．理解和应用函数图象顶点、端点与最值的关系。【教学过程】教学环节教学内容设计意图复习回顾应用题的解题步骤:1、审 题2、找数量关系3、4、研 究 函 数5、求相关的值6、解 决 问 题先复习回顾应用题的一般解题步骤,为整节课的学习作铺垫。类型一:几何图形的面积问题例160m为了方便对图形中线段的说明，不妨假设这个四边形为ABCD，解法一:如图,设AB为xm，矩形面积为ym2可得y＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x2－30x)＝－2(x2－30x+225)+450＝－2(x－15)2+450x=15m时，60－2x=30<32，满足条件∴当x=15m时，面积最大为450m2答:长为30m，宽为15m时，面积最大为450m2。解法二:如图，设BC为xm，矩形面积为ym2可得60x 32m2=1x302450 60A D（ x 60x2 2 2x=30<32，满足条件 B x C∴当x=30m时，面积最大为450m2此时60x=152答:长为30m，宽为15m时，面积最大为450m2。变式：60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩解:如图,设BC为xm，矩形面积为ym2可得y=x60x2=1x302450（2∵墙长28m∴x≤28=1x302450中（2x≤30时，y随x的增大而增大类型一涉及到最常见的面积问题，当一边靠墙并且有限制长度时，可以设垂直于墙的平行于墙的边为法，最后都要考虑是否符合墙长的限制范围内。解法一设垂直求函数的顶点坐标的纵坐标值为最值时，要把对应的横BC边所对应的式子，检查是否符合墙的长度范围。解法二设平行求函数的顶点坐标的纵坐标值为最值时，对应的横坐标的值符合墙的长度范围，可以知道最大面积即为顶点的纵坐标值。变式把墙的长度缩短了，方法可以参照例题，这里选了其中一种方法求解，发现顶点跟例题是一样的，但是要考虑到墙长，还要考虑到端点的问题，根据函数图象的增减性来寻找面积的最大值。∴取x=28,y有最大值为=1283024504482此时60x=6028=162 2答:长为28m，宽为16m时，面积最大为448m2.归纳几何面积最值问题关键建立函数关系式注意最值是否在顶点这里为了更加直观的找出最值，给出了函数对应的大致图象，利用数形结合思想，更好地理解最值问题。学习完例题和变式，适当进行归纳总结，加深对知识点的巩固，建立数学模型解决相关问题。生活小知识：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件已知商品的进价为每件40元则每件利润为 元销售利润为 元.数量关系每件利润=售价-进价总利润=每件利润×销售量50200110(1)当每件的销售价为52元时该纪念品每天的销售数量为 件；(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．（2）解：由题意可得：y(x40)20010(x50)10x21100x2800010(x55)22250∵开口向下，顶点为（55，2250）类型二涉及到商品利润问题，在这里先用生活小知识引入知识点，然后复习利润问题中涉及到的公式。例题2的题型来自于九上书本例类型二:商品利润问题题，此类题型，对于学生来说，要理解题意难度很大，因此老师在这里利用表格把题中的关系理清楚，培养学生的变通能力并提高分析解决问题的能力，最后利用公式就可以列函数式。（元）销售量（件）（元）涨价前涨价后（元）销售量（件）（元）涨价前涨价后∴每件销售价为55元时，获得最大利润为2250元．学习完例题，及时进行归纳，加深对知识点的巩固。类型三:拱桥问题例年绵阳)图中为一桥拱的纵截面其桥拱形状近似看作抛物线当拱顶离水面2m时,水面宽4m,若水面下降2m,水面宽度增加 m.设现在的水面为AB，下降后设水面为CD，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为纵轴，建立直角坐标系设yax2(a0)过A（2，－2）得4a2a11 2y= x22点C的纵坐标y=41x242222∴CD=42∴CD－AB=424类型三涉及到生活中的拱桥问3来自于九上书本例题。为了加深学生对此题的理解，设以抛物线的顶点为的对称轴为纵轴，建立直角坐标系。利用数形结合的思想，更好地把实际生活的例子转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学模型的思想和数学来源于生活又服务于生活。4:（2019）如图，已知抛物线yx22x3轴交yMO2xBMx轴的垂线交抛物线Nt(t>0)秒，若△AOC与△BMNt的值.解:令y=0,可得x22x30解得x11,x23∴A(－1，0)，B(3，0)，OA=1，OB=3x=0y=3，∴C(0，3)，OC=3M(20)N(－4+4+3∴N=－4+4B=32,由题意可知∠AOC∠BMN90°①△AOC∽△BMN时， )OAOC,即 1 3MB MN 32t 23解得t3,t11 22②当△AOC∽△NMB时，OAOC,即 1 3 MN MB 23 32t解得t3,t13 24 3当t3,点M与2B重合,舍去,当t1时,不符合t>0.3只取t1类型四是二次函数的综合运用题，在这里选取了常见的考点二次函数与相似的综合运用。老师在这里逐类型四:二次函数的综合运用步引导学生思考，当两个三角形相似，又没有指定对应的边时，要进行分类讨论。通过对应边的等式关系转化为方程关系，求得答案后还要考虑是否符合题意，引导学生一定要兼顾题中的特殊条件，选取合适的答案。课堂总结实际问题面积问题利润问题拱桥问题综合问题小 结转化回归理清数量关系数学模型（二次函数的图象和性质）建立函数关系式借助直角坐标系求出有关线段长 同类型的应用问节课知识点的巩用。模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可购进A型玩具116个.23.解(1)3020(2)1(3)可能出现的所有结果列表如下:小张抛到的数字小李抛到的数字12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)或画树状图如下:共有16种可能的结果,且每种的可能性相同,其中小张获得车票的结果有6种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).故小张获得车票的概率为616=38,小李获得车票的概率为因此这个规则对小张、小李双方不公平.24.解(1)过点D作AE的垂线,交AE的延长线于点F,如图.由已知可得四边形ACDF是矩形,∴DF=AC=200m.∵点D在点E的北偏东45°方向,∴∠DEF=45°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE=DFsin45°=2002≈283(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形,DE≈2002m,∴EF=DF=200m.∵点B在点A的北偏东30°方向,∴∠EAB=30°,∴∠ABC=30°,∴∠BAC=60°.∵AC=200m,∴AB=2AC=400m,BC=AB·sin60°=2003m.∵BD=100m,∴经过点B到达点D的路程为AB+BD=400+100=500(m),CD=BC+BD=(2003+100)m,∴AF=CD=(2003+100)m.∴AE=AF-EF=(2003+100)-200=(2003-100)m.∴经过点E到达点D的路程为AE+DE=2003-100+2002≈529(m).∵529>500,∴经过点B到达点D较近.25.(1)证明在☉O中,AC=CD,则∠ABC=∠DBC.∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB,∴∠OCB=∠DBC,则OC∥BD.(2)解∵OC∥BD,不妨设平行线OC与BD之间的距离为h,∴S△OBC=12OC·h,S△BCD=12BD·∵BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,即S△OBC=S△DBC,则OC=BD,∴四边形OBDC为平行四边形.∵OC=OB,∴四边形OBDC为菱形.26.解(1)设打包成